聚焦数量关系 发展推理意识

张淑娴 钟立

【摘   要】“探索规律”作为小学数学“数量关系”主题的重要内容，是培养学生推理意识的重要途径。以人教版教材六年级下册“数学思考：探索规律”的教学为例，在引导学生分析数量关系的过程中，可运用发展学生推理意识的三个步骤提升学生的思维能力。这三个步骤具体为：深入了解学情，确定推理意识培养的起点；经历有序思考与归纳推理，培养推理意识；实现数量关系的迁移应用，提升推理意识。

【关键词】数量关系；推理意识；探索规律

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）指出：“推理意识有助于养成讲道理、有条理的思维习惯，增强交流能力，是形成推理能力的经验基础。”2022年版课标特别关注对学生推理意识的培养，并把推理意识列为学生核心素养的主要表现之一。“探索规律”作为小学数学“数量关系”主题的重要内容，不仅有助于学生理解数量关系，解决数学问题，还是培养学生推理意识的重要途径。因此，教师在教学“探索规律”时，应关注学生推理意识的發展。那么，在“探索规律”的教学中，如何聚焦数量关系，有效发展学生的推理意识呢？本文以人教版教材六年级下册“数学思考：探索规律”的教学为例，探讨如何引导学生在经历分析数量关系、探索数学规律的过程中，感悟和发展推理意识。

一、深入了解学情，确定推理意识培养的起点

在教学前，教师要重视分析学生的原有知识经验和认知起点。为了更好地开展“探索规律”的教学，深入了解学情，教师在课前对六年级40名学生（使用人教版教材）进行了前测。题目是：同一平面，5个点最多可以连几条线段？结果显示，学生主要采用了以下四种解题方法。

第一种：1+2+3+4=10（条）。

第二种：4+3+2+1=10（条）。

第三种：（5-1） × 5÷2=10（条）。

第四种：C[25]=[5×42×1]=10（条）。

其中，有2名学生采用第一种方法，与教材呈现的方法一致。有27名学生采用第二种方法，这是运用二年级学过的解题经验解决问题。有4名学生采用第三种方法，有1名学生采用第四种方法。进一步了解得知，采用第三种和第四种方法的学生都是在课外习得方法的。另外还有部分学生没有得出正确答案。分析学生的解题过程，发现大部分学生都具备利用画图和推理等方法解决问题的能力，但也有近一半的学生在解题时存在困难，如找不到切入点、思考无序，或不会利用数量关系进行类比归纳，从而得出规律，等等。

基于上述情况，在“数学思考：探索规律”的教学中，教师应采取有效措施，帮助学生弄清题意，找到解题的切入点；借助学生已有经验，使其从无序思考走向有序思考；注重对问题中数量关系的分析，在揭示隐含的规律的过程中，使学生形成与提升推理意识，进而培养学生的核心素养。

二、经历有序思考与归纳推理，培养推理意识

要培养学生的推理意识，必须让学生亲身经历推理的过程，在分析问题、解决问题的过程中体验推理、感悟推理、反思推理。基于学生的前测情况，“探索规律”的教学应聚焦于培养学生通过有序思考与类比归纳得出数学规律的能力。

（一）寻找解决问题的切入点，指向有序思考

小学生的思维以直观形象思维为主，缺乏逻辑性和条理性。因此，他们面临数学问题时，经常感到迷茫和困惑，难以迅速找到正确的解题思路，可能会随意猜测或错误尝试，甚至直接选择放弃。这实际上为培养学生的有序思考和推理意识提供了宝贵的契机。教师可以通过引导学生逐步进行分析和推理，有效促进他们推理意识的发展。

