2022年版课标中“数量关系”主题的价值意蕴与教学策略

李国强

【摘   要】《义务教育数学课程标准（2022年版）》将“数量关系”专设为一个学习主题，有利于培养学生核心素养，提高学生问题解决能力，减轻学生学业负担。数量关系作为一种心理图式，其本质是数学模型，源于问题解决，根植于四则运算。为更好地开展“数量关系”主题教学，教师要重视问题基本结构分析，关注学生问题解决思维培养，通过“創设多元化问题情境”“利用直观图形”“重视问题基本结构分析”“体验数量关系建构过程”“全程贯穿、循序渐进”等措施，加深学生对数量关系的理解，实现数量关系学习进阶。

【关键词】数量关系；核心素养；教学策略

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称“2022年版课标”）将“数量关系”专设为一个学习主题，凸显对数量关系的重视。尽管数量关系是贯穿整个义务教育阶段的数学内容，但在2022年版课标的“课程内容”中，“数量关系”主题只出现在小学部分。因此，本文讨论的内容主要聚焦于小学数学中的数量关系。

针对“数量关系”主题，很多教师存在一些困惑，诸如：何谓数量关系？数量关系的内涵是什么？“数量关系”主题的内容有哪些？学生学习数量关系有何教育价值？数量关系的教学策略有哪些？本文基于2022年版课标中的“数量关系”主题，对上述问题作深入探讨，以帮助教师准确把握课标的理念，深入理解数量关系的内涵，从而有效开展“数量关系”主题的教学。

一、2022年版课标中“数量关系”主题的教育价值

数学是研究数量关系和空间形式的科学［1］1，数学的本质表现在数量的关系之中［2］。因此，数量关系在数学中占有重要地位。2022年版课标将原来分散的与问题解决相关的内容进行整合，形成了“数量关系”主题，这有助于教师整体理解和把握以数量关系与问题解决为重点的教学内容，充分发挥数量关系的教育价值。

（一）数量关系是培养学生核心素养的主要载体

2022年版课标立足学生核心素养的发展。从小学阶段核心素养主要表现的相关表述中可以看出，数感、符号意识、模型意识、应用意识等都与数量关系密切相关。例如，数感主要是指“对于数与数量、数量关系及运算结果的直观感悟”，符号意识主要是指“能够初步运用符号表示数量、关系和一般规律”，模型意识主要是指“对数学模型普适性的初步感悟”，应用意识主要是指“能够感悟现实生活中蕴含着大量的与数量和图形有关的问题，可以用数学的方法予以解决”。［1］7-102022年版课标中“数量关系”主题的内容要求、学业要求与教学提示，都指向学生核心素养的培养。［3］

（二）分析数量关系是学生解决问题的关键

数学的真谛是问题解决、描述和理解结构与模型。［4］数量关系就像是学生解决问题的思维支架，有助于学生深入分析问题的基本结构和关键要素。如果小学数学教学不注重数量关系分析，那么学生就将缺乏对解决问题过程的体验和对解决问题方法的提炼，这不利于学生形成解题策略、积累解题经验。因此，分析数量关系是学生顺利解决问题的关键，培养学生的问题解决能力必须重视数量关系教学。

（三）设立“数量关系”主题有助于减轻学生学业负担

数学中的基本数量关系是从大量实际问题中抽象与总结出来的，它们深刻揭示了数量之间的内在联系和规律，为学生解决同类问题提供了思路与策略。理解和掌握这些基本的数量关系有助于学生举一反三、触类旁通，进而提高解题的灵活性和效率。在原来的课标中，数量关系被分散在不同的领域，呈现零散化和碎片化的特征，导致数量关系教学被弱化。学生在面对实际问题时，常常因为对数量关系理解不透、解题思路混乱而感到困惑，由此增加了学业负担。2022年版课标优化了课程内容结构，设立“数量关系”主题，能够有效强化数量关系教学，提高学生学习效果，减轻学生学业负担。

二、2022年版课标中“数量关系”主题的内涵意蕴

（一）数量关系的内涵

2022年版课标将数量关系定义为：“主要是用符号（包括数）或含有符号的式子表达数量之间的关系或规律。”［1］18尽管“数量关系”主题属于小学“数与代数”领域，但它同样存在于“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”领域。例如，长方形面积与其长和宽的关系、平均数与样本数据的关系以及植树问题中的路长与间隔和棵数的关系等，都属于数量关系的范畴。为了深入理解数量关系，有必要对其内涵作进一步的认识。

