借助数学史养分，培养推理意识

李玉颖

［摘 要］在数学史中寻找三角形内角和知识的产生、发展、成熟的过程，从整体上把握三角形内角和知识，将知识的演变进程作为学生的认知过程的重要参照，形成結构化教学。这样的教学不但能够帮助学生多维度思考和探索，经历从特殊到一般、从操作验证到推理验证的过程，还能培养学生的推理意识和推理能力，凸显数学思想方法的一致性。

［关键词］数学史；三角形的内角和；推理意识

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2024）11-0057-04

一、课前思考

将数学史融入小学数学课堂，并与学生的数学学习相结合，有助于教师根据学生已有的知识经验和思维水平展开教学。《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，“推理意识主要是指对逻辑推理过程及其意义的初步感悟。知道可以从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论。”为此，笔者借鉴数学史上几位数学家对三角形内角和的认识和论证过程，将其与学生思维的提升过程相结合，引导学生经历从特殊到一般的过程，鼓励学生进行猜想、探索和验证。同时，重视学生在几何问题推理过程中的表达和论证，深入培养学生的推理能力和空间观念。

二、教学过程

（一）课前预习

学生课前完成预习单（如图1）。

【设计意图：有针对性的预习能为学生学习新知做好知识准备，同时将学生的思维过程和知识薄弱点可视化。】

（二）课堂实践

1.理解内角，确定学习目标

师：三角形的3个角都是由三角形相邻的两条边组成的，且都在三角形的内部，这样的角就叫作三角形的内角。

师：看看你们的两个三角尺，它们的内角和分别是多少度？你是怎么知道的？

生1：它们的内角和都是180°，因为一个三角尺中的3个内角相加是30°+90°+60°=180°，另一个三角尺中的3个内角相加是45°+90°+45°=180°。

师：任意直角三角形的内角和都是180°吗？今天我们就一起来探究三角形的内角和。

【设计意图：借助学具三角尺让学生认识内角的概念，学生能够感受到数学就在身边，从而对新知产生兴趣，在清晰理解了三角形内角和的概念后展开猜想，提升空间想象力。】

2.运用泰勒斯拼图法，操作验证

师：今天的研究将围绕历史上几位著名的数学家探究三角形内角和的方法展开。首先来看泰勒斯是如何思考三角形的内角和的。

出示视频：古希腊数学家泰勒斯在观察工人装修的过程中，受到房间里的地砖镶嵌的启发，先以6个相同的等边三角形围着一点进行拼摆，再以等腰三角形进行同样的操作，发现这些三角形的内角和均为180°。

师：请大家小组合作，想一想，利用任意直角三角形能否发现三角形内角和定理。

师：有6个相同的直角三角形，你能将它们的不同顶点置于同一点拼摆，且该点周围没有缝隙吗？

学生拼摆结果（如图2）。

师：你发现了什么？

生1：我发现每6个角围着1个点形成了1周。

师：围成1周说明这6个角合成了多少度？

生2：360°。

师：这个直角三角形的3个内角和是多少度？

生3：180°。因为每个角均出现了2次，所以360°÷2=180°。

师：还有什么发现？

生4：图形②中有3条“长线”，∠1、∠2、∠3都对应分别分布在任意一条“长线”的左右。

师：这3条“长线”说明它们组成了什么角？这个直角三角形的内角和是多少？

生5：“长线”说明3个内角构成了平角，因此这个直角三角形的内角和是180°。

师（出示教材中的撕拼法）：还有什么问题吗？

生6：我拼的6个三角形之间总是有缝隙，因此我不太相信这个结论。

生7：是的，我拼的也有缝隙。我用量角器量了一下，发现∠1=34°，∠2=55°，∠3=90°，这个三角形的内角和是34°+55°+90°=179°。

师：敢于根据自己的发现去质疑，为这两位同学的求真态度点赞！是的，有的操作会存在误差，那有没有更好的方法去验证呢？

【设计意图：展现数学家泰勒斯探索三角形内角和的故事，带领学生浸润数学史和数学文化。泰勒斯采用的从操作层面验证三角形内角和的方法，可以看作是人类认识三角形内角和的最初尝试。这与学生初次接触这一知识时的思维状态相似。通过改编泰勒斯的验证方法，让学生在操作中进行猜想并验证，感悟归纳推理过程。同时，正视学生在操作过程中出现的误差和质疑，这为进一步寻求严谨的验证方法做了充分的铺垫。】

