2022年新高考Ⅰ卷第12题函数性质的思考

吴雨霞 董晓丽 邱毅

2022年数学新高考Ⅰ卷第12题是关于原函数与导函数的“奇偶性”“对称性”的关系，以及函数图象变换和函数周期性的问题.题目综合性强，难度大.在人教版高中数学新教材中都能看到本题的影子.例如，人教A版高中数学新教材必修第一册第87页“拓广探索”第13题及第214页“拓广探索”第19题.人教A版高中数学新教材选择性必修第二册第5章第3节的节引言说明利用导数能更精确地研究函数的性质.教材中用导数研究函数的单调性，而奇偶性.对称性与周期性也是函數的重要内容，但教材中对于如何用导数研究函数的奇偶性和周期性并未提及.本文中对原函数与导函数的“奇偶性”“对称性”的关系及函数的周期性的相关结论统一进行证明，期望在教学过程中，教师能充分利用及深度挖掘教材中的题目，培养学生的直观想象和逻辑推理核心素养.

1试题呈现

（2022年数学新高考Ⅰ卷第12题）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）=f′（x）.若f32－2x，g（2+x）均为偶函数，则（）.

A.f（0）=0

B.g－12=0

C.f（－1）=f（4）

D.g（－1）=g（2）

2教材探源

题1（人教A版高中数学必修一第87页第13题）我们知道，函数y=f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y=f（x+a）－b为奇函数.

（1）求函数f（x）=x3－3x2图象的对称中心；

（2）类比上述推广结论，写出“函数y=f（x）的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y=f（x）为偶函数”的一个推广结论.

题2（人教A版高中数学必修一第214页第19题）容易知道，正弦函数y=sinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心.除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，那么对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题.

题1将奇函数图象关于原点对称的结论进行推广，即奇函数是函数图象中心对称的一种特殊函数，并要求学生类比奇函数的推广结论写出偶函数的推广结论，旨在培养学生的直观想象与逻辑推理核心素养.题2探究正弦函数图象的对称轴、对称中心，而正弦函数是典型的周期函数，因此正弦函数的图象是探索函数图象对称性与周期性的良好载体.在学习导函数之后可以发现正弦函数的导函数是余弦函数，从而说明可以从导数的角度研究函数图象的对称性.

3问题剖析

对于上述高考题，由图象变换可知，g（x）与f（x）的图象分别关于直线x=2与直线x=32对称，从选项中可以猜到需要探究g（x）与f（x）的周期性.由于g（x）为f（x）的导函数，因此需要寻找导函数与原函数对称性之间的关系.根据导函数的学习，学生可能有一个猜想：奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数.在实际的教学过程中，学生往往在猜想后，有的教师说结论是正确的，但并未证明，有的教师是不知如何证明.以下我们从奇函数与偶函数的导函数对称性质出发，给出原函数与导函数对称关系的统一证明.

结论1：若f（x）为可导的偶函数，则f′（x）为奇函数.

证明：因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（－x），等式两边同时对x求导，得f′（x）=－f′（－x）.令g（x）=f′（x），则g（x）=－g（－x），所以f′（x）为奇函数.

结论2：若f（x）为可导的奇函数，则f′（x）为偶函数.

证明：因为f（x）为奇函数，所以f（x）+f（－x）=0，等式两边同时对x求导，得f′（x）－f′（－x）=0.令g（x）=f′（x），则g（x）=g（－x），所以f′（x）为偶函数.

偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点（0，0）对称，而可导偶函数的导函数是奇函数，可导奇函数的导函数是偶函数.因此作出以下推广猜想：若可导函数的图象是轴对称图形，则其导函数的图象是中心对称图形；若可导函数的图象是中心对称图形，则其导函数的图象是轴对称图形.以下为证明.

结论1推广：若f（x）为图象关于直线x=a对称的可导函数，则f′（x）的图象关于点（a，0）对称.

证明：因为f（x）的图象关于直线x=a对称，所以f（x）=f（2a－x），等式两边同时对x求导，得f′（x）=－f′（2a－x）.令g（x）=f′（x），则g（x）=－g（2a－x），即g（x）+g（2a－x）=0，所以f′（x）的图象关于点（a，0）对称.

结论2推广：若f（x）为图象关于点（a，0）对称的可导函数，则f′（x）的图象关于直线x=a对称.

