二次函数综合性题目的解题方法研究

梁玉芳

摘要：二次函数的综合性问题是中考数学试题的必考题型，可以系统地考查学生的数学建模能力和抽象思维能力.在求解过程中，能促使学生将离散化的知识聚合成统一的知识体系，同时能培养和发展学生解决实际问题的数学能力.文章结合具体例题分类探讨了二次函数综合题中的交点问题、线段的和差最值问题、一般最值问题等常见题型的解题方法.

关键词：二次函数；综合性题目；解题方法

二次函数是初中数学知识体系的重要构成，依托于数学知识之间的内在联系，二次函数可以与方程、不等式、二次根式、平面几何、三角函数等重要的数学知识点融合起来，形成综合题.同时，由于函数的核心含义是反映两个变量在某个变化中相互依存的关系，因此也常常与有关动点的分类讨论问题相结合，对学生的数学能力、数学思维进行全面、综合的考查.因此，研究二次函数综合性题目的解题方法，对于帮助学生掌握解题技巧、培养数学核心素养、提升数学整体理解能力和问题解决能力具有积极的现实意义.

1 二次函数综合题中交点问题的解法

交点问题通常以二次函数与一次函数，以及二次函数与坐标轴的交点形式出现，交点可能是二次函数与坐标轴、一次函数以及平行于坐标轴的直线的交点.

例1  已知抛物线y=ax2+bx+c，顶点M的坐标为－b2a，－4，抛物线与y轴的交点为点C，与x轴的交点为A和B，两点的坐标分别为（x1，0）和（x2，0）（x1

解析：因为x1和x2是方程x2－2（m－1）x+m2－7=0的两根，所以由韦达定理可知x1+x2=2（m－1），x1x2=m2－7.又x21+x22=10，所以（x1+x2）2－2x1x2=10，则［2（m－1）］2－2（m2－7）=10，即m2－4m+4=0，解得m1=m2=2.将m=2代入方程x2－2（m－1）x+m2－7=0中，得x2－2x－3=0，又x1

又因为点A和点B分别为抛物线与x轴的两个交点，根据抛物线的对称性可知，顶点M的横坐标为1，所以点M的坐标为（1，－4）.将A（－1，0），B（3，0）和M（1，－4）分别代入抛物线y=ax2+bx+c中，则有a－b+c=0，9a+3b+c=0，a+b+c=-4，解得a=1，b=－2，c=－3.

所以，抛物线的解析式为y=x2－2x－3.

因为C是抛物线与y轴的交点，所以点C的坐标为（0，－3）.

综上，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，－3），抛物线解析式为y=x2－2x－3.

例1以二次函数为载体，考查二次函数与坐标轴的交点以及二次函数性质，运用待定系数法，结合韦达定理、抛物线的对称性质以及数形结合思想，即可确定交点坐标和抛物线的解析式.

2 二次函数综合题中线段和差最值问题的解法

线段和差最值问题的关键是二次函数的“动点”問题，“化折为直”是解决此类题型的通用方法［1］.线段和差最值问题的题型主要分为单一线段最值问题、两条线段求和取最小值问题、两条线段作差取最大值问题、三角形周长最小问题四大类型.

2.1 单一线段最值问题

在单一线段最值问题中，一般会存在两个动点（点M和点N），分别位于二次函数图象和一次函数图象上（如图1所示），解题的关键在于利用函数解析式表示动点的坐标，通过数形结合，判定动点的位置［2］.

2.2 两条线段求和取最小值问题

两条线段求和取最小值问题，就是求动点到两定点距离和的最小值.如图2所示，在定直线l上找到一点P，使得点P与定点A和定点B的距离之和最小.解决此类问题，可以通过“化折为直”的数学思想方法，借助对称点，将PA+PB的最小值转化为线段A′B的长度.

