一节素养导向的数学文化教学起始课的实践与反思

何喜平 朱宸材

［摘  要］ 单元起始课作为章节学习的源头与引领，不仅承担着本课显性知识的教学，还承担着培养学生素养提升的隐性教学功能. 将数学文化融入起始课的教学，能帮助学生更好地理解数学知识的发生和发展规律. 融合数学文化的教学强调的是一种育人理念，体现的是数学趣味，通过教学过程的实施，最终指向的是数学学科核心素养.

［关键词］ 素养导向；数学文化；简单随机抽样

缘起

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》明确指出数学文化要融入高中数学课堂. 这不仅是教师教学的需要，也是学生学习的需要.对教师而言，这是课堂教学的一个重要环节，可以使学生认识数学知识的地位，理解数学的科学价值与意义，从而激发学生的学习兴趣，提高教学质量.从学生角度出发，可以扩充课外知识，培养学生用数学的眼光看问题，促进学生更好地理解数学，进而转变学生的数学观，改进学生的学习状态，使数学学科核心素养落地生根.

在一堂“简单随机抽样”的课堂教学中，笔者因为融入了一些数学文化，学生的学习状态大有改观.据以往经验，学生对统计知识缺乏兴趣，课堂氛围沉闷，许多学生只是知识的被动接受者，而融入数学文化之后，学生学习的积极性很高，课堂学习氛围活跃，一些学生显得很有探索欲. 因此，笔者深受鼓舞，现将本节课的教学设计与反思撰写成文，与同行交流.

教学过程简述

1. 引入

师：在以往所学的数学知识中，几乎所有问题的结果都可以被准确计算出来，如一个三角形的两角和一边的大小确定了，那么剩余的边和角就可以被精确计算出来.但是，生活中很多问题是难以精确计算出结果的. 在小说《三体》中，三体世界有三个太阳，受这三个太阳间相互作用力的影响，这三者发生运动，它们的运动规律能够算出来吗？

生1：它们的运动是没有规律的，三体人会遭遇昼夜季节无规律更替的“乱纪元”，极端天气带来严苛的生存环境让三体文明不断地毁灭，为了寻找合适的生存环境，三体人决定入侵地球.

师：正确. 事实上，三体问题是天体力学中的基本力学模型. 三体问题是指三个质量、初始位置和初始速度都是任意的可视为质点的天体，在相互之间万有引力的作用下的运动规律问题.很多数学家与物理学家为解决这个问题做了很多努力，比较著名的有牛顿、庞加莱、欧拉、拉格朗日等，但是到目前为止，三体问题仍然不可解.

生2：当三个星球按原本的轨迹运行发生位置改变，改变后的相互位置会使相互之间的引力发生改变，这反过来又会改变它们的运行轨迹，复杂的相互作用使三体问题不可解.

师：是的. 但是三体问题就不能被认识了吗？科学家在计算机上模拟三星系统，追踪演变过程. 通过大量的实验发现，一个三星系统在历经所有可能的状态后，最终只剩下一个双星系统和一个“逃逸”的星体，得出了三体问题的一个统计学结论. 所以说，三体人不必冒着生命危险去寻找合适的生存环境，他们只需等待，等待多余的太阳“逃逸”，而成为稳定的双星系统（这里跟学生开个玩笑）.

师：生活中很多问题都是无法进行精确计算的，比如现在很多同学上学都是由家长开车送来的，那么途中行驶的时间可以精确计算出来吗？这肯定是不可能的，因为在行驶过程中有很多不确定因素，如行驶速度、堵车程度、红灯等待……这些不确定因素都会影响行驶时间.那么，如何回答不能被精确计算的问题呢？请问你上学需要多少时间？

生3：15分钟左右.

师：15分钟是怎么得出来的？

生3：根据以往的经验估计的.

师：这其实就是数学中的统计.对于不能精确计算的问题，我们可以通过“统计”和“概率”的知识来认识. 统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的一门科学，“概率统计”是一种重要的数学思想. 如今，统计学已应用于很多领域，如经济学、医学、气象学、非线性动力学等. 接下来我们的学习内容就是“统计”与“概率”.

