新课标理念下小学生数学抽象能力的培养

文| 孙 磊

数学抽象是数学学科核心素养的第一要素，是学生形成数学思维的重要基础和前提。《普通高中数学课程标准（2017 年版2020 年修订）》中提出，数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象得到数学研究对象的素养。在《义务教育数学课程标准（2022 年版）》中也提出：数学源于对现实世界的抽象，通过对数量和数量关系、图形和图形关系的抽象，得到数学的研究对象及其关系。在小学阶段，数学抽象能力主要包括数感、量感、符号意识，这些是进一步培养学生数学思维的基础。没有数学抽象，逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析就无从谈起。笔者结合多年的课堂教学经验和教育对象的认知特点，从以下几个方面谈一谈小学生数学抽象能力的培养途径。

一、尊重认知规律，从积累感性经验过渡到发展抽象能力

“乘法分配律”教学片段：

师：学校要做校服，每件上衣45 元，每条裤子35元，买这样6 套校服，一共要多少元？

生：方法一：（45+35）×6=480（元）；方法二：45×6+35×6=480（元）。

师：五年级有4 个班，四年级有6 个班，每个班需要24 根跳绳，一共需要多少根跳绳？

生：方法一：（4+6）×24=240（根）；方法二：4×24+6×24=240（根）。

师：每张办公桌300 元，每把椅子140 元，购买2套办公桌椅一共要多少钱？

生：方法一：（300+140）×2=880（元）；方法二：300×2+140×2=880（元）。

师：观察这些等式，你有哪些发现？在小组内互相说一说。

（45+35）×6=45×6+35×6

（4+6）×24=4×24+6×24

（300+140）×2=300×2+140×2

生：两个数之和乘一个数等于两个数分别乘这个数，再把两次的积加起来。

师：请你试着用点子图圈一圈或者用实物卡片摆一摆，解释你发现的规律。

师：（最后逐步过渡到代数思维）如果用a、b、c分别代表三个数，你会用字母表示这个规律吗？

生：（a+b）×c=a×c+b×c

乘法分配律的探究需要学生在大量的数学实例中进行不完全归纳，发现规律，进而在理解的基础上运用。数学思维的发展依据年龄特征要经历直观行动思维、具体形象思维、抽象逻辑思维等阶段。小学生的思维发展特点是从具体形象思维到抽象逻辑思维不断发展的，必须积累大量的感性经验，在此基础上提升数学抽象能力。教师进行教学时应该运用学生熟悉的事物将抽象的概念直观化、生动化，让学生在形象思维的基础上形成抽象思维。

教师在数学教学中一定要注意运用多种方式激发学生的学习兴趣，要给学生创设真实、有趣的问题情境，鼓励学生大胆猜想验证，引导学生通过动手操作、多种感官配合积累大量的感性实践经验，真正把课堂还给学生。在积累了较为充分的数学活动经验后，通过回忆感知、操作演示、数形结合，逐步引导学生对比、概括、提炼数学概念、性质、规律和方法，从而培养学生进行数学抽象的能力。

