三角形内切椭圆的几个几何恒等式

范群

文［1］给出了三角形内切椭圆的一个几何恒等式，即

命题1［1］设P，Q是ΔABC的一个内切椭圆的两个焦点，则下列等式成立：

PA·QACA·AB+PB·QBAB·BC+PC·QCBC·CA=1.

在上述命题基础上，笔者进一步探究得到了几个新的几何恒等式.

命题2设P，Q是ΔABC的一个内切椭圆的两个焦点，该内切椭圆与ΔABC的三边BC，CA，AB分别切于点D，E，F，则下列等式成立：

（1）PD·QDBD·DC=PA·QACA·AB；（2）PE·QECE·EA=PB·QBAB·BC；（3）PF·QFAF·FB=PC·QCBC·CA.

证明命题2，要用到如下几个引理.

引理1［2］椭圆切线与过切点的焦半径成等角.

引理2如图1，P，Q是椭圆的两个焦点，AE，AF是椭圆的两条切线，则有

（1）∠PAF=∠QAE；（2）∠APF=∠APE;∠AQF=∠AQE.

证明：如图2，延长QF至点J，使得FG=FP，延长至点PEK，使得EQ=EK，由椭圆定义及引理1可推得ΔAPFΔAJF，ΔAQEΔAKE且PK=QJ=2a（2a为椭圆长轴长），所以有AP=AJ，AQ=AK，∠AJF=∠APF，∠AKE=∠AQE，∠JAF=∠PAF，∠KAE=∠QAE，且有ΔAJQΔAPK，所以∠AJF=∠APE=∠APF，∠AKE=∠AQF=∠AQE，∠JAQ=∠PAK，则有∠JAQ－∠PAQ=∠PAK－∠PAQ，即∠JAP=∠KAQ，也即有∠PAF=∠QAE.

引理3如图3，设P，Q是ΔABC一个内切椭圆的两个焦点，该内切椭圆与ΔABC的三边BC，CA，AB分别切于点D，E，F（D与E，F分列在椭圆长轴的两侧），则有∠BPD=∠PAF+∠PBF+∠PCD.

证明：易知三角形内切椭圆的三个切点不能在椭圆长轴同一侧，也不能其中有两个切点都在长轴端点上或都在短轴端点上，如图3所示，三个切点分别为D，E，F，不妨设点D和E，F两点分列在椭圆长轴的两侧，则由引理1和2知，∠APF=∠APE，∠BPF=∠BPD，∠CPD=∠CPE，又因为∠APB=π－∠PAF－∠PBF，∠CPD=∠BDP－∠PCD，所以2∠APB+2∠CPD=2π，化简即可得到∠BDP=∠PAF+∠PBF+∠PCD.

若其中一个切点在椭圆长轴一个端点处，另外两个切点分列椭圆长轴两侧，也可得到类似性质，在此不在累述.

命题2的证明：如图3所示，由引理1和引理2可设∠PAF=∠QAE=θ1，∠PBF=∠QBD=θ2，

∠PCD=∠QCE=θ3，∠PDB=∠QDC=α1，∠QEC=∠PEA=α2，∠QFA=∠PFB=α3，再由引理2（2）可得∠APE=∠APF=α3－θ1，∠BPF=∠BPD=π－α3－θ2，∠CPD=∠CPE=α1－θ3，∠AQE=∠AQF=α2－θ1，∠BQF=∠BQD=α1－θ2，∠CQD=∠CQE=π－α2－θ3，并由引理3可知α1=θ1+θ2+θ3.

（1）在ΔPDC中，由正弦定理知PDDC=sinθ3sin∠CPD=sinθ3sin（α1－θ3）=sinθ3sin（θ1+θ2）；同理，在ΔQDB中，QDBD=sinθ2sin∠BQD=sinθ2sin（α1－θ2）=sinθ2sin（θ1+θ3），所以PD·QDBD·DC=sinθ2sinθ3sin（θ1+θ2）sin（θ2+θ3）.而在ΔAPB和ΔAQC中，由正弦定理可知PAAB=sinθ2sin∠APB=sinθ2sin（θ1+θ2），QACA=sinθ3sin∠AQC=sinθ3sin（θ1+θ3），因此有

PA·QACA·AB=sinθ2sinθ3sin（θ1+θ2）sin（θ1+θ3）=PD·QDBD·DC.

