循环纯phantom态射

魏敏敏　赵仁育

摘要： 通过引入循环纯phantom态射的概念， 给出循环纯phantom态射的一些等价刻画， 证明每个R-模都有核为循环纯内射模的满的循环纯phantom覆盖， 并讨论循环纯phantom预覆盖在环变换下的传递性.

关键词： 循环纯; 循环纯phantom态射; 预覆盖

中图分类号： O153.3文献标志码： A文章编号： 1671-5489（2024）02-0249-07

Cyclic Pure Phantom Morphisms

WEI Minmin， ZHAO Renyu

（College of Mathematics and Statistics， Northwest Normal University， Lanzhou 730070， China）

Abstract： By introducing the notion of cyclic pure phantom morphisms， we gave  some equivalent characterizations of cyclic pure phantom morphisms，  proved that every R-module had an epic cyclic pure phantom cover with the kernel cyclic pure injective modules， and discussed the transitivity of cyclic pure phantom precover under change of rings.

Keywords： cyclic pure; cyclic pure phantom morphism; precover

Phantom態射起源于拓扑学中关于CW-复形间的态射研究. 文献［1］在三角范畴中引入了phantom态射的概念， 文献［2-5］将phantom态射理论推广到了有限群环的稳定模范畴中; 文献［6］将phantom态射的概念拓展到任意结合环R上的R-模范畴中. 如果对每个（有限表示）左R-模A， Abel群同态Tor1（f，A）： Tor1（M，A）→Tor1（N，A）是零同态， 则一个右R-模同态f： M→N称为phantom态射. Phantom态射可视为是平坦模的态射， 由于其在理想逼近理论［7］中具有重要作用， 因此近年来得到广泛关注［8-12］.

Phantom态射与纯性有密切的关系. 作为纯性的推广， 文献［13］引入了循环纯的概念; 文献［14-15］研究了循环纯内射模和循环纯投射模; 文献［16］研究了循环纯平坦模. 受上述研究结果的启发， 本文引入并研究循环纯phantom态射.

1 预备知识

本文中R是有单位元的结合环， 所涉及的模均为酉模. 用Mod-R表示右R-模范畴. 将HomR（M，N）和MRN分别简记为Hom（M，N）和MN; 将Ext1R（M，N）和TorR1（M，N）分别简记为Ext1（M，N）和Tor1（M，N）. 用Mor-R表示所有右R-模同态的范畴， 即其中的对象是所有的右R-同态f： M→N， 对象f： M1→N1到对象g： M2→N2的态射是一对右R-同态（α1，α2）， 使得下图可交换：

如果P1和P2是投射右R-模且P是可裂单态射， 则Mor-R中的对象P： P1→P2称为投射对象. 对偶地， 如果E1和E2是内射右R-模且E是可裂满态射， 则Mor-R中的对象E： E1→E2称为内射对象［9，17］.

参考文献

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（责任编辑： 赵立芹）

收稿日期： 2023-06-12.

第一作者简介： 魏敏敏（1999—）， 女， 汉族， 硕士研究生， 从事环的同调理论的研究， E-mail： 18419376042@163.com.

通信作者简介： 赵仁育（1977—）， 男， 汉族， 博士， 教授， 从事环的同调理论的研究， E-mail： zhaory@nwnu.edu.cn.

基金项目： 国家自然科学基金（批准号： 11861055; 12061061）.