以不变应万变 学数学之精髓

陈家家

【摘要】 所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。

【关键词】  数学思想

然而在实际的数学教学过程中，师生们往往忽略了对数学思想方法的探索，把更多的时间留给了概念的死记硬背。却不知，学生在解题中出现的各种错误，或自以为粗心大意导致，却不知很大部分对数学方法的一知半解，知其然而不知其所以然，因此也就不能正确的运用方法。为了更好地使学生在数学教学中渗透数学思想方法，以下笔者将从知识的形成过程中渗透，问题的解决过程中渗透，小结中渗透等三个方面谈谈自己的看法。

一、重温数形结合，帮助学生建立对性质的感性认识

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。但在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数结形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。

片段1.课堂伊始

教师：前面我们已经知道等式的基本性质，今天我们将了解不等式的基本性质。

教师：若a

学生： a＜c

教师：  那有没有更直观的方法来得出结果呢？（学生分组讨论）

学生甲： 用特殊的数字代入，如人的身高。

教师：  大家说这个方法好吗？

学生：  好！（大家鼓掌）

教师：  这个方法直观，那有没有更直观更一般的呢？回忆我们以前学过的数学方法。

学生：   （集体）画数轴。

教师多媒体演示：

教师引导学生用数轴的数学思想成功得出不等式的性质1，由此，进入主题。

反思：对于不等式该基本性质1的引入，课本采用了合作学习的形式，学生通过直观的数字形式来发现不等式的结果，并以此得出结论。考虑到具体操作的可行性，这里把学习的内容代替以动画的形式呈现在学生面前，给学生一个直观的视觉冲击，真正使学生的认知从特殊到一般的转化过程，给学生的认知降低了难度。

二、 利用类比方法，促使学生进一步明确不等式的性质

类比思想是把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。从而加深学生对性质的理解。

片断2.对比等式的基本性质，不等式的基本性质作进一步辨析.

教师： 回顾等式的基本性质，那对于不等式这些结果还成立吗？

教师多媒体演示：其中以不等式的两边都加上同一个数为例，进行多媒体的演示。

教师多媒体演示

学生： （集体）成立。

教师：那么以不等式的两边都减去同一个数仍然成立吗？

学生：可以，（教师同时多媒体演示）

教师：这个对比等式的基本性质1，有区别吗？

学生：没有。

教师：当等式的两边同乘（或除以）同一个数时，所得的结果怎么样？

学生：（讨论）

反思：尤其是让学生通过对比，对自己出现的错误进行反思，更利于强化学生对概念本质属性的理解。 通过前面的演示，结合定义，学生轻易就能判断正三角形不是中心对称图形，但这并非表明学生对此已了然于心，事实上他们对于概念的理解仍然是不完整片面的，很多学生更偏向于对结果的关注，而忽略了本质。教师应该以此为契机，进一步挖掘，从多个角度达成学习的反馈，一问一答间传达的是学生自身对这个不等式基本性质的理解，考虑到学生可能会忽略性质中乘以一个数的重要性，产生乘以一个正数与乘以一个负数的疑虑，导致两者之间的混淆，教师在之后的追问中特别引导学生留意这一点，故而强化了同乘以一个正数和同乘以一个负数这两方面的要求，进一步明确了概念。

三、一题多解及适当的变式练习的教学，加深巩固对数形结合和分论讨论思想的理解

学习的真谛在于悟，要使学生真正掌握理解概念，需要学生的自主体会、感悟和发现，因此教学过程中要培养学生善于从具体问题中提炼方法并加以内化的能力。及时总结经验方法，采用变式教学，是使学生加深对性质的认识，进一步巩固所学的思想方法。

1.通过一题多解及适当的变式练习，提升理解高度

片断3.学生通过例题学习，阐述例题中的解题方法，强调一题多解。

例. 已知a<0，试比较2a与a的大小.

教师：通过阅读例题你能比较两者之间的大小吗？

学生A： 特殊值代入。（学生说教师板演）

教师：还有别的方法吗？

学生B： 利用不等式的基本性质3： （学生说教师板演）

学生C：利用不等式的基本性质2： （学生说教师板演）

教师：还有别的方法吗？

学生：数形结合（个别学生喃喃自语），师生共同解决

教师：今天老师还要讲给大家新的方法（作差法）

师生共同总结方法：特殊值法，作差法，数形结合，利用不等式基本性质2，利用不等式基本性质3。

…变式练习，学生板演…

结合学生板演情况，师生总结不等式的基本性质的注意点。

2.抓住关键点，引导学生总结经验方法

片断4：出示例题后的巩固练习

若x＜y，且（a-3）x＞（a-3）y，求a的取值范围。

教师：这题我们应该怎么考虑？

学生A：讨论

教师：怎么讨论呢？

学生B： 看不等式的方向

教师：非常好，真是个不错的方法。那么对于此题我们该怎么讨论呢？

……多媒体演示，验证。

学生B：不等号的方向改变，根据不等式的性质3，所以a-3＜0，得a＜0.

变式练习：若x＜y，请比较（a-3）x与（a-3）y的大小？

学生：思考……

反思：从以上师生间的交流中可以看出来，这是一个方法提炼与总结的过程。学生原本对于不等式的理解可能只停留在单个的数或者字母的层面，对于复杂的的数学式子，比较难判断，教者在此时的任务显得尤为重要，高屋建瓴的引导学生解决问题，并且意识到分类讨论的重要性，显然学生A在 解此题的时候已经意识到这点并运用于实际判断，经过这样的引导点拨之后，学生不难得出结果，事实上对数学思想方法的理解又上升到一个高度。

四、适时归纳总结，帮助学生认识新旧概念的联系和区别，形成概念体系

“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上”，帮助学生把新概念纳入已有的概念体系，进行比较联系，启发学生运用已有的认知知识、认知策略及经验，运用类比的思想方法来理解新概念，从而掌握新概念的本质属性是概念教学必不可少的环节。

片断5.学生在学习巩固了不等式的三个基本性质后，通过类比等式的基本性质与不等式的基本性质之间的关系，进行两者间的比较，加深学生的印象。

师生共同复习回顾等式的基本性质与不等式的基本性质，类比两者间的关系，比较并完成表格：

同时结合具体图形比较，其本质区别在于前者是等式，后者是不等式。

反思：在学习不等式的基本性质之前学生已经学过等式的性质，这为不等式的基本性质的学习搭建了一个很好的平台。教师如果能够引导学生对此展开回顾复习并在新旧知识之间展开联系对比，对于新知的学习必将更加深刻，尤其是学生本身对于两者间的关系似懂又不是那么明确，处在难以言语的状态，教师此时列出等式与不等式之间的关系，着实是解了学生的燃眉之急，学生在经过对比，模仿再比较等一系列过程后，彻底领悟原来这无非是两类不同的数学式子，如此通过数学思想的渗透，从而促使学生完善原有的概念体系。

“授之以鱼，不如授之以渔”。数学思想方法的渗透具有长期性、反复性。对学生进行数学思想方法的渗透必定要经历一个循环往复、螺旋上升的过程，往往是几种思想方法交织在一起，在教学过程中教师要依据具体情况，有效进行数学思想方法的渗透应用概念，并在方法中学会数学思考，才能培养学生的应变能力，并最终提高学生分析、解决问题的能力。

参考文献：

［1］.杨燕，初中数学教学中如何渗透数学思想方法初探.《当代教育》，2007年第四期

［2］.黄根发.《中学数学研究》.[J]. 江西师范大学.2009

［3］林群.《教师教学用书》.[M].人民教育出版社．2004