浅析新高考试题中的分段函数

陶庆梅

函数既是中学数学中的核心内容，又是高等数学中最基础的知识。在高中阶段乃至是在高考中，函数的相关内容都是重点和必考点，因此函数在高中数学中占有很高的地位。历年高考答题中都会有函数相应内容的出现，而且考查的方式以及题型都在逐年变化。在新高考函数类型中大多会将函数图象与函数解析式相结合（即数形结合），这一类型的试题大多会在高考填空或选择题中出现，该类题型主要是考查学生对函数表达式以及三角函数、对勾函数等的掌握程度，以及与之对应的图象转换进行判断和分析。这题型在新高考数学中占一定比例的分值，是一种不容小觑的考试题型。所以，教师在平时针对分段函数进行教学时应多通过一些典型的考试题目或者借助历年的考试真题，让学生有针对性地训练，提升学生分析问题和解决问题的能力，让学生对与分段函数相关的题型有进一步的了解以及更深刻的认识，从而促使学生在高考中对这一类问题的解决达到事半功倍的效果。

下面主要通过近几年的新高考试题来探讨分段函数在高考中的应对措施和解决方法。

一、分段函数中的奇偶性问题

例1（2022 上海8）若函数f（x）=a2x-1，x＜00，x=0x+a，x＞0为奇函数，则实数a的值为_________.

考点：函数的奇偶性﹢函数的解析式（理性思维）

分析：判断分段函数的奇偶性要分段进行判断、整体考虑，即在分段函数的定义域内根据函数奇偶性的定义分别考虑各个分段上函数f（-x）与f（x）的关系，判断各个分段上函数的奇偶性，然后综合在一起判断分段函数的奇偶性。

分段函数中奇偶性在高考试题中经常出现，但学生在利用函数奇偶性的定义判断和研究分段函数中奇偶性时，经常会犯以下几种错误：（1）函数的奇偶性的概念理解不清由奇偶函数的定义可知，具有奇偶性的函数的定义域必是关于原点对称的；（2）函数的奇偶性在关于原点对称的定义域内是一致的，不能把定义域分割开来，因此，“当x＜0时，函数是偶函数；当x＞0时，函数是偶函数”的说法是错误的。

本题主要考查函数的奇偶性，所以函数的奇偶性的定义为突破口。即（1）定义域关于原点对称；（2）f（x）=f（-x）（奇函数）和f（x）=f（-x）（偶函数）；（3）对于填空题和选择题中根据奇偶性求函数解析式中的参数问题，学生不会灵活应用奇偶性的定义与特殊值法快速求解，在教学过程中教师应对学生多加引导。

二、分段函数中的定义域和值域

1.分段函数的定义域求法：每一段函数定义域的并集为整个函数的定义域。

2.分段函数的值域求法：是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集，即每一段函数值域的并集为整个函数的值域。求分段函数的最值通常有两种方法：（1）先求出分段函数在各个范围内的最值，这些最值中的最大值即为该函数的最大值，这些最值中的最小值即为该函数的最小值；（2）作出分段函数的图象，从中观察可得出分段函数定义域和值域。

例2（2022上海8）已知函数f（x）=2x，x＞01，x≤0，则f（x）的值域为_________.

分析：主要考查分段函数的定义域和值域。

（1）分段函数对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。它是一个函数，而不是几个函数：分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；分段函数的值域是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集，即每一段函數值域的并集为整个函数的值域。

（2）本题以分段函数为载体，使学生对分段函数的认识更加深刻，提高学生的观察能力。

【解析】当x＞0时，f（x）=2x单调递增，f（x）＞1；当x≤0时，f（x）=1.故f（x）的值域为[1，+∞）.

点拨：分段函数的定义域和值域在高考试题中经常出现，但学生在解答与分段函数定义域和值域有关的问题时，经常会犯几种错误：一是学生会把分段函数看成几个函数，就把定义域和值域弄成几个函数的。二是对定义域和值域的表示格式不清楚，往往会写成不等式的形式，而没有用集合来表示；不能填f（x）≥1，因为定义域和值域都是集合，可以填{f（x）|f（x）≥1}或[1，+∞）。

点拨：画分段函数的图象对学生来说是一个难点，画分段函数的图象先过分段点作垂直于x轴的虚线，弄清楚基本初等函数图象的形状，再针对x的每一段范围画出图象。

三、分段函数的单调性问题（讨论分段函数的单调性常常借助图象来解决）

例4（2013年 四川）已知分段函数

f（x）=x2+2x+a（x＜0）lnx（x＞0），其中a是实数，指出函数f（x）的单调区间.

分析：对于分段函数在定义域上的单调递增（减）问题，除了保证在定义域的每一个区间上单调性相同之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系。若函数是增函数，则左边函数值小于或等于右边函数值（若函数是减函数，则右边函数值小于或等于左边函数值），这样才能满足在定义域上的单调递增（减），否则求出的参数范围会出现错误，而学生常常忘记判断分界点处左右两段函数值的大小关系。分段函数的单调性在高考试题中出现的频率比较高，对学生来说也是一个难点。本题还以分段函数为载体，考查学生对对数函数、二次函数的单调性的掌握及运算能力。

【解析】作出函数f（x）的大致图象（见图2），由图象可知函数f（x）的单调递减区间是（-∞，1]，单调递增区间是（-1，0），（0，+∞）.

