浅谈数形结合思想在高中数学教学中的应用

2024-05-29 16:17王进忠
考试周刊 2024年20期
关键词:数形结合思想高中数学教学应用价值

作者简介:王进忠(1978~),男,汉族,福建龙海人,福建省龙海第二中学,研究方向:高中数学教学与研究。

摘 要:数形结合作为高中数学的重要思想方法之一,不仅体现在知识教学中,还体现在各种解题实践中,是对学生知识技能及思维的综合性考查。因此,高中数学教师在具体的教学中,要积极应用数形结合思想,让学生通过数与形结合的方式,探寻知识背后所蕴藏着的数学方法,明晰知识的本质,提升应用知识解决实际问题的能力,积累更为丰富的数学实践活动经验,培育学生核心素养。基于此,文章首先阐述了数形结合思想的基本内涵,随即分析了数形结合思想在高中数学教学中的应用价值,最后论述了数形结合思想在高中数学教学中的应用策略,旨在让高中数学课程教学的效果得到大幅提升。

关键词:数形结合思想;高中数学教学;应用价值;应用策略

中图分类号:G633.6   文献标识码:A   文章编号:1673-8918(2024)20-0100-04

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》强调高中数学课程教学不仅要突出数学主线,凸显数学的内在逻辑和思想方法,还要结合所教学的内容,处理好数学核心素养与知识技能之间的关系。“四基”作为数学核心素养的有效载体,数学思想方法又是数学基本思想在操作层面上的具体体现,所以学生核心素养培育可以建立在数学思想方法之上。数形结合作为重要的思想方法,不仅能够加大数学核心素养在教学中培养的可操作性,也能够充实核心素养的基本内核,帮助学生在数形结合思想的导引下展开更高质量的课程学习及解题实践操作,促进他们高效学习、全面发展。

一、 数形结合思想的基本内涵

数形结合思想既是一种思维方法,又是解题的基本策略,它是将抽象的数学语言和直观的几何图形有机结合起来,以图片为媒介,通过数与形之间的相互作用,将复杂的问题简单化、抽象的知识直观化,其基本形式有以形助数、以数解形、以形助数、以数解形等。“数形结合”的本质就是让学生根据具体的内容,实现数与形之间的互相转化,使所学知识不仅形象直观且具备可运算性,达到高效学习数学知识的目的。

数形结合思想的应用将能让学生的知识理解及解题实践变得更为容易,更能加深他们的感知,降低学习难度,推进学生实现深度学习。但在数形结合思想的应用过程中,教师需要注意以下两点:

1. 双向考量

在应用数形结合思想的过程中,教师要引导学生从“数”与“形”两个角度出发进行分析与考量。高中数学的知识点具有较强的逻辑性和抽象性,问题具有复杂性,所以学生需要形成多角度考量的习惯。学生应先以图像的方式直观呈现知识信息或者数学问题中所要推断的未知条件,随后再运用代数知识对数学问题展开逻辑分析,以此弥补单一化视角对知识或问题思考不全面的问题。

2. 等价考量

在应用数形结合思想的过程中,教师要引导学生保证“数”的代数性与“形”的几何性质相一致,使得问题中给出的条件与关系、知识点中的条件与信息与所画图形相吻合,避免出现理解“误差”,偏离原本方向。前后间保持一致将更好地借助图形的直观特性精准展现代数性质,方便学生理解与运用,突破学生思维定式,更好地为学生的“学”而服务。

二、 数形结合思想在高中数学教学中的应用价值

(一)有利于帮助学生深入理解知识

高中数学教师应用数形结合思想能帮助学生深入理解所学知识点,构建较为完善的知识体系。高中阶段的数学知识相对来说比较抽象、复杂,大多数的知识点由字母、公式、数字组合而成,学生很容易混淆,也难以达到理解、内化知识并迁移应用、举一反三、融会贯通的目的。而通过数形结合的方式,学生能够借助图像,直观理解理论性较强的知识点,厘清数量关系,探寻知识的本质与内核,达成他们对知识的深度理解。同时,数形结合思想的间接性、直观性及有效性特点也能够将代数与几何两大教学内容联系起来,引领学生从多个不同角度解读知识点,使得学生能够基于一个维度去理解另一个维度的知识内容,进而让学生以综合考量的方式把握不同单元知识之间的联系,深层分析知识结构之间的关系,大幅提升学生的知识学习与理解效果。

(二)有利于提升学生问题理解能力

数形结合思想在高中数学教学中的应用将能有效提升学生的问题理解能力。高中阶段的数学问题比较复杂,教师指导学生运用数形结合的思维方式分析问题,可以将问题中的相关信息及条件以图形的方式呈现出来,帮助学生更为快速地找到解题的突破口,使学生了解不同问题条件背后所隐藏着的知识信息,学生也将学会多角度看待问题,运用不同的方式解决问题。另外,学生在得到了答案之后,也能够借助图形进行归纳和总结,加深对题目的理解,掌握数与形之间的关系,基于具体的问题,进一步分析数与形之间的转换,突破思维定式,提升解题的思维与技巧。

