动静分离巧拆分 数形结合妙转化

项怡芳 顾予恒

笔者在一次高三模拟测试中遇到了一道绝对值不等式的相关问题．讲评时发现很多同学是通过特殊值法猜出了答案，但却对本题到底考查了什么内容不甚明了．若仅以选对答案为问题解决的终点，不免辜负了命题人的一番良苦用心，不能发挥题目的教育价值．于是，笔者借由这道试题，设计了一个高三复习微专题，以期探寻一种结合图象处理函数不等式的方法，加深函数与不等式理解，为高考函数与不等式内容复习提供一种示范．

1  试题呈现，解法赏析

已知a，b∈R，若对任意x∈R，ax－b+x－4－2x－5≥0，则（  ）.

A．a≤1，b≥3    B．a≤1，b≤3

C．a≥1，b≥3    D．a≥1，b≤3

分析：本题是一道常见的绝对值不等式恒成立问题，通过创设新的设问角度，考查思维的灵活性．考生看待条件的视角不同决定了解题方式的不同．

视角一  看成含参绝对值函数恒正的问题．

解法一：令f（x）=ax－b+x－4－2x－5，则显然它的图象为三段折线，可用必要条件先行速解．当x→+∞时，必有ax－b+x－4－2x－5≥0，即a－1x≥ab－1当x→+∞时恒成立，故a≥1．当x=b时，b－4≥2b－5，解得1≤b≤3，故选D．

视角二  拆分成两个函数比较大小的问题．

图1

解法二：因为ax－b+x－4－2x－5≥0，所以ax－b≥2x－5－x－4．

令g（x）=ax－b，h（x）=2x－5－x－4，显然g（x）的图象是一个“V”字图，底端位置由b决定，倾斜程度由a决定．

由题意知g（x）的图象始终落在h（x）的图象上方，故只能画出如图1所示的图象．

显然a≥1，b≤3，故选D．

评注：两种解法都是依托函数图象，研究函数性质，区别在于画一张图看本身性质还是画两张图看相互关系．显然法一如果正面解决，两个参数的分類讨论会非常复杂，因此采取了必要条件优先的策略，从反面突破．但要注意，这样只是得出a，b的范围，并非是充要条件．

由于本题属于判断型选择题，因此以上两种方法，甚至取特殊值a=b=2作判断都可行，但解法一和特殊值法缺乏充分性的证明．如果将试题改变为如下变式，就不可行了．

变式  已知a，b∈R，若对任意x∈R，ax－b+x－4－2x－5≥0，则a－b的取值范围是      ．

图2

解：同解法二拆分作图2，注意到参数a，b是有关联的．

显然b就是g（x）图象最低点的横坐标，所以1≤b≤3．但对于每一个确定的b，a都有相应的范围，即a≥kAB=34－b．

所以a－b≥34－b－b=34－b+4－b－4≥23－4，当且仅当b=4－3时，取得等号．

评注：解法二的关键步骤在于将一个不易作图的函数（不等式）问题，通过拆分，转化为两个相对容易作图的函数之间的关系问题．通常，我们会拆分成一动一静两张图象，将这样的拆分方式称为“动静分离”，遵循的基本原则是“静图能画，动图易画（例如直线）”．其实，通常说的参变分离就是动静分离的一种特殊情况．