1.数量关系是一种图式

图式，作为认知心理学中的一个概念，是指人脑中的一种认知结构。其表征了对某个主题的综合性知识，反映了某种事物或现象的基本特征和关系。以购物为例，当人们想到购物时，脑海中会浮现超市、货架、售货员、顾客、收银台等相关信息，并预想自己购物时的情境。从数学角度来看，这种图式集中体现为购物过程中存在的数量关系，简化为关系式即付出的钱-购物的钱=找回的钱。［5］

2.数量关系的本质是数学模型

数学是研究模式的科学，而数学模型则是将现实情境用数学语言表达，从数量关系上对现实情境进行的描述与刻画。数学模型通过去除非本质信息，使数学问题得以简化。分析实际情境中的数量关系，运用恰当的模型解决问题是数量关系作为学习主题的核心。［6］史宁中教授从数学模型的角度，将小学阶段中的数量关系归纳为加法模型和乘法模型两类，并提出小学数学教学中应重点关注的四个数量关系：总量模型、路程模型、植树模型和工程模型。

3.数量关系源于问题解决，根植于四则运算

小学数学中的所有数量关系都源于现实生活问题。没有实际问题，数量关系便失去了存在的意义。实际上，数量关系就是在解决问题的过程中，通过对现象的分析和比较，在把握其本质的基础上进行抽象和概括得到的。运算的意义是抽象概括数量关系的依据。在小学阶段，无论数量关系以何种形式出现，都离不开加、减、乘、除四则运算的意义。简而言之，小学阶段的数量关系主要体现为加减关系、乘除关系以及复合关系。

（二）“数量关系”主题的内容

在2022年版课标中，“数量关系”主题出现在小学部分的“数与代数”领域。这一主题具体涉及哪些内容？这些内容中的数量关系包括哪些类型？这里分别进行梳理与分析。

1.“数量关系”主题的内容要求

研读2022年版课标中的“课程内容”可以发现，小学数学中的数量关系主要针对生活情境、实际情境等，具体包括以下几方面内容：（1）用数或字母表示数量之间的关系和变化规律；（2）常见的数量关系，如加法模型、乘法模型等；（3）等式的性质；（4）具体情境或实际问题中的估算；（5）比和比例；（6）利用数量关系解决简单的实际问题。

2.数量关系分类

从复杂程度来看，小学阶段数量关系主要包括简单数量关系、复合数量关系以及特殊数量关系。简单数量关系可进一步细分为分合关系和比较关系，其中分合关系涉及部总关系和份总关系，比较关系则包括相差关系和倍数关系。复合数量关系则由上述四种简单数量关系组合而成。特殊数量关系主要出现在购物、工程和行程等特殊情境之中，如单价×数量=总价、工作效率×工作时间=工作总量、速度×时间=路程等。从模型角度来看，常见的数量关系主要包括加法模型和乘法模型。此外，根据数量关系的表述形式，数量关系可分为直述数量关系和隐含数量关系。［7］直述数量关系是指题目直接呈现数量关系，而隐含数量关系则是题目中未直接给出但学生早已学过的公式或常识性的数量关系，如长方形的面积=长×宽、1时=60分、鸭的脚数=2×只数等。

三、小学数学中“数量关系”主题的教学策略

（一）创设多元化问题情境，为理解数量关系奠定基础

数学实际问题主要由情境描述与数量关系构成。在日常生活中，学生常常遇到购物类问题，对其有充足的经验。但对于工程、生产、科技等方面的问题，由于与学生的生活距离较远，他们理解起来相对困难。解决问题的关键在于理解题意，并在已知条件与问题目标之间建立正确的情境表征。存在情境障碍的学生，往往难以准确把握题目中的数量关系。

为培养学生的情境构建能力，教师需要借助多元化的教学手段，如讲述故事、阅读数学绘本、模拟实际活动场景、播放科普视频等，呈现丰富多样的问题情境，为学生接触并理解更广泛的情境提供有力的支持。学生利用这些间接性经历，能逐步消除认知的模糊性，理解情境问题的本质，进而增强对数量关系的把握，为提升问题解决能力奠定基础。随着学生积累的情境不断增加，他们将逐渐感悟到各类数量关系的核心要点。例如：合并、增加、移入等都可采用加法运算；减少、剩余、比多、比少等則可采用减法运算；等量组聚集、长方形面积计算、配对问题等都可采用乘法运算；平均分、包含、比分等则都可采用除法运算。

（二）利用直观图形，实现数量关系的具象化

小学生的认知水平尚处在从直观感知到理性理解过渡的阶段，他们往往难以准确捕捉数学问题中的数学信息并理解复杂的数量关系。而几何图形具有直观形象的特点，可以让数量关系的分析更清晰、合理、全面、深入。［8］因此，教师在教学过程中应充分利用几何图形的直观性特点，通过示意图、列表、线段图等工具，帮助学生理解数量关系，解决数学问题。