(三)有利于发展學生创新创造素养

数形结合思想在高中数学教学中的应用将能有效发展学生的创新创造素养。数形结合思想从数学本质规律出发,以培养学生解决抽象问题的能力为目标,让学生在深入解读并熟悉了教材知识点的基础上,对数学知识产生直观化理解,并在头脑中建构起有关数学知识的数形关系,形成数学思维。在数形结合思想长期的熏陶与感染下,学生在学习中将下意识地将图形与各种知识点串联在一起,探寻其中的数形关系,持续发展独立思考能力。这样一个过程不仅能让学生经历科学严密的思考过程,也将推进学生的快速发展。学生能够聚焦不同的知识点,以不同的图像呈现出来,还能够利用知识点,寻求问题的不同解法,大幅提升他们的综合能力,全力发展创新创造素养。

三、 数形结合思想在高中数学教学中的应用策略

(一)数形结合思想在高中数学理论知识讲学中的应用

1. 创设数形结合情境,初步认知理论知识

高中阶段的数学理论知识具有一定的抽象性,教师在应用数形结合思想辅助学生理解理论知识的过程中,应该重视数形结合情境的创设,以情境引领学生产生对理论知识的形象感知,激发学生探究理论知识学习的兴趣与能动性,使得学生能够在情境感知、情境探究等活动中初步解读理论知识,形成对理论知识的直观认知。

以人教版高中数学课本教材为例,教师在教学《单调性与最大(小)值》时,其中的教学重点就是让学生借助函数图像学会用符号语言表达函数的单调性,理解函数单调性的作用及实际意义。在让学生展开对函数单调性及最大、小值探究之前,教师就要创设与之相关的数形结合情境,让学生获得初步的感知。比如,教师可以借助信息技术为学生播放打羽毛球的视频,让学生思考一个问题:“羽毛球抛出又下落的轨迹与什么相似?”这一丰富的生活化情境能够拉近所教学内容与学生经验认知之间的关系。基于这一情境,教师可以指导学生完成绘图,增进感知。比如,教师可以让学生在草稿纸上画出羽毛球抛出时的运动轨迹及羽毛球下落时的轨迹,学生在一系列直观化体验中,将重点关注羽毛球抛向“最高处”的这一点,进而引申出函数的最值。在学生积累了丰富的经验认知之后,教师再顺势引入二次函数,让学生自行绘制二次函数图像,并将其与羽毛球抛出時的运动轨迹相对比,聚焦羽毛球“上升”“下降”问题,探究二次函数单调上升及单调下降的问题。最后,再将毛球的最高点和最低点与函数的最大值和最小值相联系,让学生获得对增函数性质与最值、减函数性质与最值的初步认知,并将这种认知迁移应用于后续函数“奇偶性”的探究与讨论中,逐渐加深他们的理论知识学习程度。

2. 实施数形结合推理,深层掌握数学理论

在以往的教学过程中,学生始终处于被动接受知识的状态,他们对知识的理解难以达到“深度”境地。在具体的教学中,教师可以通过数形结合的方式引导学生参与知识的推理与分析活动,使得他们在推理过程中从不同的角度参与知识生成的过程,深层掌握数学理论,形成良好的抽象意识及归纳思维,切实提升数学学习能力。这样一来,学生理论知识学习效果将更佳,也能够促进他们达成对基础知识内容的多元、全面、立体建构,为后续的迁移应用知识解决实际问题奠定基础。

以人教版高中数学教材中《同角三角函数的基本关系》为例,对sin2α+cos2α=1这一基本关系式的讲解,便可以借助教材中的图像(如图所示)辅助学生理解。基于这一图像,让学生从中得出数量关系。比如,OM2+MP2=1,以此得出x2+y2=1。在得出了这样一层关系式之后,教师在让学生仔细观察图像,当α的终边与坐标轴重合的时候,这个公式便成立了。因此,结合这一图像,根据三角形函数的定义,当α≠kπ+π2(k∈Z)时,有sinαcosα=tanα。基于这一图像信息,学生可以总结具体的语言表达:同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切。如上,教师在教学中借助教材的图像让学生经历了同角三角形函数基本关系式的推导,使得学生亲身经历了理论知识生成的过程,加深了对三角形函数基础知识点的理解。在后续更多的三角函数关系式推导中,教师同样可以辅助使用图像让学生理解、经历数学原理的推导与证明过程,使其感受知识间的内在联系,提升对知识的理解效度。

(二)数形结合思想在高中数学问题解决实践中的应用

1. 以形解数,降低难度

以形解数主要聚焦学生对代数问题的解决,代数问题在高中数学解题中占据较大比重,且都有较强的抽象性,学生在解答的时候存在各种困难。因而,教师可以让学生借助图形表示数量关系或者变化过程,精准分析其中所涉及的数量信息,降低问题理解的难度,使得学生能够将一些复杂的题目信息简单化、直观化,变成易懂的图形图像,轻松找到解题的突破口。同时,借助图形还能够使学生逐渐明晰解题的思路,避免解题过程偏离方向,大幅提升解题效率。