2. 相关概念介绍

笔者指出统计的研究对象是数据，核心是通过数据分析研究和解决问题；结合生活中的实例，介绍获得数据的两种办法（全面调查和抽样调查），以及总体、个体、调查变量、样本、样本容量等概念，让学生区分全面调查与抽样调查的优缺点，强调抽样调查的重要性，引出本节课重点内容——简单随机抽样.

3. 简单随机抽样的概念讲解

思考：假设口袋中有红色和白色共1000个小球，除颜色外，小球的大小、质地完全相同. 你能通过抽样调查的方法估计袋中红球所占的比例吗？怎么解决呢？

？摇生4：可以从袋中摸出一个小球，记下颜色后放回，再摸出一个小球，如此重复50次. 如果这50次中，红球出现了10次，那么可以估计口袋中红球占比约为20%，于是红球个数约为200.

？摇师：很好！初中的概率知识告诉我们，随着摸球次数的增加，摸到红球的频率会逐渐稳定于摸到红球的概率，即红球所占比例，因此可以通过摸到红球的频率来估计袋中的红球数. 大家请注意，怎样得到的样本能科学合理地反映总体情况？对每次摸球有什么要求嗎？

？摇生5：每次摸球时，应保证每一个小球被摸到的概率相同.

？摇师：很好，这样得到的样本中的红球占比与总体中的红球占比更接近.你能将抽样过程重新说一下吗？

？摇生5：先将这1000个小球搅拌均匀，然后随机摸出一个小球，记下颜色后放回，搅拌均匀后再摸出一个小球，如此重复50次.

？摇师：很好，摸出一个小球后必须放回吗？

生5：也可以不放回，先将这1000个小球搅拌均匀，然后逐个不放回地摸出50个小球.

？摇师：很好，显然这种方法更方便快捷，还有不同的方法吗？

生6：也可以一次性摸出50个小球.

？摇师：都说得很好，这是最常见的三种方法. 在摸球过程中，关键一点是要保证每一个小球被摸到的可能性相同. 一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（1≤n＜N）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内每个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的每个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样. 放回简单随机抽样与不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样. 相比放回简单随机抽样，不放回简单随机抽样的效率更高，因此实践中人们更多采用不放回简单随机抽样. 本章中若未具体说明，简单随机抽样就是指不放回简单随机抽样.

师：请大家思考，用简单随机抽样得到的样本，一定能准确反映总体的情况吗？

生7：不一定，由于随机性的存在，肯定存在误差，有时可能误差较大.

师：说得很好，我们只能尽可能缩小误差，但误差肯定是存在的. 了解了简单随机抽样的概念，那么在实际问题中，怎么实施这种抽样方法呢？我们来看这个例子.

4.简单随机抽样在实际问题中的实施

例题：一家家具厂要为树人中学高一年级制作课桌椅，他们事先想了解全体高一年级学生的平均身高，以便设定可调节课桌椅的标准高度. 已知树人中学高一年级有712名学生，如果要通过简单随机抽样的方法调查高一年级学生的平均身高，应该怎么抽取样本？

师：这个统计问题中，总体、个体、调查变量分别是什么？

生8：树人中学的全体高一学生的身高是总体，每一位学生的身高是个体，学生的身高是调查变量.

师：怎么实施简单随机抽样呢？

生8：可以将这个问题还原成刚才的问题，即将这712名学生看作712个小球，然后不放回地逐个抽取.

师：说得很好，请你将过程具体说说.

生8：第一步，先将这712名学生按1至712进行编号；第二步，将所有编号写在大小、质地无差别的小球上；第三步，将小球放入不透明的口袋中，搅拌均匀；第四步，逐个不放回地取出n个小球；第五步，将这n个小球上的编号对应的学生组成样本.

师：很好，必须对这712名学生进行编号吗？可以使用他们的学号吗？

生9：可以，最好利用已有的编号.