画示意图法指的是用“圆圈”“方框”等简单图形来代表题目中的事物，以揭示事物之间的数量关系。如“苗族旅游长桌宴”问题：1张桌子可以坐4人，2张桌子可以坐6人，3张桌子可以坐8人。照这样计算，如果旅游团有40人，需要摆多少张桌子？解决此问题可引导学生画出示意图（如图1）。观察示意图不难看出：每增加1张桌子，就多坐2人。进而得出数量关系：总人数=桌数×2+2。

列表法则通过在表格中一一列举出已知量和未知量及其关系，将复杂的关系清晰化、条理化，便于学生找到其中隐含的数量关系。例如，在“烙饼问题”中，借助列表，可以清晰、直观地显示出不同情况下的烙饼方法及饼数、烙的次数和所需时间之间的关系（如表1）。分析归纳后可以发现：烙饼最短时间=3×饼数（饼数≥2）（当饼数=1时，烙饼最短时间=6分钟）。

此外，画线段图也是解决复合问题的常用方法，尤其在工程问题、行程问题、年龄问题等中更为常见。例如，在“年龄问题”中，甲对乙说：“当我像你这么大岁数时，你刚好4岁。”乙对甲说：“当我长成你这么大岁数时，你就61岁了。”甲、乙今年各是多少岁？通过画线段图（如图2），学生可以清晰、直观地看出其中的数量关系：4+3×甲乙年龄差=61。据此可以求出甲乙年龄差=19，得到甲、乙年龄分别为42岁和23岁。

总的来说，直观感知是构建数学模型的关键。因此，教师在教学中应根据问题情境和学生的认知特点，选择合适的直观图形，帮助学生理解题意，找到解决问题的突破口，发现数量关系，最终解决问题。

（三）重视问题基本结构分析，加深对数量关系的理解

数学问题由已知条件和问题组成。学生必须厘清题目中条件与条件之间及条件与问题之间的关系，才有可能做出正确解答。为帮助学生更好地理解问题的结构，教师可采用补题、改题、编题等方式，加深学生对数量关系的认识与运用。

1.补题

题目：凤凰小学二年级有学生165人，___________，五年级有多少学生？请在横线处补充条件。

本题要求利用已知的二年级学生人数，求出五年级学生人数。增加的条件必须是体现五年级与二年级学生人数关系的语句，如“五年级学生人数比二年级学生人数多33人”“五年级学生人数比二年级学生人数多20%”等。通过补题，学生可以加深对题目中数量之间相互依存关系的理解。

2.改题

题目：王叔叔从县城出发去王庄送化肥，速度是40千米/时，路上用了3个小时，从县城到王庄有多远？

学生完成此题后，教师可将题目改为：王叔叔从县城出发去王庄送化肥，速度是40千米/时，路上用了3个小时，原路返回用了2小时，返回时平均每小时行多少千米？当然也可以由学生自主改题。改变题目的条件和问题，有助于加深学生对“路程=速度×时间”这一数量关系的理解。

3.编题

教师可以要求学生就某一主题（如购物），按照单价、数量、总价的关系编题。通过这种方式，不仅可以锻炼学生的数学思维和解题能力，还可以提高他们的信息收集能力和数学语言表达能力。在指导学生编题时，教师应遵循目的性、科学性、教育性的原则，使学生在理解数量关系的同时，形成正确价值观、必备品格及关键能力。

（四）体验数量关系建构过程，提高解决问题的能力

多数小学生在数学问题解题中出错，其重要原因往往在于未能建立正确的数量关系，而非计算失误。［10］复杂的数学问题由若干个基本的数量关系组成，因此，正确构建数量关系成为解决问题的关键。

学生在构建数量关系时，通常会经历“具体事件—情境问题—情境模型—数学模型”这一过程。例如，当学生面对题目“小红从杭州乘高铁去北京旅游，用了4.5个小时，高铁每小时行300千米，杭州到北京有多少千米？”时，他们首先会识别出小红（不是小明，也不是小刚）乘高铁这一具体事件。随后，学生可能会遇到类似的问题：“小刚每天放学骑自行车回家，每分钟行225米，10分钟到家，学校离家有多远？”或“司机叔叔开车送货，每小时行70千米，4小时行多少千米？”通过对这些问题的分析，学生逐渐从关注具体人物和场景转向关注更普遍的路程、速度和时间之间的关系。他们将这些情境问题中的共同本质属性提炼出来，形成如“路程=速度×时间”这样的情境模型。在此基础上，与几个同类的不同情境模型进行对比，如购物问题中的“单价×数量=总价”或工程问题中的“工作效率×工作时间=工程量”等，最终提炼出更为抽象化的数量关系“每份数×份数=总数”，实现数学模型的構建。