（2）在ΔQEC和ΔPEA中，由正弦定理知QECE=sinθ3sin∠CQE=sinθ3sin（α2+θ3），PEEA=sin∠PAEsin∠APE=

sin（A－θ1）sin（α3－θ1），两式相乘即可得到PE·QECE·EA=sinθ3sin（A－θ1）sin（α2+θ3）sin（α3－θ1），同理在ΔBPC和ΔBQA中，由正弦定理可得PBBC=sinθ3sin∠BPC=sinθ3sin［（π－α3－θ2）+（α1－θ3）］=sinθ3sin（α3+θ2－α1+θ3）=sinθ3sin（α3－θ1），QBAB=sin∠QABsin∠AQB=sin（A－θ1）sin［（α2－θ1）+（α1－θ2）］=sin（A－θ1）sin（α2+θ3），所以PB·QBAB·BC=sinθ3sin（A－θ1）sin（α2+θ3）sin（α3－θ1），即PE·QECE·EA=PB·QBAB·BC.

（3）在ΔQFA和ΔPFB中，由正弦定理知QFAF=sin∠QAFsin∠AQF=sin（A－θ1）sin（α2－θ1），PFFB=sinθ2sin（α3+θ2），

兩式相乘即可得PF·QFAF·FB=sinθ2sin（A－θ1）sin（α3+θ2）sin（α2－θ1），同理在ΔBQC和ΔCPA中，由正弦定理可得QCBC=sinθ2sin∠BQC=sinθ2sin［（π－α2－θ3）+（α1－θ2）］=sinθ2sin（α2+θ3－α1+θ2）=sinθ2sin（α2－θ1），

PCCA=sin∠PACsin∠APC=sin（A－θ1）sin［（α1－θ3）+（α3－θ1）］=sin（A－θ1）sin（α3+θ2），所以PC·QCBC·CA=sinθ2sin（A－θ1）sin（α3+θ2）sin（α2－θ1），即PF·QFAF·FB=PC·QCBC·CA.

由命题1及命题2即可得

推论1设P，Q是ΔABC的一个内切椭圆的两个焦点，该内切椭圆与ΔABC的三边BC，CA，AB分别切于点D，E，F，则下列等式恒成立：

PD·QDBD·DC+PE·QECE·EA+PF·QFAF·FB=1.

命题3如图4，点O是ΔABC一个内切椭圆的中心，该内切椭圆与ΔABC的三边BC，CA，AB分别切于点D，E，F，设椭圆的长半轴长和短半轴长分别为a，b，记SΔAOF=S1，SΔBOD=S2，SΔCOE=S3，则有

1S1S2+1S2S3+1S3S1=4a2b2.

证明命题3要用到如下两个引理.

引理4［3］如图5，PA，PB是椭圆的两条切线，切点为A与B，O是椭圆中心，则PO平分线段AB.

引理4的证明见文［3］，此略.

引理5［4］设椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦半径为PF1，PF2，点O到点P处的切线的距离为d，则PF1·PF2=a2b2d2.

引理5的证明见文［4］，此略.

命题3的证明：如图6，P，Q是椭圆的两个焦点，O是椭圆中心，由引理4知SΔAOF=SΔAOE=S1，SΔBOF=SΔBOD=S2，SΔCOD=SΔCOE=S3，设点O到边BC，CA，AB的距离分别为d1，d2，d3，由引理5得PD·QD = a2b2d1 2，所以1S2 S3  = 1SΔ BOD ·SΔ COD  = 4BD·DC·d1 2 = 4a2b2·PD·QDBD·DC，同理得1S1S2=4a2b2·PF·QFAF·FB，1S3S1=4a2b2·PE·QECE·EA，再由推论1得1S1S2+1S2S3+1S3S1=4a2b2.

在命题3等式两边同乘2S1S2S3即可得

推论2在命题3条件下，有SΔABC=8S1S2S3a2b2.（证明略）

参考文献

［1］ 周峻民，吴康，张菡之. 三角形内切椭圆的一个几何恒等式［J］. 数学通报，2010（8）.

［2］ 崔寶法. 椭圆切线的几个典型性质［J］. 数学通讯，2006（15）.

［3］ 姚先伟. 椭圆切线的若干性质补遗及初等证明［J］. 数学通讯，2019（3）.

［4］ 吴荣华. 椭圆的切线性质再探［J］. 数学通讯，2019（5）