教学时，教师先出示问题：同一平面，100个点最多可以连几条线段？（如图1）

起初，多数学生会盲目乱猜。于是，为了引导学生找到解决问题的关键，教师提问：你打算如何解决这个问题？学生主要有以下三种思路。

第一种：连线段时应该按照一定的顺序画，否则会非常杂乱。

第二种：当研究的点数较少时，可以通过画图验证，进而推导出数学规律。

第三种：先研究2个点、3个点……寻找其中的规律，再来解决这个问题。

在交流讨论的过程中，学生逐渐认识到可以从简单情况入手，然后逐步过渡到复杂的情况。教师可引导学生先思考少数几个点连线段的方法。由于连线段至少需要2个点，学生应该先看2个点连线的情况。然后随着点数逐步增多，得到更多个点连线段的情况。这种解题思路的转变，驱动学生从无序思考走向有序思考，而有序思考对于提高学生的思维能力具有重要意义。教师应关注学生的思维过程，鼓励学生积极思考、勇于尝试，并在他们遇到困难时给予适当的引导和支持，通过培养学生有序思考的习惯，为他们做题乃至未来的学习和生活奠定良好基础。

（二）突出数量关系分析，感悟推理的条理性

在解决问题的过程中，关键环节决定了问题能否顺利解决。因此，对这些关键环节的把握是解决问题的核心。在“数学思考：探索规律”的教学中，1～4个点连线段的问题对学生来说并不困难（这是二年级的教学内容），但当问题转变为“5个点最多可以连几条线段？”时，其复杂性就显著增加。此外，这一情形下数量关系的分析对于探索一般规律有极大的示范与迁移作用。因此，“5个点最多可以连多少条线段？”的问题就成了探索规律的关键。为突出重点、突破难点，教师设计了如下学习单（如图2）。

出示学习单后，教师先让学生独立思考，然后合作交流，并对部分学生进行有针对性的指导。随后收集学生作品（如图3），并请学生介绍相应的思考过程。学生的思考过程具体如下。

第一种：从点A出发，与其余4个点B、C、D、E分别相连，得到4条线段AB、AC、AD、AE；接着，从点B出发，与剩余的3个点C、D、E分别相连，得到3条线段BC、BD、BE；然后，从点C出发，与剩余的2个点D、E分别相连，得到2条线段CD、CE；最后，将点D与点E相连，得到1条线段DE。共计10条线段，算式为4+3+2+1=10（条）。

第二种：先连接点a与点b，得到1条线段ab；再增加点c，與前面的点a、点b分别相连，得到2条线段ac、bc；接着增加点d，与前面的点a、点b、点c分别相连，得到3条线段ad、bd、cd；最后增加点e，与前面的点a、点b、点c、点d分别相连，得到4条线段ae、be、ce、de。共计10条线段，算式为1+2+3+4=10（条）。

第三种：从点A出发，与其他4个点分别相连，得到4条线段AB、AC、AD、AE。同理，从点B、点C、点D、点E出发，也能各自得到4条线段。但每两点之间的线段都被重复计算了一次，实际的线段数量需要除以2。因此，总的线段数量为4×5÷2=10（条）。

接着，教师引导学生讨论、比较三种思考过程。第一种思路是学生相对熟悉的计算方法，这个过程实际上是按照从大到小的顺序进行的求和。第二种思路则是从最简单的情况开始，逐步增加点数，最终得到5个点的连线情况，即1～4的所有整数之和。第三种思路则是从每个点出发进行计算，考虑到它可以与其他所有点连线，因而最终需要通过除以2去除重复计算。虽然这三种思路的具体方法不同，但得出的结果却是一致的。这体现了推理的丰富性与内在的一致性，也展示了逻辑推理的合理性。由此，通过探究5个点最多可以连几条线段的问题，为探究更一般的数学规律提供了具有借鉴价值的思路。

（三）揭示数量之间的内在关系，体验类比归纳推理

推理意识主要是指对逻辑推理过程及其意义的初步感悟，体现为能够通过简单的类比或归纳，猜想或发现一些初步的结论。在“数学思考：探索规律”的教学中，教师要重视引导学生观察、比较、分析不同情境下的数量关系，揭示其内在的一致性，并通过类比和归纳，得出更一般的数学规律。这种推理过程不仅能够加深学生对数量关系的理解，还能培养他们分析问题、解决问题的能力以及抽象思维能力，提高学生的数学素养。

