一道解析几何试题的解法与推广

许卫华

2023年3月江苏省八市和浙江省9+1联盟学校2023届高三第二次调研测试的第21题是一道颇具探究价值的优质试题，本文在对该题进行解答的基础上，对试题进行推广探究，进而得到相应的结论.

1试题呈现

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1的离心率为22，焦距为2，过E的左焦点F的直线l与E相交于A，B两点，与直线x=-2相交于点M.

（1）若M（-2，-1），求证：|MA|·|BF|=|MB|·|AF|；

（2）过点F的直线l的垂线m与E相交于C，D两点，与直线x=-2相交于点N，求1|MA|+1|MB|+1|NC|+1|ND|的最大值.

2解法探究

分析1：由题意设出直线l的方程，与E的方程联立，消元、整理得到关于x的一元二次方程，然后利用韦达定理整体代入、“设而不求”求解.

解法1：（1）设E的焦距为2c（0

令A（x1，y1），B（x2，y2），由x22+y2=1，y=x+1得3x2+4x=0.

下面从三个视角进行等式证明.

证法1：由3x2+4x=0，解得x=-43或x=0.

不妨设x1=-43，x2=0，所以A（-43，-13），B（0，1）.

因此|MA|·|BF|=（-43+2）2+（-13+1）2·（-1-0）2+（0-1）2=223×2=43，|MB|·|AF|=（0+2）2+（2+1）2·（-1+43）2+（0+43）2=22×23=43.

从而|MA|·|BF|=|MB|·|AF|.

证法2：同证法1知A（-43，-13），B（0，1）.

因此|MA|·|BF|=2|x1-（-2）|·2|-1-x2|=2|x1+2|·|x2+1|=2×|0+2|·|-43+1|=43；同理|MB|·|AF|=2|x1+1|·|x2+2|=2×|-43+1|·|0+2|=43.

从而|MA|·|BF|=|MB|·|AF|.

证法3：由3x2+4x=0，得x1+x2=-43，x1x2=0.

因此|MA|·|BF|=2|x1+2|·|x2+1|=2|x1x2+2x2+2|=2|x1x2+x1+x2+x2+2|=2|0-43+x2+2|=2|x2+23|，同理|MB|·|AF|=2|x1x2+2x1+x2+2|=2|x1x2+2（x1+x2）-x2+2|=2|0-83-x2+2|=2|x2+23|.从而|MA|·|BF|=|MB|·|AF|.

（2）由题设可知，直线l的斜率存在，且不为0.设直线l方程为y=k（x+1），则直线m的方程为y=-1k（x+1），其中k≠0.

由x22+y2=1，y=k（x+1），整理得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则有△=16k4-4（2k2+1）（2k2-2）>0，x1+x2=-4k21+2k2，x1x2=2k2-21+2k2.

由于M（-2，-k），因此1|MA|+1|MB|=11+k2|x1+2|+11+k2|x2+2|.

又x1>-2，x2>-2，故1|MA|+1|MB|=11+k2（1x1+2+1x2+2）=11+k2·x1+x2+4x1x2+2（x1+x2）+4=11+k2·4k21+2k2+42k2-21+2k2-8k21+2k2+4=11+k2·4k2+4k2+2=21+k2.同理1|NC|+1|ND|=21+（1k）2=2|k|1+K2.

從而1|MA|+1|MB|+1|NC|+1|ND=11+k2+2|k|1+k2=2（1+|k|）1+k2=2k2+1+2|k|k2+1≤22（k2+1）k2+1=22，当且仅当|k|=1，即k=±1时等号成立.故1|MA|+1|MB|+1|NC|+1|ND|的最大值为22.

分析2：由题意知F是E的左焦点，而直线x=-2是E的左准线，直线l与m均过点F.

解法2：（1）x=-2是椭圆E的左准线，离心率e=ca=22. 如图1，左准线与x轴的交点为K；过点A作左准线的垂线，垂足为G，过点B作左准线的垂线，垂足为H.

设l的倾斜角为α，则由椭圆第二定义，得|AF||AG|=|AF||MA|cosα=e，|BF||BH|=|BF||MB|cosα=e，从而得|AF||MA|cosα=|BF||MB|cosα，故|MA|·|BF|=|MB|·|AF|.

（2）如图1，过点A作x轴的垂线，垂足为A1，过点B作x轴的垂线，垂足为B1，则|AG|=|A1K|=|FK|-|A1F|=1-|AF|cosα，|BH|=|B1K|=|FK|+|B1F|=1+|BF|cosα. 由椭圆第二定义得|AF||AG|=e，∴|AF||AG|=22，即2|AF|=|AG|，所以2|AF|=1-|AF|cosα，从而|AF|=12+cosα，故|AG|=22+cosα.

于是|AM|=|AG|cosα=22cosα+cos2α.同理|BM|=22cosα-cos2α.

故1|MA|+1|MB|=2cosα.

由于l⊥m，因此直线l与x轴夹角为π2-α，则1|MC|+1|MD|=2cos（π2-α）=2sinα.

所以1|MA|+1|MB|+1|NC|+1|ND|=2cosα+2sinα=22sin（α+π4≤22.

故1|MA|+1|MB|+1|NC|+1|ND|最大值为22.

3推广探究

下面我们仅对上述联考题的第（2）小题的结论进行推广探究：能否将第（2）小题结论推广到一般椭圆的情形？

结论1 过椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）左焦点F（-c，0）（c>0）的直线l与E相交于A、B两点，与直线x=-a2c相交于点M；过点F的直线l的垂线m与E相交于C，D两点，与直线x=-a2c相交于点N，则1|MA|+1|MB|+1|NC|+1|ND|的最大值为22cb2.

简证：按试题解析2的过程来证明.由图1可知，设|FK|=p，则p=a2c-c=b2c.所以|AG|=|A1K|=p-|A1F|=p-|AF|cosα，|BH|=|B1k|=p+|B1F|=p+|BF|cosα.

由椭圆第二定义，得|AF||AG|=e，所以1e|AF|=|AG|，即1e|AF|=p-|AF|cosα，所以|AF|=p1e+cosα=ep1+ecosα，所以|AG|=p1+ecosα，所以|AM|=|AG|cosα=pcosα+ecos2α.

同理可得|BM|=pcosα-ecos2α.所以1|MA|+1|MB|=cosα+ecos2αp+cosα-ecos2αp=2cosαp.

因为l⊥m，所以直线m与x轴夹角为π2-α，同理1|MC|+1|MD|=2co（π2-α）p=2sinαp.

所以1|MA|+1|MB|+1|NC|+1|ND|=2cosαp+2sinαp=2p（sinα+cosα）=22pα+π4≤22p=22cb.故1|MA|+1|MB|+1|NC|+1|ND|的最大值为22cb2.相应地，我们有下面的结论2.

结论2 过椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点F（c，0）（c>0）的直线l与E相交于A、B两点，与直线x=a2c相交于点M；过点F的直线l的垂线m与E相交于C，D两点，与直线x=a2c相交于点N，则1|MA|+1|MB|+1|NC|+1|ND|的最大值为22cb2.