以人教版高中数学课本教材为例,教师在教学《二次函数与一元二次方程、不等式》时,一元二次方程的根值问题是一个重点。教师可以出示一道比较经典的“根值”问题,通过数形结合的方式辅助学生分析、解答,让他们学会使用数形结合思想解答代数问题,降低难度。教师可以出示以下问题:

关于x的实系数方程x2+ax+b=0的一个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)内,那么a+2b-3的范围是多少呢?这是一道比较经典的一元二次方程根值问题,教师可以让学生利用图像完成解析,剖析其中的数量关系,找到解题的突破口。学生可以使用两种方法完成解析,具体如下:

解析一:根据这一方程两个根的信息,可以确定f(0)=b>0f(1)=1+a+b<0f(2)=4+2a+b>0,基于这一信息,可以画出(a,b)的区域(如下图1),结合图像,可以确定点A、B、C的坐标分别为(-1,0)(-2,0)(-3,2)。令z=a+2b-3,由线性规划可得:z=a+2b-3的取值范围是(-5,-2)。

解析二:在同一个坐标系中分别作出函数g(x)=-x2和h(x)=ax+b的图像(如下图2),h12=12a+b。函数h(x)=ax+b的图像由抛物线上O、E之间的一点B和E、F之间的一点A得以确定,所要求的“z=a+2b-3”取值范围便是求直线与x=12的焦点纵坐标的取值范围。基于这一图像,可以很明确地得出一个信息:当直线经过E、F时,最大,经过O、F时,最小。结合图像信息,便可以确定a+2b-3的取值范围为(-5,-2)。

如上,教师在让学生解答一元二次方程的根值问题时,从两个不同的角度图坐标轴,使得学生借助图像找到了a+2b-3的取值范围,这样就大幅提升了学生的解题效率,降低了解题难度,持续深化了数形结合思想。

2. 以数促形,强化逻辑

以数促形主要聚焦学生对几何问题的解决,让学生用数字验证图形或直观反映图像信息,也就是让学生在几何直观的基础上对数量关系进行分析,这样的过程将持续增强学生的逻辑思维,提升他们对基础知识点的辨析能力。立体几何问题看似是“形”的问题,但还是与“数”的知识、方法有着十分紧密的关联。教师在指引学生解答立体几何问题时,便可以运用数形结合思想,为学生的解题提供新思路、新视角,让他们拥有更多的解题选择。同时,学生在这样一系列的实践探索中,将自觉辨析代数方法、几何方法解决立体几何问题的优缺点,从而基于自身的知识与技能基础,摸索出更加适合自身的解题方法,使得解题效率得到大幅提升。

以人教版高中数学教材中《圆锥曲线的方程》为例,以圆锥曲线为背景考查代数知识的问题比较多,教師可以为学生出示一道比较经典的例题,引领学生以数形结合思维完成推理,强化逻辑,大幅提升解题的效率与质量。对此,教师可以为学生出示以下例题:

如图所示,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,AE为底面直径,AE=AD,△ABC是底面的内接正三角形,P为DO上的一点,PO=66DO,求证:PA⊥平面PBC。

以上问题以圆锥为背景,考查线面垂直问题,需要学生以数形结合的方式完成解答,从而持续深化逻辑推理素养。证明垂直的问题,除了可以使用几何中垂直关系知识点之外,还可以使用代数中表示垂直的数量关系。这道题中给出的信息基本是数量关系,比如,AE=AD、PO=66DO等,所以在求PA⊥平面PBC时,便可以从代数关系入手。先设DO为a,根据题目信息可得:PO=66a,AO=33a,AB=a,PA=PB=PC=22a。根据以上信息,可以得出以下结论:

结论一:PA2+PB2=AB2。依据这一数量关系,可以得到PA⊥PB;

结论二:PA2+PC2=AC2。依据这一数量关系,可以得到PA⊥PC。

根据线面垂直的证明条件,依据以上结论,便可以得证PA⊥平面PBC。

如上,教师在让学生解答以上几何证明题时,没有直接从线面垂直几何证明条件的知识点入手,而是结合题目中的信息,抓住了一些数量关系,由已知的数量关系继续延伸,推导出其他的数量关系,构建“PA2+PB2=AB2”“PA2+PC2=AC2”的数量条件,得出线线垂直结论,最后证明线面垂直。这样一个过程充分体现了以数促形,学生在解题的过程中,逻辑思维不断深化,实现了解题能力的提升。

四、 结论

综上所述,在高中阶段的数学教学过程中,教师应该重视数形结合思想的应用,大幅提升学生的学习效果及质量。因而,教师应该从意识理念层面明确数形结合思想的基本内涵,领悟数形结合思想在高中数学教学中的应用价值。随后,在理论知识教学及问题解决实践中积极应用数形结合思想,使得学生将数形结合思想贯穿于知识学习及解题实践中,持续深化他们的逻辑分析能力、数学建模应用能力及数学运算能力,推进学生展开更为深入的数学学习活动,达到深度学习的境地,实现知识、技能及素养的提升,进而全方面贯彻落实新课标的理念,打造更为高效的数学课堂。

参考文献:

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