3.经历帕斯卡法，由操作验证转为推理论证

师：看到长方形，你想到了什么？

生1：长方形的4个角都是90°，对边相等。

生2：沿对角线分割长方形，可以分成两个完全一样的直角三角形。

生3：任何直角三角形都可以看作是长方形对折而得的。

生4：长方形的内角和是90°×4=360°。

师：能不能利用长方形的内角和来证明直角三角形的内角和呢？

生5：我们组发现直角三角形的内角和为90°×4÷2=180°。

师：这个方法十分巧妙。利用长方形的内角和是360°可以得出直角三角形的内角和是180°。这是法国数学家帕斯卡在12岁时推导直角三角形内角和的方法，你们和他想到一块儿去了，真棒！帕斯卡还据此推导出了锐角三角形和钝角三角形的内角和，你们想直接看他的方法，还是想自己先试一试？

生（齐）：自己试一试！

教师出示小组活动要求（如图3）。

生6：我给锐角三角形画高，发现锐角三角形可以被分割为两个直角三角形。因此锐角三角形的内角和是180°×2-90°-90°=180°。

师：為什么要减去2个90°？

生7：因为分割出来的两个直角不属于锐角三角形的内角。

生8：我发现钝角三角形的情况也是这样的。它的内角和也是180°×2-90°-90°=180°。

师：所有锐角三角形、钝角三角形都可以被分割成两个直角三角形吗？任意画一个锐角三角形或钝角三角形，然后推导出它的内角和，再和同桌交流你的推导方法。

师：上面就是帕斯卡推导三角形内角和的方法。你们都能想到用推理的方法得出三角形内角和是180°，真了不起！

【设计意图：发现操作层面出现的误差后，学生迫切希望有更严谨的推理方法，但教师没有直接给出帕斯卡的方法和说理过程，而是先引导学生思考长方形和三角形在内角和上的联系，然后让学生在长方形的内角和是360°的基础上推出所有的直角三角形的内角和都是180°，在此基础上，又通过给锐角三角形、钝角三角形画高，建立锐角三角形、钝角三角形和直角三角形的联系，引导学生进行几何说理。学生经历了从特殊到一般的论证过程，体会到直角三角形、锐角三角形和钝角三角形在内角和论证方法上的一致性，感悟到演绎推理过程的严谨性和传递性，发展了推理意识。】

4.展示提波特旋转法游戏，拓展思维水平

师：三角形内角和是180°，其实还可以通过一个小游戏来验证，你们想试一试吗？

教师出示活动要求（如图4）。

师：铅笔在整个过程中是怎样运动的？

生1：有旋转也有平移。

师：平移能改变铅笔的方向吗？改变铅笔方向的是什么？

生1：不能，改变铅笔方向的是旋转。

师：现在铅笔的方向是怎样的？

生2：与原来相反。

师：说明了什么？为什么？

生3：铅笔水平掉头转向说明它整体旋转的角度是180°。因为铅笔整体旋转过了三角形3个内角的角度，所以三角形的内角和是180°。

师：你们真厉害！这其实就是数学家提波特证明三角形内角和是180°所采用的方法。

出示视频：200多年前，德国数学家提波特首次利用旋转法证明了三角形内角和定理。如图5所示，他先将边BC所在的直线BC绕点B沿逆时针方向旋转∠ABC的度数，到边BA所在直线BA；然后将直线BA绕点A沿逆时针方向旋转∠BAC的度数，到边AC所在直线AC；最后将直线AC绕点C沿逆时针方向旋转∠ACB的度数，到边CB所在直线CB。从BC到CB，总共转了180°。

师：提波特的方法和我们旋转铅笔的方法有什么不同和相同之处？

生4：旋转的事物不同，提波特是旋转直线，我们是旋转铅笔。

生5：旋转的方向不同。提波特旋转直线时是逆时针，我们旋转铅笔时是顺时针。

生6：旋转的起点位置不同，提波特旋转直线的起点在三角形左下角，我们旋转铅笔的起点在三角形右下角。

生7：旋转的角都是三角形所有内角的角度。

生8：最终直线和铅笔都水平掉头转向。

师：是的，虽然我们旋转铅笔与提波特旋转直线的起点位置不同、方向不同，但都是旋转了三角形所有内角的角度，最终铅笔和直线都水平掉头转向，都论证了三角形的内角和是180°。

【设计意图：对提波特用旋转法证明三角形内角和方法进行提炼，将其与游戏相结合，遵循学生的心理发展特点，尊重学生的主体地位，使学生感受到数学知识并不枯燥，激发学生热爱数学、应用数学的情感。同时，让学生思考铅笔经过平移和旋转后整体掉头转向的原因，在展开演绎推理的过程中增强了推理意识，形成讲道理、有条理的思维习惯，初步感知和体验推理的魅力。】

