立足双曲定线长路解法漫漫

张悦

摘要：对2023年高考双曲线题进行深入研究，给出9种解法，同时挖掘出本题与极点极线背景相关的知识点，由此将双曲线定直线的结论引申到椭圆和抛物线中.

关键词：双曲线;定直线;圆锥曲线;极点;极线

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）11-0062-03

数学运算素养是新课程标准提出的六大核心素养之一，而圆锥曲线解题教学是培养学生数学运算素养的良好载体.它本质是一种思维模式，这种思维模式的过程包括：理解运算对象→掌握运算法则→探求运算思路→选择运算方法→设计运算程序→求得运算结果[1].在解决圆锥曲线定线问题的过程中，最常见的解题思路是联立直线和曲线后通过设出方程求解，本文在此基础上，又从几何和代数角度给出多种解题策略供读者参考.

1 真题呈现

题目已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为（-25，0），离心率为5.

（1）求C的方程;

（2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点（-4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，点M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上.

2 解法赏析

第（1）问解法分析略，

双曲线C的方程为x24-y216=1.下面对第（2）问进行探究.

解法1（设而求之）设lMN：x=my-4（-12

从而x1=4m4m2+3+44m2-1，x2=4-4m4m2+34m2-1.

设P（x0，y0）在定直线上，设lMA1：y=y1x1+2（x+2），lNA2：y=y2x2-2（x-2），将（x1，y1），（x2，y2）代入化简，得x0+2x0-2=y2（x1+2）y1（x2-2）=-13，解得x0=-1.

所以点P在定直线x=-1上，

解法2（设而不求）联立直线与曲线方程x=my-4（-12

（4m2-1）y2-32my+48=0.

由韦达定理知y1+y2=32m4m2-1，y1y2=484m2-1.

设lMA1：y=y1x1+2（x+2），lNA2：y=y2x2-2（x-2），设P（x0，y0）在定直线上，即y0=y1x1+2（x0+2），y0=y2x2-2（x0-2）.

化简，得x0+2=y2（x1+2）y1（x2-2）（x0-2）.

其中y2（x1+2）y1（x2-2）=my1y2-2y2my1y2-6y1=-13，

从而x0+2=-13（x0-2），解得x0=-1.

解法3（先猜后证）由双曲线的性质猜想点P在直线x=n上，当lMN斜率不存在时，M（-4，43），N（-4，-43），联立两条直线lMA1，lNA2，解得

x=-1，即n=-1;当lMN斜率存在时，要证y0-1+2=y1x1+2，y0-1-2=y2x2-2， 即证y1x1+2=-3y2x2-2，即证y1y2=32m（y1+y2），韦达定理代入得证.

解法4（三点共线）因为M，B，N三点共线，所以kMB=kBN，即y1x1+4=y2x2+4.

联立方程x=x0+2y0y-2，x24-y216=1，化简为

y·［（4（x0+2）2y20-1）y-16x0+32y0］=0，

解得y1=16x0y0+32y04x20-y20-16x0+16.

代入原式，得

x1=2y20+8x20+32x0+324x20-y20+16x0+16.

同理y2=-16x0y0+32y04x20-y20-16x0+16，

x2=-2y20-8x20+32x0-324x20-y20-16x0+16 .

代入化简，得（x0+1）（4x20-y20-16）=0.

又因为点P不在双曲线上，所以x0=-1，

解法5（“第三定义”）由M（x1，y1），N（x2，y2）在双曲线上可得到

y1x1+2·y1x1-2=4，y2x2+2·y2x2-2=4.

则x+2x-2=y2x2-2·x1+2y1=4（x2+2）y2·x1+2y1=4（my2-2）（my1-2）y1y2=-13.

解法6（齐次化构造）由第三定义知kNA1kNA2=4，其中kNA2=y0x0-2.

所以kNA1=4（x0-2）y0，kMA1=y0x0+2.