二、坚持“启发—发现”原则，从充分观察和实践逐步过渡到归纳总结

“圆的认识”教学片段：

师：怎样才能画一个圆呢？大家先试着画一画，并和组员交流画圆的方法。（学生利用各种学具独立实践，并交流心得）

师：请各组派代表演示一下你们是怎么画圆的，并介绍你们选的学具是什么，选这些学具的用途是什么。

生：我们选择的学具有图钉、绳子、铅笔。用绳子一头绑住图钉，一头绑上铅笔，把图钉一端固定，铅笔一端绕图钉旋转一周。虽然有些不圆，但是基本画出圆了。

师：如果图钉一端不绑死，而是个环，铅笔再绕图钉旋转就更圆了。

生：我们选择的学具是尺子和铅笔。尺子一端有个小孔，我们就将铅笔尖穿过小孔，按住尺子的另一头不动，让铅笔旋转一周，就得到一个圆了。

师：看到大家用不同的学具都画出了一个圆，老师也想画一个圆。看看老师用一支粉笔在黑板上画一个圆。（教师利用手指和粉笔画出一个圆）

师：还有选择不同学具画圆的吗？

生：我们选择用圆规画圆，找一点固定圆规的一只脚，捏着圆规的上端旋转一周，圆就画好了。

师：这么多种画圆的方法，老师选了两种。我们一起来看看。（课件播放图钉、绳子、铅笔画圆和圆规画圆的动画视频）

师：观察思考不同的画圆方法有什么相同之处。

生：都有固定不动的点和固定的长度。

师：都是先定点，再定长，最后旋转一周。定点就是圆心，定长就是半径。

“启发—发现”式教学要坚持培养学生的观察能力，鼓励学生独立展开实践探索活动，并组织学生尝试将实践探索后的发现做总结。上述案例中，教师要求学生用各种方式画圆，但不是停留在方法技能指导的层次，而是启发学生观察并实践，将“固定的一点”和圆心、“绳长”和半径巧妙联系起来，打通了圆的特征和画圆方法之间的联系，帮助学生建立技能目标背后的意义支撑，从而实现了圆从生活走向数学的最终抽象。

然而，比赛并没有让观众满意。面对职业排名402名的墨西哥菜鸟，他仅凭点数获胜。“重心比较飘，打拳没有力量，打了就跑。”邹市明的经纪公司老板李胜赛后收到很多批评。

教师不仅要关注学生学习的结果，还要关注学生学习的过程。课堂教学中，学生通过观察、思考进而实践探索，新的知识才能从已有的知识经验中生长出来，这样的过程对学生而言有着深刻的印象和积极的意义。原有的数学知识概念是学生思维的载体，不断生成的知识概念正是数学抽象思维加工的结果。按照维果斯基的最近发展区理论，要相信学生的潜在发展水平，学生垫一点脚尖能摘到的果子，教师一定不要替代。所以课堂教学进程要慢下来，让学生独立发现，最终建构属于自己的数学认知结构。

三、重视直观演示，从教师的介入演示过渡到学生的自发表达

“相遇问题”教学片段：

师：淘气和笑笑两家相距520 米，两人同时从家里出发，相向而行。淘气每分钟走60 米，笑笑每分钟走70 米。几分钟后两个人相遇？相遇时两人分别走了多少米？

师：我们先来演示一下。同桌两人模拟两个人的行走过程，看看你能发现什么。和同伴交流一下。（教师巡视指导）

生：两人是同时出发、面对面行走。

生：淘气走得慢，笑笑走得快，淘气和笑笑一共走了520 米，相遇时笑笑走的路程多。

师：像这样两人同时相对运动的数学问题，叫作相遇问题。请两位同学到讲台上表演一下淘气和笑笑是怎样出发和相遇的。谁愿意试一试？

（学生再次模拟演示相遇过程，体会到相遇时两人所用的时间相等以及相遇点的位置靠近速度慢的一边）

师：大家伸出双手对他们的精彩表演表示感谢！鼓掌时也要掌心相对，两只手同时出发最后相遇，这样才能发出响声！

师：几分钟后相遇？解决这个问题画线段图是个不错的办法，从图中你能发现什么？（课件逐步出示线段图帮助学生理解数量关系，建构数学模型。线段图动画演示两人的运动过程，在相遇点标上小旗，两个人的运动过程都被划分为4 个小格，通过逐步涂色来演示两个人每分钟共同走过的路程）

生：淘气走的路程+笑笑走的路程=520（米）。

生：两人每分钟一共走的路程是：60+70=130（米）。

师：你能用方程来解决这道题吗？在练习本上试一试。

以前学生只研究过单一物体单一方向的行程问题，本节课学习的是两个物体且方向不同的行程问题。学生对相遇问题的理解有一定难度。教师只有准确把脉学生学习的起点，设计直观演示活动，引导学生积极参与到操作过程中，学生才能够理解相遇问题的本质特征和数量关系。