2.3 两条线段作差取最大值问题

在两条线段作差取最大值的问题中，题型通常为求定点与两动点距离之差的最大值.如图3所示，在定直线l上找到一点P，使得点P与定点A和定点B的距离PA和PB的差最小.若A，B两点位于直线l的异侧，则需要通过对称点，将两定点转化到直线l的同侧，将PA－PB转化为PA－PB′.当A，B′，P三点不共线时，PA－PB′

2.4 三角形周长最小问题

三角形周长最小问题是“将军饮马”类题型的变形，如图4，在射线m和n上分别选取动点M和动点N，使之与定点P组成△PMN，使得△PMN的周长最小.此类问题的解法与上述二次函数的综合性问题的解题方法基本一致，也是通过对称点转化后利用“化折为直”的数学思想方法，求三角形周长的最小值［4］.

3 二次函数综合题中最值问题的解法

最值问题是函数的重要问题，在解决二次函数的最值等综合性问题时，可以利用数形结合、线性规划、基本不等式、单调性等知识点简化问题.

例2  已知二次函数y=ax2+bx+c（b>a>0）的图象与x轴至多有一个交点，求a+b+cb－a的最小值.

本题属于变量较多的最值形式，可以从已知条件出发进行变量替换［5］.

解析1：通过换元，替换变量b，结合基本不等式进行最值计算.

由题意可知a>0，Δ≤0，则有1

所以，a+b+cb－a=1+ca+2ba－1≥1+ca+22ca－1.

令t=ca>12，则a+b+cb-a

=1+t2+22t－1=32+2t－14+94（2t－1）≥32+22t-14＼594（2t-1）=3，

当且仅当t=2且ba=2ca，即b=c=4a时，a+b+ca-b取得最小值3.

解析2：通过替换变量c，实现消元的目的，进而使用基本不等式求解最值.

由题意可知a>0，Δ≤0，则有c≥b24a，所以a+b+cb－a≥a+b+b24ab－a.令b=a+t（t>0），则a+b+b24ab-a=32+9a4t+t4a≥3，当且仅当t=3a且c=b24a，即b=c=4a时，a+b+ca-b取最小值3.

解析3：从所求问题出发进行等价变形，通过对所求式子赋予变量，利用等式替换变量c.

令a+b+cb－a=t（t>0），则c=（b－a）t－（b+a）.将c=（b－a）t－（b+a）代入

Δ=b2－4ac≤0，

得到t≥（2a+b）24a（b－a），下同解析2.

4 结语

二次函數是初中数学知识体系的重要构成，以二次函数为载体的综合性题目具有知识面广、灵活性强的特点，考查学生对数学知识的整合和综合应用能力.解决此类问题需要根据题意，利用二次函数的相关性质和数学思想，选择适宜的解题方法.在解决与交点相关的二次函数综合性题目时，可以与方程建立联系，利用判别式、根与系数的关系等知识点，将函数问题转化为方程问题；在解决与线段和差的最值相关的二次函数综合性题目时，可以运用“化折为直”的数学思想，通过轴对称变换、旋转变换、平移变换、构建特殊图形等方式将“折”转化为“直”，进而解决数学问题；在解决二次函数综合性题目中的最值问题时，可以运用数形结合思想和换元法，整合线性规划、基本不等式、单调性等知识简化问题.因此，教师在日常教学中，不仅需要向学生传授知识，还应有计划地结合教学内容和学生实际情况，总结解题规律，向学生传授解决数学问题的方法，以此提高学生的解题效率.

参考文献：

［1］刘海涛.解题应重视自然而至简的通解通法——从一道二元二次函数最值题的研究谈起［J］.数理化解题研究，2022（7）：75-80.

［2］王新.初中数学综合题分析及教学策略探究——以二次函数综合题为例［J］.试题与研究，2021（35）：19-20.

［3］张洋.数形结合在二次函数图象解题教学中的应用［J］.中国多媒体与网络教学学报（下旬刊），2021（7）：50-51，93.

［4］罗志.初中数学动点问题教学实践研究——以二次函数动点问题为例［J］.数学学习与研究，2021（13）：158-159.

［5］张小平.二次函数与45°的美丽邂逅——关于一类二次函数综合题的解题思考［J］.上海中学数学，2021（3）：40-43.