所以kMA1kNA1=y0x0+2·4（x0-2）y0=4·x0-2x0+2.

將双曲线C向右平移2个单位，得

（x-2）24-y216=1;

lMN向右平移2个单位，得-x+my2=1.

所以4x2-16x·（-x+my2）+16-y2=16.

所以（yx）2-8m（yx）-12=0.

所以4·x0-2x0+2=-12.所以x0=-1.

解法7（整体换元）联立直线和双曲线有

x+2x-2=x1y2+2y2x2y1-2y1.

由M，N，（-4，0）三点共线有y1x1-4=y2x2-4.

化简，得x2y1-x1y2=4（y2-y1），①x2y1+x1y2=（my2-4）y1+（my1-4）y2

=2my1y2-4y1-4y2.②

联立①②，得x2y1=32y2-52y1，x1y2=32y1-52y2.

则x+2x-2=x1y2+2y2x2y1-2y1=-13.

解法8（定比点差法）设MB=λBN，则-4=x1+λx21+λ，0=y1+λy21+λ，化简得

x1+λx2=-4-4λ，y1+λy2=0.

有x214-y2116=1，③

λ2x224-λ2y2216=λ2.④

③-④，得x21-λ2x224-y21-λ2y2216=1-λ2，

解得x1=-3λ-52，x2=-5λ-32λ.

所以x0+2x0-2=x1y2+2y2x2y1-2y1=y2y1·x1+2x2-2=-13.

所以x=-1.

解法9（三角参数）设M（2secα，4tanα），N（2secβ，4tanβ），B（-4，0），因为lMB和lBN直线斜率相等，所以有

4tanα2secα+4=4tanβ2secβ+4.

即sinα1+2cosα=sinβ1+2cosβ.

即sinα2sinβ2=-3cosα2cosβ2.

所以x+2x-2=2sinβ（1+cosα）2sinα（1-cosβ）=-13.

3 延伸拓展

圆锥曲线的极点和极线定义：如图1（以椭圆为例），点P是圆锥曲线外的一点，过点P引出两条割线，与圆锥曲线依次相交于E，F，G，H四点，连接EH，FG，两线交点设为点N;再连接EG和FH，两线交点设为点M，其中直线MN称为点P对应的极线;如果点P位于圆锥曲线上，则过点P的切线就为该点的极线.

笔者深入研究发现，定点（-4，0）和定直线x=-1类似于圆锥曲线中的极点和极线，那么基于定点定线和极点极线知识体系的统一性，将双曲线的探究背景置换成椭圆和抛物线，得到相应结论.

结论1双曲线（焦点在x轴）：已知双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1，记C的左、右顶点分别为A1，A2，过定点（s，0）（s≠±a，s≠0）的直线与C交于M，N两点，直线MA1与NA2交于点P，则点P在定直线x=a2s上.

结论2椭圆（焦点在x轴）：已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0），记C的左、右顶点分别为A1，A2，过定点（s，0）（s≠±a）的直线与C交于M，N两点，直线MA1与NA2交于点P，则点P在定直线x=a2s上.

结论3抛物线（焦点在x轴）：已知抛物线C的方程为y2=2px（p>0），过定点（s，0）（s≠0）的直线与C交于M，N两点，过M，N分别作抛物线的切线，两条切线相交于点P，则点P在定直线x=-s上.

4 结束語

大道至简，也如同高考定直线试题有极点极线知识背景一般，将试题抽丝剥茧后抓住核心定点对应定直线，在解析几何中可以直接利用这些结论较为快速地解题.笔者希望通过本题的多视角求解和多方面延伸，促使学生对圆锥曲线进行整体认知建构，提升数学运算核心素养.

参考文献：

［1］ 罗文力，周祝光，黄祥勇.对解析几何中韦达化以及非对称韦达化处理的策略分析[J].中学数学研究（华南师范大学版），2023（17）：43-46.

［责任编辑：李璟］