证明：因为f（x）的图象关于点（a，0）对称，所以f（x）+f（2a－x）=0，等式两边同时对x求导，可得f′（x）－f′（2a－x）=0.令g（x）=f′（x），则g（x）－g（2a－x）=0，即g（x）=g（2a－x），所以f′（x）的图象关于直线x=a对称.

结论3：若函数f（x）的图象关于点A（a，c），B（b，c）对称，则2|a－b|为f（x）的一个周期.

证明：因为f（x）的图象关于点A（a，c）对称，所以f（x）+f（2a－x）=2c.将x用2b－x替换，得f（2a－2b+x）+f（2b－x）=2c.因为f（x）的图象关于点B（b，c）对称，所以f（2b－x）+f（x）=2c.

所以f（2a－2b+x）=f（x）.故2|a－b|为f（x）的一个周期.

结论4：若函数f（x）的图象关于直线x=a，x=b对称，则2|a－b|为f（x）的一个周期.

证明：因为f（x）的图象关于直线x=a对称，所以f（2a－x）=f（x）.将x用2b－x替换，得f（2a－2b+x）=f（2b－x）.又因为f（x）的图象关于直线x=b对称，所以f（2b－x）=f（x）.

所以f（2a－2b+x）=f（x）.故2|a－b|为f（x）的一个周期.

结论5：若函数f（x）的图象关于点A（a，c）及直线x=b对称，则4|a－b|为f（x）的一个周期.

证明：因为f（x）关于点A（a，c）对称，所以有[JP5]f（2a－x）+f（x）=2c.用2b－x替换x，得f（2a－2b+x）+f（2b－x）=2c.又

因为f（x）的图象关于直线x=b对称，所以f（2b－x）=f（x）.

所以，可得f（2a－2b+x）+f（x）=2c.

令①式中的x为2a－2b+x，得

f（4a－4b+x）+f（2a－2b+x）=2c.

因此，可得f（4a－4b+x）=f（x），所以4|a－b|为f（x）的一个周期.

结论1的逆命题：若g（x）为定义域D上可积的奇函数，则存在一个原函数f（x）为偶函数.

证明：因为g（x）为定义域D上可积的奇函数，所以g（x）+g（－x）=0，等式两边同时对x积分，得[JP5][XC积分符号.tif，JZ]g（x）dx+[XC积分符号.tif，JZ]g（－x）dx=[XC积分符号.tif，JZ]g（x）dx－[XC积分符号.tif，JZ]g（－x）d（－x）=0.設g（x）=f′（x），则f（x）+C1=f（－x）+C2.当C1=C2时，f（x）为偶函数.

结论1推广的逆命题：g（x）为定义域D上关于点（a，0）对称的可积函数，则存在一个原函数f（x）其图象关于直线x=a对称.

证明：因为函数g（x）的图象关于点（a，0）中心对称，所以g（x）+g（2a－x）=0，等式两边同时对x积分得，[XC积分符号.tif，JZ]g（x）dx+[XC积分符号.tif，JZ]g（2a－x）dx=[XC积分符号.tif，JZ]g（x）dx－[XC积分符号.tif，JZ]g（2a－x）d（2a－x）=0.令g（x）=f′（x），则f（x）+C1=f（2a－x）+C2.当C1=C2时，f（x）=f（2a－x），所以f（x）的图象关于直线x=a对称.

同理，还可对结论2的逆命题及结论2推广的逆命题进行证明.根据本文还可猜想：周期函数的导函数是周期函数；若导函数是周期函数，则其原函数也是周期函数.

4问题破解

对于上述高考题，利用函数图象变换可知，f（x）的图象关于直线x=32对称，g（x）的图象关于直线x=2对称.因为g（x）是f（x）的导函数，所以f（x）的图象关于点（2，0）对称，根据结论5可知，f（x）是周期为2的周期函数.根据结论1推广可知，g（x）的图象关于点32，0对称，又因为g（x）的图象关于直线x=2对称，根据结论5可知，g（x）是周期为2的周期函数.

5教学启示

本题在知识点方面考查函数图象的变换，原函数与导函数的对称关系及函数的周期性，具有一定难度.在学生能力上，则指向逻辑推理及直观想象核心素养的考查.其中，逻辑推理的考查体现在通过具体实例去类比，猜想原函数与导函数之间的对称关系.直观想象主要体现在根据函数图象关于点对称及轴对称得到函数的周期.在教学过程中可将教材中“拓广探索”部分的习题利用起来，例如，将它们变成一道思考题，让学生先猜想结论，再尝试证明，从而培养学生逻辑推理等数学核心素养.