点拨：关键是熟悉基本初等函数的图象和性质，充分使用数形结合思想，在教学中注意基本知识的教学。

四、分段函数中的求参数问题

例5（2022北京14）设函数f（x）=-ax+1，x＜a，（x-2）2，x≥a.若f（x）存在最小值，则a的一个值为_________；a的最大值为_________．

考点：分段函数的最值（理性思维、数学探索）。

分析：本题涉及分类讨论思想，以分段函数为载体考查一次函数和二次函数的性质，隐含一次函数和二次函数的单调性，一次函数y=-ax+1的单调性与一次项系数-a有关；因为函数f（x）存在最小值，所以-a＜0，即a＞0；二次函数y=（x-2）2，（x≥a）是轴定区间动的问题，要讨论对称轴x=2与区间[a，+∞）的位置关系（区间在对称轴的左边、右边、被对称轴穿过等情况），这对学生来说是一个难点，学生不易理解，在讲解时利用数形结合的思想，要让学生多画图、多观察，教师再引导学生分析如何解决这类题型；二次函数轴定区间动、轴动区间定等设问方式是出题人最青睐的题型之一。

分段函数最值的求解方法：（1）最大值求法：每段函数先在所在范围内求最大值，所有最大值中最大的一个值为该分段函数的最大值；（2）最小值求法：每段函数先在所在范围内求最小值，所有最小值中最小的一个值为该分段函数的最小值。

【解析】当a=0时，函数f（x）=1，x＜0，（x-2）2，x≥0，存在最小值0，所以a的一个取值可以为0；

当a＜0时，若x＜a，则f（x）=-ax+1，此时函数f（x）不可能存在最小值；

当0＜a≤2时，若x＜a，则f（x）=-ax+1，此时f（x）∈（-a2+1，+∞）；若x≥a，则f（x）=（x-2）2∈[0，+∞）；若函数f（x）存在最小值，则-a2+1≥0，得0＜a≤1；

当a＞2时，若x＜a，则f（x）=-ax+1，此时f（x）∈（-a2+1，+∞）；若x≥a，则f（x）=（x-2）2∈[（a-2）2，+∞）；若函数f（x）存在最小值，则-a2+1≥（a-2）2，此时不等式无解.综上，0≤a≤1，所以a的最大值为1.

点拨：对于含有参数的分段函数，要让学生充分理解代数式的意义，抓好数形结合思想。

五、新高考试题中的分段函数与方程思想

高考试题通过分段函数与方程相结合的方式考查学生对抽象图形的处理及解答能力。分段函数与方程的结合是新题型，它主要考查学生数形结合能力，试题有一定难度，但有较强的再生能力。这种分段函数与方程相结合的出题方式不仅可以提高学生的综合能力，还是对学生基础能力的整体考查。针对这类问题，首先学生要分析问题中所给出的信息系统性，其主要考查学生做题时的细心程度，因此在对该类型题目进行计算时，一定要认真审题确保答案正确。针对这一问題，学生在掌握分段函数以及方程基本内容的同时，只有将两者结合在一起并通过绘制图象的形式才能保证答案的正确率。

例6（2021 浙江12）已知a∈R，函数f（x）=x2-4，x＞2x-3+a，x≤2.若f（f（■））=3，则a=_________.

考点：分段函数的求值（理性思维）。

分析：本题看上去是分为两段，实则是分为三段；求分段函数的函数值时，关键是判断出自变量的取值所处的区间，再代入相应的函数解析式，严格用分段函数的定义，由内到外求值。

【解析】因为■＞2，所以f（■）=6-4=2，所以f（f（■））=f（2）=1+a=3，解得a=2.

点拨：关键是充分理解分段函数的定义。

总之，在新高考试题中针对分段函数的考试题型，还会通过让学生根据分段函数的性质以及特点，通过让学生带入数值的方法和数形结合思想对问题进行解答，该类型题目大多是以填空的形式出现，让学生通过计算从而得出正确答案。该类型题目中涉及了计算，所以很多学生会因为计算失分，同时该类型的考题主要考查学生对分段函数基本性质的掌握程度，因此学生在对分段函数展开探索和计算时，一定要多方面地对问题结构以及内容进行分析，结合教师在课上所讲的分段函数的解题技巧进行思考，然后可以通过观察、分析及计算对练习题或高考真题进行解答，从而最大限度地确保答题的正确率。

以分段函数为载体的函数问题是每年必考的高考题型。通过以上内容总结，我们会发现在新高考试题中针对分段函数并不会单一地进行考查，会结合图象、方程等多种考试类型进行考查，从而提升学生的综合答题能力。

（作者单位：云南省曲靖市宣威市第五中学）

编辑：陈鲜艳