康德在《纯粹理性批判》中指出，直观概念是我们认识的基础，新的概念都是从直观概念中发展而来的。直观演示对学生数学抽象能力的培养具有促进作用，因为抽象的规律或空间想象，往往需要在头脑中建立一个数学模型。一些复杂的数学问题，学生仅仅通过数学信息通常不能抽象出数学模型。课堂上，教师通常选择利用教具或多媒体进行直观演示，如在小学低段使用数字卡片、几何图形计数器、动物贴纸，在小学的高段采用标准化的仪器、实物进行演示。在使用教具或多媒体时，一定要注意直观演示适时、适量、适度，力求使直观演示起到积极的作用。直观演示容易吸引学生，而发现普遍规律和本质特征，需要学生进行细致的观察和缜密的思考。教师教学要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系。教师能用实物演示的，就尽量不要用动画；能用动态演示的就尽量不用静态；学生能主动演示的，教师就尽量不要代替。教师要大胆鼓励学生自发演示表达，强调直观演示活动要紧紧抓住数学问题的本质。情境是数学问题的外在依托。教师在课堂教学中要时刻牵着数学思维发展这条主线，让直观演示突破情境，突出数学本质和内涵。

四、采取变式教学，从发现规律过渡到举一反三

“三角形的内角和”教学片段：

师：刚才同学们分别用量、拼、折等方法验证了“三角形的内角和是180 度”。请大家思考以下数学问题。

1.已知等腰三角形的顶角是110°，求底角的度数。

2.已知直角三角形一个锐角的是65°，求另一锐角度数。

3.求等边三角形中每个角的度数。

生：可以应用三角形内角和是180°来解决这些问题。（过程略）

师：两个完全相同的三角尺拼成一个大三角形后，新三角形的内角和是多少呢？为什么？

生：也是180°，虽然两个180°加起来是360°，但是有两个直角拼成了一个平角，这个平角不能算大三角形的角，所以新三角形的内角和仍然是180°。

师：多个三角形可以拼成四边形、五边形、六边形……它们的内角和又是多少呢？根据今天的学习，你有哪些启发？

在研究了三角形内角和后，教师设计了一系列变式问题逐步拓展学生思维的深度。特别是把两个相同的三角尺拼成大一个大三角形求其内角和这个变式问题，学生凭直觉认为一个三角尺内角和是180°，两个拼起来内角和理应是360°，在实际操作中发现两个直角拼到大三角形的边上了，内角和仍然是360°－180°=180°。最后依次呈现三角形拼成各种多边形，引发学生探究多边形内角和的规律。教学重视发现规律，更重视运用规律解决新问题，培养学生的数学抽象能力。

小学阶段，教师要引导学生经历数学知识形成的过程，在实践与体验中感悟数学理性的逻辑之美，发现生活表象背后的数学规律。这个学习过程并非数学家所描述的数学思维过程，而是学生自己理解自主建构的思维过程。课堂中，教师普遍重视知识的传递和技能的训练，往往忽视学习方法的指导。教师采取变式教学，学生采取自主探究式的学习对于知识概念的自主建构意义重大，相当于教师给学生搭建探究学习的脚手架，培养其自学能力、自悟能力。学生完整经历“问题猜想—问题验证—得出结论”这样像数学家一样的思考过程，也是从普遍现象到提炼出一般规律的思维发展过程。

史宁中教授说：数学素养的培养，特别是创新人才的培养，是“悟”出来的，而不是“教”出来的，因为数学结果是“看”出来的，而不是“证”出来的。会“悟”、会“看”的底蕴是把握数学基本思想。基本思想是数学的精髓。在教学活动中，基本思想将是主线，但是数学思想不像数学知识一样被明明白白地写在教材里，而是隐含在教材中的，需要教师挖掘、提炼出来，并贯穿到教学过程中。抽象是基本的数学思想。数学抽象方法是数学化的一般方法，是数学学习过程中必定要用到的数学方法。所以，教师在教学中要引导学生逐步感悟抽象思想，这样才能引导学生学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界。