师：必须将所有编号写在大小、质地无差别的小球上吗？有没有替代品？

生10：也可以用外观、质地相同的纸片或卡片，只要保证每个个体被抽到的可能性相同即可.

师：很好，但这个制作过程其实挺麻烦的，为了解决这个麻烦，还有一种办法叫做“随机数法”. 例如准备10个大小、质地相同的小球，小球上分别写上数字0，1，2，…，9，把它们放入不透明的口袋中. 从口袋中有放回地摸取3次，每次摸取前充分搅拌，并把第一、二、三次摸到的数字分别作为百、十、个位数，这样就生成了一个三位随机数. 如此重复若干次，如果得到的随机数不在编号范围内或与前面重复，就舍弃编号，直到取够样本所需要的随机数的个数，然后将编号与这些随机数相一致的学生身高组成样本. 这种产生随机数的方法叫做“用随机试验生成随机数”.

5. 利用信息技术生成随机数

利用计算器、电脑及某些软件，生成随机数. 让学生阅读教材内容，并利用教室电脑演示.

6. 课堂小结

师：请你谈谈本节课的收获.

生11：在三体问题的一个统计学结论中，我看到了统计学在数学中的地位、价值和意义，了解了概率统计是一种重要的数学思想，对于不能精确求解的问题可以通过概率统计知识来认识. 学习了简单随机抽样的概念，掌握了实施简单随机抽样的步骤，以及产生随机数的一些手段.

教学反思

1. 数学文化的渗透彰显“统计”的数学地位

“统计”与“概率”是人教A版普通高中教科书数学（2019版）必修第二册的尾声，纵观两册必修教科书，从第一章“集合与常用逻辑用语”至第八章“立体几何初步”，所涉及的数学问题几乎都可以准确推算出结果. 但在实际生活中，很多问题包含多个变量，且变量存在不确定性，如“三体问题”“气象预测问题”等，都无法进行精确计算，不过可以通过统计与概率的知识来估计. 因此，统计与概率的知识在数学中的地位至关重要，也许是这个原因，“统计”与“概率”在必修的教材上压轴登场.

2. 数学文化的融入体现数学的学科价值

数学文化的内涵包括数学美、数学史、数学思想、数学应用等，将数学文化恰当地融入课堂中，可以促进学生认识数学的学科价值. 本节课先以大多数学生所熟知的小说《三体》引入新知，虽然三体问题不可解，但通过计算机模拟得出了一个统计学结论；然后引出生活中无法进行精确计算的问题，这些问题可以通过统计学的知识来提高认识，让学生了解学习统计的意义，体会概率统计是一种重要的数学思想方法；再介绍统计学应用的领域，如经济学、气象学、医学、非线性动力学等，让学生认识统计学的价值.

3. 數学文化的引领提升学生的学习效果

“简单随机抽样”是“统计”章节的起始内容，为了使学生对本章知识产生学习兴趣，提高学生的学习动力，课堂中需要融入数学文化来让学生了解学习意义，改变学生的学习状态.因为很多领域都要用到概率统计的知识，所以与概率统计有关的数学文化是非常丰富的，在课堂中融入数学文化有很多选择. 从课堂效果来看，引入三体问题一下子就吸引住了学生的眼球，在讲述数学家和物理学家为解三体问题付出努力的这段史实时，学生的声音、表情与坐姿表现出了学生强烈的求知欲，在后续授课的过程中，特别是在讲述简单随机抽样的概念以及其应用时，学生都能全身心投入.

《中国学生发展核心素养》提出核心素养的总体框架和基本内涵，《中国高考评价体系》确立高考中学科素养的考查目标，标志着中国高考正在实现从能力立意到素养导向的历史性转变. 数学文化如同一条纽带，把知识技能、数学思考、问题解决和情感态度四个方面的目标有机地结合在一起. 数学史的融入可以让今人和古圣隔空对话，碰撞、思考和研究，建立一种不同时空之间的神秘且特殊的联系融入课堂教学中，可以让学生了解数学知识的地位、价值与意义，改变学生的数学观，提升学生的学习效果，真正落实学生数学学科核心素养的培养.