优化数学认知结构提升一轮复习效率

黄慧美

一轮复习是高考复习教学的关键一环.在此阶段，学生依然是课堂的主体，然大多复习课堂却以教师为主导，延续着“师讲生听”的教学模式，课堂容量大、频率快，容易出现学生“懂而不会”的尴尬局面.实际上，一轮复习要重视通性通法的提炼，让解题方法和解题策略更具系统性和方向性，使复习更高效，解题更流畅.本文笔者以“函数零点”复习为例，以典型问题为切入点，引导学生在巩固基础知识的同时，掌握解题通法，构建数学思想方法体系，进而优化认知结构，提升复习效率.

一、教学实录

1.明确方向，激发欲望

例1函数f（x）=6x－log2x，在下列区间中，包含f（x）的零点的区间是（）.

A.（0，1）B.（1，2）C.（2，4）D.（4，+∞）

在复习阶段，不能将目光定位在解题上，而是要透过题目了解考试动向，分析核心考点，进而进一步巩固“双基”，扫清解题障碍.

师：题中涉及到什么概念？

生齐声答：函数的零点.

师：函数零点的概念大家还记得吗？

生1：使函数f（x）=0成立的实数x叫函数y=f（x）的零点.

师：很好，那么想一想例1该如何求解呢？

生2：如果令f（x）=0是无法直接求解的，可以将其轉化为求y=6x和y=log2x的交点，根据图象可知两函数的交点是1个，根据函数值得到交点的范围是（2，4）.

生3：生2的解法没有问题，解题时既要画图又要代值，我觉得这个问题可以换个思路来解，可以考虑应用零点存在的定理来解答.

师：说说你的解题思路.

生3：由题可知，函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，f（1）=6－0=6>0，f（2）=3－1=2>0，f（4）=64log24=32－2=－12，由函数零点存在定理可知，函数f（x）在区间（2，4）上必有零点.

师：很好，通过代数法和几何法都顺利地得到了答案.生2是从定义的角度去考虑，首先将函数零点问题转化为方程的根，然本题方程难以直接求解，为此又继续转化，将其转化为函数的交点问题，最后利用数形结合的思路精准地求得了答案，这是解决此类问题的一个常用的方法，看来大家已经掌握了解题的精髓.生3结合题目特点，根据零点存在定理巧妙地解决了问题.

师：如果例1中需要求零点的个数，生3的方法还有效吗？

通过交流，学生运用不同的解题方案顺利地求解了问题，通过剖析发现解决此类问题可以从代数和几何两方面入手，同时体验了数形结合思想和转化思想在解题中的重要价值，为了进一步强化认识，教师又给出新问题，引导学生继续探究，不断挖掘，揭开问题的实质.

2.拓展应用，活跃思维

师：思考一下，下面问题该如何求解？

例2关于x的方程xx+2－k=0，k∈R，探究方程根的个数.

问题给出后，教师鼓励学生从不同角度思考，进而通过拓展逐渐完善认知，巩固应用.

生4：可以将方程的根转化为函数y=xx+2与y=k的交点个数，根据图象可知，当k=1时，无交点，因此方程无实数根；当k≠1，有1个交点，为此方程有1个根.

生5：我没有画图也做出来了，通分得（1－k）x－2k=0，所以当k=1时，无实数根，当k≠1时，方程有1个根.

师：生4和生5分别从几何和代数的思路进行求解，他们的解题过程是否有问题呢？（眼尖的学生已经发现了问题）

生6：根据生5的代数式，是否要检验k一定不等于－2呢？

师：观察得非常仔细，非常好！检验会发现k一定不等于－2.其实方程简单的情况下用代数法更为方便，然在解题过程中一定要注意隐藏条件，要确保转化的等价性.如果将例2中的函数做一些改变，你认为该如何求解呢？（教师PPT给出变式）

变式1若关于x的函数f（x）=xx+2－kx2有4个不同的零点，则实数k的取值范围为.

根据前例，同样可将问题转化为y=xx+2与y=kx2的交点个数.虽然学生能够画出图形，但曲线和曲线与曲线和直线不同，用上面的几何法和代数法都很难判断交点个数，为此解题时需要进一步转化.

生7：函数零点转化为f（x）=0，根据函数特点容易得x=0为方程的根，约去x可变形为1x+2=kx，转化后图象就不是两条曲线了，这样可以应用图象的交点来求解.因为y=1x+2的图象是固定的，y=kx当k≤0时显然不满足.当k>0时，要有3个交点，只需y=－kx与y=1x+2有两个交点，由此可知直线与曲线相切，进而通过导数或Δ=0可以求出k>1.

生8：还可先约去x，得1x+2=kx，两边同除x得1x（x+2）=k，这样转化为y=k与y=1x（x+2）的交点个数.

师：通过分离变量的思想进行转化没有问题，但是y=1x（x+2）这个函数图象如何画呢？（生8表示没有画出图象，显然通过这样的转化使问题变得更加复杂了）进一步，如将1x（x+2）=k再进行变形，将其转化为1k=x（x+2）呢？（学生恍然大悟）

在教师的引导下，学生利用几何方法轻松地解决了问题.问题解决后，教师又鼓励学生利用代数法进行求解，然学生尝试后发现，应用代数法问题变得更加复杂了，很难求解.通过对比学生发现，处理零点问题时可以应用代数法和几何法，那么哪种方法为最优解决方案则需要根据实际问题来判断，若是简单的问题，利用代数法效率会更高，而对于较为复杂的问题，可以考虑借助图形的直观性来判断，但是应用几何法时，要使问题向容易作图的方向转化.

3.巩固强化、升华认知

师：大家看看这个题又该如何转化呢？（教师PPT展示变式2）

变式2函数f（x）=xx+2，若关于x的函数y=2f2（x）+2bf（x）+1有4个不同的零点，求实数b的取值范围.

师：本题较前面问题相比，略显复杂，是关于复合函数的零点问题，这个又该如何转化呢？（教师鼓励学生进行合作探究，以此既能活跃课堂气氛，又能发挥个体优势）

生9：可以令t=f（x），则问题转化为2t2+2bt+1=0，y=t与y=f（x）共有4个交点，此时需要两个t∈（0，1），即y=2t2+2bt+1在（0，1）上有两根，所以Δ>0，0<－b2<1，2+2b+1>0，这样问题就迎刃而解了.

可见，通过以上的变式训练，学生已经很好地掌握了解决此类问题的方法，极大程度上提高了解题信心.虽说高考题变化莫测，然若将知识点学懂吃透，规律会自然地涌现，新题变成了旧题，复杂题变成了简单题，解题也就自然水到渠成了.

二、教学反思

在一轮复习中，以下几点应引起师生重视：

首先，在解题教学中既要掌握通性通法，又要善于结合题型和题目特点进行灵活转化.在夯实“双基”的同时，也要积累一些解题技巧，提高解题效率.

其次，教师在典型问题的处理上要遵循由浅入深，从简到繁的原则，使例子的呈现具备一定的层次性，顺应学生思维发展，提高学生解题信心.

再次，对于一些规律性的问题，需要教师的及时点拨.对关键的方法和结论进行了及时的总结和归纳，引导学生认清问题的本质，找到解题通法.

最后，教师要为学生提供巩固强化的时间和空间.教师应结合教学内容和学生认知设计变式题目，通过“变”感受通性通法的价值，体验那些不变的规律，进而深化认知，活化数学思维，锻炼学生灵活应用数学的能力.