5.回顾总结，感悟转化思想

师：你最喜欢哪一种方法？为什么？

生1：我喜欢帕斯卡的方法，把任意三角形分成两个直角三角形，然后用2×180°-90°-90°=180°推理出这个三角形的内角和，非常有说服力。

生2：我喜欢提波特的方法，在铅笔转动的过程中发现铅笔整体水平掉头转向，进而得出三角形的内角和，很有意思。

生3：泰勒斯的方法也不错，看整个拼图的一半，三角形的内角和显而易见。

师：的确，这3位数学家的方法都蕴含了一种重要的数学思想方法——推理。下面我们一起来看3个问题，看看你能不能解决。

【设计意图：通过让学生选出自己喜爱的方法，让学生回顾本节课所经历的所有推理过程，这不仅是对知识的重现，也是论证思维的再次回顾，还是对推理思想方法、数学家的智慧和贡献的再感受。】

6.分层巩固，拓展延伸

问题1：算一算图6中未知角的度数。

问题2：如图7，将两个小的三角形拼成一个较大的三角形，大三角形的内角和是多少度？

问题3：如图8，你能根据三角形的内角和探索四边形、五边形、六边形的内角和吗？

师：我们已经知道三角形的内角和是180°，那么四边形、五边形、六边形的内角和又分别是多少度呢？

生1：我发现四边形的内角和都是360°。

生2：我猜想多边形的内角和与组成它的三角形的个数有关。

……

师：同学们提出了很多有价值的猜想。感兴趣的同学可以自己去研究和验证。

师：课后，先给你的爸爸妈妈介绍一下三角形内角和的推导过程，再查一查还有哪些推导三角形内角和的方法（如意大利数学家欧几里得的方法），最后找一找德国数学家黎曼的故事，思考在球面上的三角形的内角和是否也是180°。

【设计意图：首先，通过练习巩固了三角形内角和知识，培养了学生应用三角形内角和知识进行计算和推理的意识与能力，使得学生对三角形内角和的理解更全面；其次，要求学生根据本节课的知识，对四边形、五边形、六边形的内角和展开思考，体现了内角和推导方法的一致性，展现了多边形内角和知识的结构化；最后，利用查阅其他推导方法和了解数学家黎曼的任务引导学生了解数学史，拓宽学生认知的广度和深度。】

三、教学反思

（一）整体把握数学史材料，形成结构化教学

为了整体把握数学史中关于三角形内角和推导的发展脉络，我们需要梳理不同历史时期探究方法的前后关联及主次关系，并以此为基础进行结构化的教学设计。名师蔡宏圣提出，历史呈现了知识的来龙去脉，叙说了人类认识如何步步深入，在抽象的过程中我们就能体会和把握认识提升的关键。因此，本节课笔者先对泰勒斯的拼图法进行改编，引导学生通过动手拼图验证三角形的内角和是180°；再借助帕斯卡的方法，用长方形演绎推理出直角三角形的内角和；然后以直角三角形的内角和切入，通过画图论证锐角三角形和钝角三角形的内角和；最后在游戏中让学生对提波特的方法进行说理。整个教学过程前后关联紧密，主次分明、层层递进。

（二）全面提炼数学史论证过程，凸显思想方法一致性

在数学的空间和几何方面，许多知识的探索过程都有相似之处。尽管这些知识可以分门别类，但数学家在解决问题时常常能够通过巧妙的论证过程发现共同的解决思想和方法。在数学史上，推导三角形内角和基本上都利用了将未知的知识转化为已知的知识，并通过推理来解决问题的思想方法。因此，教师课堂上重现这些思想方法，让学生经历转化和推理的过程，让他们感受转化思想和推理的作用，理解解决一系列问题的思想方法的一致性。同时，让学生重温数学家们经历的探索过程，与古代数学家进行跨越时空的交流，可以使学生感受到数学文化的魅力。

（三）准确选择数学史内容，确保教学实施针对性

数学史上关于三角形内角和的研究较多，教师在选择时，要立足学生已有的知识经验和认知规律，要选择学生能够理解的内容、相对熟悉的情境、能够产生兴趣的史料。对于一些不符合学生认知规律的、脱离学生实际生活经验的，均可舍弃，或者进行创造性的改编，使其更符合学生的认知水平和兴趣点。同时在利用数学史进行数学课堂教学时，也要强调基本操作、度量等直接活动经验的经历和积累，这样才能从各个方面发展学生的量感，培养其核心素养。

［ 参 考 文 献 ］

［1］ 中華人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］ 蔡宏圣.数学史走进小学数学课堂：案例与剖析［M］.北京：教育科学出版社，2016.

（责编 李琪琦）