一道征解题的证明、加强与变式探究

叶超

问题  《数学通讯》2023年第2期（上半月刊）问题征解第595题已知正数a，b，c满足a+b+c=3，证明：

a3b2+2c+b3c2+2a+c3a2+2b≥1.（1）

从不等式（1）的结构上看，容易想到柯西不等式，由此入手可打开解题思路.

证法1：由柯西不等式知，不等式（1）可转化为

（a2+b2+c2）2≥ab2+bc2+ca2+2（ab+bc+ca），

注意到a2b+b2c+c2a+ab2+bc2+ca2=（a+b+c）（ab+bc+ca）－3abc，

则利用已知条件知，问题可转化为

a2b+b2c+c2a+（a2+b2+c2）2+3abc≥5（ab+bc+ca），

由柯西不等式得（b+c+a）（a2b+b2c+c2a）≥（ab+bc+ca）2，则问题可转化为

（ab+bc+ca）2+3（a2+b2+c2）2+9abc≥15（ab+bc+ca）.

把a2+b2+c2=9－2（ab+bc+ca）代入后，整理得

13（ab+bc+ca）2+9abc+243≥123（ab+bc+ca）.

由舒尔不等式（a+b+c）3+9abc≥4（a+b+c）（ab+bc+ca）得

9abc≥12（ab+bc+ca）－27，由此问题可转化为

13（ab+b+ca）2－111（ab+bc+ca）+216≥0，

分解因式得（ab+bc+ca－3）［13（ab+bc+ca）－72］≥0（2），

由已知易知，0

注意到不等式（1）分母中第二项与第一项的结构特点，联想到均值不等式，可得又一种证法.

证法2：由2c≤c2+1，2a≤a2+1，2b≤b2+1知，不等式（1）可转化为

a3b2+c2+1+b3c2+a2+1+c3a2+b2+1≥1，利用已知条件及柯西不等式，问题可转化为（a2+b2+c2）2≥a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）+3，等价于（a2+b2+c2）2+a3+b3+c3≥3（a2+b2+c2）+3.

由a3+b3+c3≥13（a2+b2+c2）2≥13×13（a+b+c）2（a2+b2+c2）=a2+b2+c2知，问题可转化为（a2+b2+c2）2－2（a2+b2+c2）－3≥0，分解因式得（a2+b2+c2+1）（a2+b2+c2－3）≥0（3），

由a2+b2+c2≥13（a+b+c）2=3可知，不等式（3）成立，从而可知不等式（1）成立.

点评：比较两种证法，证法1过程复杂，用到了柯西不等式和舒尔不等式，证法2比较简捷，仅用到了柯西不等式和均值不等式，但是如果不等式（1）中的分母结构不具备利用均值不等式进行放缩，那么证法1则更加具有一般性.因此，一般性证明比特殊性证明更加具有探究意义.

注意到问题中隐含的0

加强1  已知正数a，b，c满足a+b+c=3，0

a3b2+2c+b3c2+2a+c3a2+2b≥m+1－mabc（3）.

证明：由柯西不等式知，不等式（3）可转化为

（a2+b2+c2）2≥（m+1－mabc）（ab2+bc2+ca2）+2（m+1－mabc）（ab+bc+ca）.

等价于（m+1－mabc）（a2b+b2c+c2a）+（a2+b2+c2）2≥（m+1－mabc）［3（ab+bc+ca）－3abc］+2（m+1－mabc）（ab+bc+ca）.

可转化为（m+1－mabc）（ab+bc+ca）2+3（a2+b2+c2）2≥15（m+1－mabc）（ab+bc+ca）－9（m+1－mabc）abc.

把a2+b2+c2=9－2（ab+bc+ca）代入后，整理得（m+13）（ab+bc+ca）2+15mabc（ab+bc+ca）+9（m+1）abc+243≥mabc（ab+bc+ca）2+（15m+123）（ab+bc+ca）+9ma2b2c2（4），由已知易知，0

9ma2b2c2≤9mabc，于是不等式（4）可轉化为

13（ab+bc+ca）2+15mabc（ab+bc+ca）+9abc+243

≥（15m+123）（ab+bc+ca），

由舒尔不等式及已知条件得abc≥43（ab+bc+ca）－3（5），则问题可转化为

13（ab+bc+ca）2+［15m（ab+bc+ca）+9］［43（ab+bc+ca）－3］+243

≥（15m+123）（ab+bc+ca），整理得

（13+20m）（ab+bc+ca）2－（60m+111）（ab+bc+ca）+216≥0，

分解因式得（ab+bc+ca－3）［（13+20m）（ab+bc+ca）－72］≥0（6），

由已知易知，0

（13+20m）（ab+bc+ca）－72≤（13+11）×3－72=0，

所以不等式（6）成立，从而可知不等式（3）成立.

点评：如果把加强1中的条件0

加强2  已知正数a，b，c满足a+b+c=3，0

a3b2+2c+b3c2+2a+c3a2+2b≥3m+1－m（ab+bc+ca）（7）.