2  追根溯源，触类旁通

其实动静分离的解题方法并非从天而降，追根溯源，可以找到众多的前车之鉴．例如，在教材《函数的零点与方程的解》一节中就涉及类似的转化．

题1  已知实数a，b都不为0，求证：函数f（x）=3ax2+2bx－a+b在0，1内一定有零点．

分析：本题如果直接用二次函数解决，需要进行分类讨论，但因为含有两个参数a，b，因此讨论相当繁琐，故采取动静分离的策略解决．图3

证明：由3ax2+2bx－a+b=0得a（3x2－1）=－b（2x－1），

即3x2－1=－ba2x－1．等式左边为静态函数，右边为过A12，0的动直线，如图3画出图象，数形结合显然在（0，1）内一定有交点．

评注：本题是判断函数有无零点的问题，通过动静分离，转化为研究两个函数图象的交点，从图形角度入手处理．

题2  已知函数f（x）=x2－1+x2+kx在0，2上有两个不同的零点x1，x2，求k的取值范围．

解：由题意知x2－1+x2+kx=0．

分离方法一：x2－1+x2x=－k，（转化为曲线与水平线的交点）

分离方法二：x2－1+x2=－kx，（转化为曲线与直线的交点）

分离方法三：x2－1=－x2－kx.（转化为曲线与曲线的交点）

图4

以分离方法二为例，即g（x）=x2－1+x2与h（x）=－kx的图象在（0，2）内有两个交点，如图4可知需满足1<－k<72，即－72

评注：本题涉及函数零点个数问题，动静分离的方式多种多样，一般会优先选择一直一曲．

题3  （2022新高考I卷22）已知函数f（x）=ex－ax和g（x）=ax－lnx有相同的最小值．

（1）求a；

（2）证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f（x）和y=g（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

解：（1）易得a=1，过程略．

（2）f（x）=ex－x与y=b的交点个数即方程ex = x + b的解的个数，即函数y1  = e x与y2=x+b的交点个数；同理g（x）=x－lnx与y=b的交点个数即函数y3=lnx与y4=x－b的交点个数．

图5

如图5，在同一个坐标系中作出以上四个函数的图象，注意到两个静函数y1  = e x与y3=lnx的图象关于y=x对称，两个动函数y2=x+b与y4=x－b也关于y=x对称．

显然当01时，图象有四个交点A，B，C，D．由题意可知四个交点只能有三个不同的横坐标，即当xB=xC时，存在b使得满足题意．

设A（x1，ex1），B（x2，ex2），C（x2，lnx2），D（x3，lnx3），则由A，C关于y=x对称得ex1+lnx22=x1+x22，

ex1－lnx2x1－x2=－1，化简得x1=lnx2，而lnx2=x2－b，所以x1=x2－b；

同理由B，D关于y=x对称得x2=x3－b，因此x1－x2=x2－x3，即x1+x3=2x2，所以从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

评注：本题涉及函数零点范围问题，通过动静分离，几何研究两个互为反函数的图象性质，代数求解坐标关系，真正发挥数形结合的威力．当然本题也可以直接看成动直线y=b与静函数y=f（x）和y=g（x）的交点问题，解法类似．

除了零点问题外，恒成立问题也常常涉及动静分离的转化．

题4  已知函数f（x）=xex－a2x+12，当x≥0时，不等式f（x）≥2ex－a2－2恒成立，求a的取值范围．

解：f（x）≥2ex－a2－2，即xex－2ex+2≥a2x2+2x（动静分离为两曲）．

令g（x）=xex－2ex+2，h（x）=a2x2+2x，

因为g′（x）=x－1ex，g″（x）=xex，所以x=1是极小值点，x=0处是拐点，y=－x为g（x）在拐点处的切线方程．

图6

注意到g0=0，h0=0，所以要想满足g（x）≥h（x）在x≥0时恒成立，只能画出如图6的大致图象，且至少满足g′0≥h′0，即a≤－1．（采取必要條件先行并非从天而降，而是源自于预期的函数图象）

下证充分性.当a≤－1，h（x）=a2（x2+2x）≤－12x2+2x≤－x，因为y=－x为g（x）在拐点处的切线，故再证当x≥0时，xex－2ex+2≥－x．

令m（x）=xex－2ex+2+x，则m′（x）=x－1ex+1，m″（x）=xex>0，所以m′（x）>m′（0）=0，所以m（x）≥m0=0．

综上，当a≤－1时，满足a2x2+2x≤－x≤xex－2ex+2，得证．

评注：本题将不等式恒成立问题转化为一条静态曲线和一条动态抛物线的位置关系．之所以没有采用完全的参变分离，是因为可以预判形如y=xex－2ex+2x2+2x这样复杂的函数求导画图会非常困难，因此选择动静函数时一定要确保“静图能画”的原则．

题5  已知不等式ex－ax－b≥0（a，b∈R，a≠0）对任意实数x恒成立，则b－2a的最大值为      ．

解：动静分离将不等式转化ex－2≥ax+b－2=ax+b－2a．

图7

b－2a的几何意义为直线y=ax+b－2a与x轴的截距的相反数．如图7，y=ex－2恒在直线y=ax+b－2a的上方．

所以－b－2a≥ln2，得b－2a≤－ln2．

评注：本题是双参不等式恒成立问题．在动静分离时，充分考虑了目标式的几何意义，才能经过配凑，分离出想要的动函数和静函数．

题6  已知函数f（x） = xex + m，g（x）=2lnxx+1x+1m．当m>0时，若f（x）>g（x）对于任意的x∈0，+∞恒成立，求实数m的取值范围．

解：由f（x）>g（x）得xex + m > 2lnxx + 1x + 1m，所以xex-2lnxx-1x > 1m-m，（注意到左边的新函数求导无尽头，所以需要转化）.

