初中数学解题能力培养的基本措施

黄燕

摘要：初中阶段是学生学习数学知识的重要阶段.在初中数学教学中，采取有效措施加强学生解题能力的培养，会直接影响学生的数学知识学习效果.基于此，在数学教学过程中，教师需要采取有效的情景设计方式，充分激发学生的学习兴趣，并利用典型例题对学生进行解题训练.通过“一题多解”“一题多变”等方式让学生找到解题的乐趣，从而在解题教学过程中培养学生的数学思维能力，提高其运用数学知识分析问题和解决问题的能力，提升数学核心素养.文章以一道中考试题为例，分析培养学生解题能力的有效措施.

关键词：初中数学；解题能力；培养；基本措施

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）11-0026-03

在初中数学解题教学中，比较普遍的现象是学生能够听懂教师课堂教学中相关例题的解题过程，但是在课后作业或练习过程中则无法顺利完成类似问题的有效解决.这说明学生的数学解题能力存在严重的不足.在数学学习过程中，解题本质上是数学知识的实际应用，因此解题是数学学习的核心任务之一.通过提升学生的解题能力，能够有效提升其学习效果.在初中数学教学中，教师需要采取有效措施培养学生解题能力，从而全面提升其数学核心素养.

1 试题呈现

例题（2023年绵阳市中考数学第25题）如图1所示，抛物线经过△AOD的三个顶点，其中O为原点，A（2，4），D（6，0），点F在线段AD上运动，点G在线段AD上方的抛物线上，GF∥AO，GE⊥DO于点E，交AD于点I，AH平分∠OAD，C（-2，-4），AH⊥CH于点H，连接FH.

（1）求拋物线的解析式及△AOD的面积；

（2）当点F运动到抛物线的对称轴上时，求△AFH的面积；

（3）试探究FGGI的值是否是定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由.

2 试题解析

本题以二次函数图象为背景，主要考查待定系数法、二次函数的性质、三角形面积、平行线的性质、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，这是《义务教育数学课程标准（2022年版）》规定的最基础最核心的内容［1］.本题涉及的知识点较多，图形较为复杂，综合性较强，具有较强的选拔性功能，是一道探究型的中考压轴题.问题（1）相对较为简单，但问题（2）（3）对学生而言具有一定的难度，学生需熟练掌握二次函数及基本图形的相关性质，能够根据图形的基本特征添加适当的辅助线，构造相似三角形，然后利用相似三角形的性质解决问题.

（1）根据已知条件，抛物线经过原点O，所以可直接设抛物线的解析式为y=ax2+bx，a≠0.将点A（2，4），D（6，0）代入到抛物线解析式中可得4a+2b=4，

36a+6b=0，解得a=-12，b=3.由此可知，抛物线的解析式为y=-12x2+3x.

由点A（2，4），D（6，0）可知，OD=6，点A到OD的距离h=4，由三角形的面积公式可知△AOD的面积为S△AOD=12OD·h=12×6×4=12.

（2）由（1）可知，抛物线解析式为y=-12x2+3x，所以抛物线的对称轴为直线x=3，所以当点F在抛物线对称轴上时，点F的横坐标为3，所以根据点A、F、D三点的横坐标就可以判断出AFAD=14，所以AD=4AF.

如图2所示，连接OC，OH.根据点A的坐标可以得到OA在直线y=2x上，所以根据点C的坐标（-2，-4）可以知A、O、C三点共线，且点A和点C关于O点对称，所以可得OA=OC.因为AH⊥CH，所以△AHC为直角三角形，根据直角三角形的相关性质可以得到OC=OA=OH，所以∠AHO=∠OAH.由AH平分∠OAD可知∠OAH=∠DOH，所以∠DOH=∠OHA，所以OH∥AD.设OH到AD的距离为d，由（1）可知S△AOD=12，所以S△AOD=12AD·d=12，△AFH的面积可以表示为S△AFH=12AF·d.因为AD=4AF，所以S△AFHS△AOD=14，所以S△AFH=3.

（3）如图3所示，过点A作AL⊥OD于点L，过点F作FK⊥GE于点K，

由点A的坐标（2，4）可得AL=4，OL=2，DL=4.根据勾股定理可得OA=25.因为AL=LD=4，所以△ALD为等腰直角三角形，∠ADL=45°.又因FK⊥GE，所以∠KIF=∠EID=∠ADL=45°，所以设FK=IK=m.因为GF∥OA，所以△AOL∽△GFK，所以GKAL=FKOL=FGOA，所以GK=2m，FG=5m，GI=3m，所以FGGI=5m3m=53（定值）.

3 一题多解

通过问题（3）的解题过程可以发现，在进行问题解答的过程中主要是通过构造相似三角形的方式进行求解的.通过辅助线OL和FK构造了△AOL∽△GFK，从而根据△AOL三边的长度判断出FGGI=53（定值）.因此，可考虑应用其他方式构造相似三角形求解.

解法2如图4所示，连接OH，过点A作AM⊥OD，交OD于L，交OH于M.由（2）可知OH∥AD，所以FI∥OM，因为AM⊥OD，EG⊥OD，所以AM∥GI.因为OA∥FG，所以△AOM∽△GFI，由相似三角形的性质可得FGGI=AOAM.由点A的坐标（2，4）可得AL=4，OL=2，DL=4，OA=25，所以△ALD为等腰直角三角形.因为OH∥AD，所以△OLM∽△DLA，所以△OLM为等腰直角三角形，所以OL=LM，所以FGGI=AOAM=256=53（定值）.

“一题多解”是通过从不同角度对一个问题进行思考，给出不同求解方法的策略.这样的解题方式能够有效拓展学生的思维模式，让学生在解题过程中根据具体问题寻找更好的解题策略，从而提升其解题能力.

4 变式教学

变式在不改变原题条件的情况下，将问题（3）改编为：当点F运动到抛物线的对称轴上时，求△FIG的面积.

解析根据已知可以知道△FIG的面积为S△FIG=12FK·IG=12m·3m=32m2，所以只需要得到m的值就可以对面积进行计算.由问题（2）可知，当点F处于抛物线的对称轴上时，F点的横坐标为3，由A（2，4），D（6，0）可以计算出直线AD的解析式为y=-x+6，所以点F的坐标为（3，3）.由点A的坐标可以计算出直线OA的解析式为y=2x.因为OA∥GF，所以设直线GF的方程为y=2x+n，将F（3，3）代入可得直线GF的方程为y=2x-3，联立y=2x-3，y=-12x2+3x，可得12x2-x-3=0.根据一元二次方程的求根公式可得x1=1+7，x2=1-7.因为点G在第一象限，所以点G的横坐标为1+7，所以m=1+7-3=7-2，所以△FIG的面积为S△FIG=32m2=32（7-2）2=33-672.

与原题的问题（3）相比，这个变式更具难度，所涉及的知识点更多，综合性更强.通过变式教学的方式，能够更好地让学生将所学的知识运用到解题实践中，提高学生分析问题和解决问题的能力，帮助其建构系统的知识体系，从而提升学生对知识的应用能力和解题能力[2].

5 结束语

在初中数学解题教学中，为提升学生的解题能力，教师可以采取“一题多解”的方式拓宽学生的解题思路，通过“变式教学”的方式引导学生运用数学知识进行解题实践，从而帮助学生建构知识体系，提高其数学思维能力，提升其数学核心素养.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］．北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］ 丁素琴. 在思考中探索在拓展中创新：例谈初中数学解题能力培养的基本措施[J]. 数学教学通讯，2021（5）：49-50，58.

［责任编辑：李璟］