回顾学生初步探索规律的过程可以发现，当面对2个点、3个点、4个点时，大多数学生选择使用图式进行表征，并通过数线段条数得到结果。然而，当研究5个点时，学生使用的方法开始分化：一部分学生直接画出5个点，然后连线并计算线段数；另一部分学生则回顾并反思2、3、4个点连线的线段数，分析每种情况中点数与线段数之间的数量关系，从而猜测或发现5个点可以连的线段数（为了验证结果，不少学生还会通过实际连线并计算线段数进行确认）。在深入分析5个点连线段的情况后，教师引导学生进一步探究6个点、8个点的连线情况。此时，学生已经不再使用画图连线、数线段的方法，而是基于前面的观察、比较和类推，直接得出线段数分别为6×5÷2=15（条）和8×7÷2=28（条）。通过推理，学生可以归纳出100个点、1000个点、10000个点乃至n个点可以连的线段数（如表1）。

这不仅是对数量的简单计数，还是一种深入探究数量之间关系的类比归纳推理的过程。此时，学生不再依靠直观计数，而是运用比较、类比、归纳等方式，从少量点的连线情况中提炼出更多点的连线情况，甚至用代数方法推导出n个点可以连的线段数的通用公式。借助这一形式化的公式，学生通过代入不同的数值，得到在不同点可以连的线段数。学生对这种推理过程的体验，必将深化其对数量关系的理解与运用，提高其分析问题与解决问题的能力。

三、实现数量关系的迁移应用，提升推理意识

学生在解决了“同一平面，n个点最多可以连几条线段？”的问题后，感受到推理的魅力与价值，探索数学问题的欲望得到激发。此时，教师应该设计富有启发性的数学问题，引导学生运用已掌握的方法，探寻新规律，解决新问题，以便深入理解数量关系，提升推理意识。

例如，在学习新课内容后，教师可以出示这样两个问题。

1. 有 15 名同学参加羽毛球单打比赛，如果每两人之间进行一场比赛，一共要比赛几场？

2. 观察下图（如图4），想一想，依次排下去，第15幅图有多少颗棋子？第n幅图呢？

面对这些问题，学生需要思考新问题与已有数量关系之间的联系，从而发现第1题中的问题与“同一平面，15个点最多可以连几条线段？”类似，可以借助已学方法解决。同样，要得出第2题中“第15幅图或第n幅图中有多少颗棋子”的结果，也要经历观察、分析、类比等过程，从简单情形中归纳出适用于复杂情形的解决方法。学生运用已有的解决问题的方法获得推理方法，并将其迁移到新的问题中，通过实验、计算、类比和归纳得出结论。这种思考新问题、解决新问题的方式与习惯，不仅提高了学生揭示问题中数量关系的能力，还培养了学生的抽象能力、模型意识及推理意识，为他们探索未知世界打开了一扇窗，指明了一条路。

总之，数学抽象的本质是揭示规律，数学推理的本质是研究规律，数学应用的本质是运用规律。“探索规律”作为小学数学的重要内容，是分析数量关系、培养学生推理意识的重要途径。在“数学思考：探索规律”的教学中，教师要积极采取有效措施，在聚焦数量关系分析，揭示内在联系，探寻规律及迁移运用规律解决实际问题的过程中，关注学生推理意识的发展，进而提高学生分析问题与解决问题的能力，提升其数学核心素养。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］张丹，王彦伟.核心素养导向下小学数学主题解读（一）：数量关系［J］.小学数学教师，2023（6）：5-9.

［3］南欲晓.培养推理意识   发展数学思维：“逻辑推理”在小学数学教学中的思考与实践［J］.教学月刊·小学版（数学），2022（1/2）：20-23.

［4］刘加霞.小学数学中“找规律”的教育价值及有效落实的路径分析［J］.小学教学（数学版），2018（10）：16-18.

（1.浙江省杭州市余杭区五常中心小学2.浙江省杭州市余杭区教育发展研究学院）