所以x2ex-2lnx-1 > 1m-mx．

（此时可以转而去研究左边函数过原点的切线，用隐零点的方式处理，但依旧不容易）.

注意到，因为ex≥x + 1，所以ex + 2lnx-x + 2lnx + 1≥0，当且仅当x+2lnx=0时取等号，所以上述不等式配凑为x2ex-x + 2lnx + 1 > 1m-m-1x．

令h（x） = x2ex-x-2lnx-1，k（x） = 1m-m-1x，转化为直线与曲线的动静分离．因为h′（x） = x2 + 2xex-2x-1 = x + 2x2ex-1x，所以存在唯一的x0，使得h′x0=0，即x02e x0-1 = 0．

h（x）在0，x0上单调递减，在x0，+∞上单调递增，且hx0  = x02ex0-x0 -2lnx0 -1 = 0．

图8

所以如图8，必有1m－m－1<0，解得m>－1+52．

评注：本题在动静分离时，利用同构思想，配凑出一个最小值恰为0的静函数．从解题的过程中可以看到，配凑方式的选择有很强的目的性，需要很高的化简能力．

题7  设函数f（x）=ax2+|x－a|+b（a，b∈R），若对任意的b∈［0，1］及任意的x∈［－3，3］，不等式f（x）≤2恒成立，求a的取值范围．

解：因为f（x）≤2，即－2≤f（x）≤2，所以由题意知－2≤ax2+x－a+b≤2对任意b∈0，1及任意x∈－3，3恒成立．

这是双任意问题，中间的式子是关于x和b双主元的，显然看成关于b的一次不等式更容易处理，故－2≤ax2+x－a+b≤2对任意b∈0，1恒成立，则满足－2≤ax2+x－a≤1．

于是，－2≤ax2+x－a≤1对任意x∈－3，3恒成立．

－2－ax2≤x－a≤1－ax2，从图象上理解即y=x－a被夹在y1=－2－ax2与y2=1－ax2之间．

（1）若a>0時，则左侧不等式显然成立，右侧只需满足－3－a≤1－9a，解得a≤－15，又因为a>0，所以无解．

图9

（2）若a<0时，如图9，画出图象可知，需要满足y=1－ax2与y=x－a相离或相切．注意到两个函数在x=1处有公共点，因此只能相切．此时1－ax2=x－a，由Δ=0得a=－12．

又当a=－12时，y=－2+12x2与y=－x－12恰好交于－3，52，符合题意．综上，a=－12．

评注：本题无法实现动静分离，因此采用了动动分离．

3  教学启示

就教学内容而言，函数、方程与不等式是相互融合的三剑客，借助函数图象研究性质，通过数形结合解决问题是函数和不等式相关内容复习的正确方式．本文介绍的动静分离技巧充分体现了函数图象的价值和转化化归的思想方法．

高三复习总是离不开试题的讲解，我们不仅要讲试题的精彩解法，更要赏析每一道试题的内涵和背景，要让学生知其然，更要知其所以然，只有这样才能最大化地发挥试题的价值．同时也要充分发挥多题一解的功能，通过对同类问题的有效选取和设计，利用微专题讲清一类问题，总结通性通法，帮助学生更好地掌握数学知识和解题技巧，领会数学思想，形成良好的数学素养．只有这样才能达到讲解少量试题，就让学生“做会一道，通晓一类”的目的．

参考文献

［1］顾予恒.例析数形结合法解多元函数不等式——从2023年全国新课标I卷第19题说起［J］．中学数学教学参考，2023（9月上旬）：57—58，72．

［2］李昭平，李叶生．将数学高考题引入复习课堂——对2020年一道高考压轴题的探究设计［J］．中学数学杂志，2021（3）：63—66．

［3］马晋华．关于参变分离法的深入探究——以不等式恒成立取值问题为例［J］．数学教学通讯，2021（12）：85—86．