通过这样的抽象概括过程，学生不仅实现了数量关系的结构化迁移和提升，为日后解决同类问题提供了方法和策略，还为学习更为复杂的数学问题奠定了坚实基础。更重要的是，这种抽象和概括的能力有利于学生打通不同数量关系之间的关系，感到数量关系越学越简单，从而减轻学生的学业负担，提高其学习兴趣。

（五）全程贯穿、循序渐进，实现数量关系学习进阶

小学阶段的数量关系主要包括简单数量关系、复合数量关系以及特殊数量关系。2022年版课标中的“数量关系”主题贯穿三个学段：第一学段主要是运用四则运算意义解决实际问题，第二学段主要学习和运用常见数量关系，第三学段主要学习用字母表示数量之间的关系或规律。

2022年版课标在小学各学段“数量关系”主题的“学业要求”中都给出了明确的学习目标。教师需要根据各学段学生的认知特点，遵循循序渐进的原则，按学段目标实施“数量关系”主题教学。在第一学段，重视四则运算意义，有意识地让学生体会数量关系。四则运算的意义是运用数量关系解决问题的基础，是最基本的数量关系模型，对后续学习有深远影响。第二学段重点关注复合数量关系和特殊数量关系的教学。复合数量关系问题涉及两个或多个数量关系的综合应用，因此，需要学生具备分析、思考运算顺序和解题策略的能力。而特殊数量关系不仅是对四则运算意义的运用，也是解决更复杂问题的基础。第三学段需要重点引导学生理解含字母的数量关系，解决较复杂的实际问题。教学中，应引导学生感受字母的一般性，渗透函数思想，培养初步的代数思维。较复杂问题由于涉及不同现实情境，数量关系较为复杂，是整个小学阶段数量关系教学的重难点。总而言之，小学阶段数量关系的教学是一个由具体到抽象、由感性到理性、由定量到变量的过程。在这一过程中，教师应注重低段的启蒙、中段的巩固以及高段的提升，确保学生在整个学习过程中全程参与，循序渐进地实现数量关系学习的进阶。

2022年版课标单独设立“数量关系”主题，凸显数量关系的教学意义。然而，这并不意味着数量关系应被过分推崇，更不能退回到以前的做法：教师根据数量关系将实际问题细分为多种类型，然后要求学生记忆题型、套用公式，并通过题海战术，训练学生的解题速度和所谓的“解题技巧”。这种做法会限制学生的思维能力，加重他们的学业压力，甚至导致学生厌学。事实上，指向问题解决的教学应将重点聚焦于指导学生认真审题，分析条件与问题之间的内在联系，引导学生在经历构建数量关系模型的抽象过程中，提高问题解决能力及思维品质，形成应用意识、模型意识等核心素养。为此，数学教师须准确把握2022年版课标中“数量关系”主题的教育价值，深入理解“数量关系”主题的内涵意蕴，积极探讨“数量关系”主题教学的有效策略，真正落实课标理念，切实提高教学质量，促进学生发展和自身专业提升。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］史宁中.基本概念与运算法则：小学数学教学中的核心问题［M］.北京：高等教育出版社，2013.

［3］张丹，王彦伟.核心素养导向下小学数学主题解读（一）：数量关系［J］.小学数学教师，2023（6）：5-9.

［4］布兰思福特，布朗，科金，等.人是如何学习的：大脑、心理、经验及学校（扩展版）［M］.程可拉，孙亚玲，王旭卿，等译.上海：华东师范大学出版社，2013：146.

［5］巢洪政.数量关系的本质、作用及教学［J］.江苏教育，2010（1）：30-31.

［6］马云鹏.怎样理解“数量关系”学习主题［J］.小学数学教育，2022（11）：11-13.

［7］呙亚慧.小学数学题中三类隐含数量关系提取［D］.武汉：华中师范大学，2017.

［8］苏赛丹，夏忠.几何直观：分析数量关系不可或缺的抓手［J］.教学与管理，2018（8）：33-35.

［9］秦碧芳.如何更好地建立数量关系模型［J］.教学月刊·小学版（数学），2023（10）：30-31.

［10］ANAND P G，ROSS S M. Using computer-assisted instruction to personalize arithmetic materials for elementary school children［J］. Journal of educational psychology，1987，79（1）：72-78.

（杭州师范大学中国教育现代化研究院）