证明：由柯西不等式知，不等式（7）可转化为

（a2+b2+c2）2≥［3m+1－m（ab+bc+ca）］［ab2+bc2+ca2+2（ab+bc+ca）］，

等价于［3m+1－m（ab+bc+ca）］（a2b+b2c+c2a）+（a2+b2+c2）2

≥［3m+1－m（ab+bc+ca）］［5（ab+bc+ca）－3abc］，

由柯西不等式又知，问题可转化为

［3m+1－m（ab+bc+ca）］（ab+bc+ca）2+3（a2+b2+c2）2

≥［3（3m+1）－3m（ab+bc+ca）］［5（ab+bc+ca）－3abc］，

把a2+b2+c2=9－2（ab+bc+ca）代入后整理得

（18m+13）（ab+bc+ca）2+9（3m+1）abc+243

≥m（ab+bc+ca）3+（45m+123）（ab+bc+ca）+9mabc（ab+bc+ca）（8），

由已知条件易知，0

m（ab+bc+ca）3≤3m（ab+bc+ca）2，9mabc（ab+bc+ca）≤9m（ab+bc+ca），

则不等式（8）可转化为

（15m+13）（ab+bc+ca）2+9（3m+1）abc+243≥（54m+123）（ab+bc+ca）.

由不等式（5）知，问题可转化为

（15m+13）（ab+bc+ca）2+9（3m+1）［43（ab+bc+ca）－3］+243≥（54m+123）（ab+bc+ca），整理得

（15m+13）（ab+bc+ca）2－（18m+111）（ab+bc+ca）+216－81m≥0，

分解因式得（ab+bc+ca－3）［（15m+13）（ab+bc+ca）+27m－72］≥0（9），

由0

（15m+13）（ab+bc+ca）+27m－72≤（15m+13）×3+27m－72

=72m－33≤72×1124－33=0，

所以不等式（9）成立，从而可知不等式（7）成立.

点评：在加强1中，对于（4）式，如果利用mabc（ab+bc+ca）2≤9mabc，9ma2b2c2≤9m实施放缩转化，接着利用不等式（5）进一步转化，那么就会陷入困境之中，从而思路受阻.同样地，在加强2中，对于（8）式，如果利用m（ab+bc+ca）3≤9m（ab+bc+ca），9mabc（ab+bc+ca）≤27m，实施放缩转化，那么也达不到所要的目的.因此，对于不等式（4）、（8）来说，放缩转化时目标的选择至关重要，只有放缩的目标正确了，才能使问题顺利通畅.

如果说前面的征解问题看似平凡，但是有了上面的两个加强之后，这道征解问题的内在价值和智能含量就十分的丰富，对它进行深入地探究，可以不断充实我们的数学资源，提升解题效能.下面在两个加强的基础上，给出两个变式.

变式1 已知正数a，b，c满足a+b+c=3，證明：

a4b3+3c2+b4c3+3a2+c4a3+3b2≥1519－376abc.（10）

证明：由柯西不等式知，不等式（10）可转化为

76（a2+b2+c2）2≥（60－3abc）（a3+b3+c3+3（a2+b2+c2）］，把a2+b2+c2=9－2（ab+bc+ca），a3+b3+c3=27－9（ab+bc+ca）+3abc代入后整理得304（ab+bc+ca）2+9a2b2c2+2916≥1836（ab+bc+ca）+45abc（ab+bc+ca），由已知条件易知0

由已知条件易知0

变式2  已知正数a，b，c满足a+b+c=3，证明：

279（a33a3+3b2+21c+b33b3+3c2+21a+c33c3+3a2+21b）≥40－3（ab+bc+ca）.（12）

证明：由柯西不等式知，不等式（12）可转化为

279（a2+b2+c2）2

≥［40－3（ab+bc+ca）］［3（a4+b4+c4）+3（ab2+bc2+ca2）+21（ab+bc+ca）］，

等价于3［40－3（ab+bc+ca）］（a2b+b2c+c2a）+279（a2+b2+c2）2≥［40－3（ab+bc+ca）］{3（a4+b4+c4）+3［3（ab+bc+ca）－3abc］+21（ab+bc+ca）}.由已知条件及柯西不等式知，问题可转化为［40－3（ab+bc+ca）］（ab+bc+ca）2+279（a2+b2+c2）2

≥［40－3（ab+bc+ca）］［3（a4+b4+c4）+30（ab+bc+ca）－9abc］，把a2+b2+c2=9－2（ab+bc+ca），

a4+b4+c4=2（ab+bc+ca）2－36（ab+bc+ca）+12abc+81代入后，整理得

15（ab+bc+ca）3+682（ab+Bc+ca）2+81abc（ab+bc+ca）+12879≥6195（ab+bc+ca）+1080abc（13），由已知条件易知0

由不等式（5）知，问题可转化为

682（ab+bc+ca）2－6195（ab+bc+ca）+216（ab+bc+ca）［43（ab+bc+ca）－3］+11799≥0，整理得

970（ab+bc+ca）2－6843（ab+bc+ca）+11799≥0，

分解因式得（ab+bc+ca－3）［970（ab+bc+ca）－3933］≥0，（14）

由已知条件易知0