“复变函数与数理方程”课程思政教学探索

章权兵 张华永 任爱娣

［摘 要］ 课程思政是全面提升人才培养质量、落实立德树人根本任务的重要途径。对电子类专业的专业课程“复变函数与数理方程”的思想政治教学进行了探索，并选取课程中的复变函数的积分、傅里叶变换、定解问题等主要教学内容，通过对教学内容的剖析，挖掘知识点中所蕴含的科学元素和思政元素，将思想政治教育融入知识传授中。在激发学生学习兴趣、培养其学习主动性的同时，帮助学生树立正确的世界观、人生观、价值观，以达到教书育人的目的。

［关键词］ 课程思政；复变函数与数理方程；复变函数的积分；傅里叶变换；定解问题

［中图分类号］ G642.3［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-9324（2024）08-0089-04

引言

立德树人是中国教育的根本任务和时代使命，为实现中华民族伟大复兴，必须通过教育立德树人。党的二十大报告强调：“全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人。”［1］立德树人在教学中的重要地位更加凸显。

课程思政是落实立德树人根本任务、全面提升人才培养质量的重要途径。课程思政不是增开一门课，也不是增设一项活动，而是一种教育理念、一种教育活动［2］，是培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人的现实需要，也是保障“三全育人”实现的必然选择［3］。高校要实现立德树人根本目标，不能仅靠思想政治理论课，必须加强课程思政建设，要在专业课程教学中进行思想政治教育，使专业课程与思政课程同向同行，在完成知识传授的同时，发挥育人功能［4］。2020年，教育部在印发的《高等学校课程思政建设指导纲要》中明确指出，“全面推进课程思政建设是落实立德树人根本任务的战略举措”［5］。落实立德树人根本任务，对教师队伍的建设提出了更高的要求；推进高校课程思政建设，发挥好课程教学的育人作用，是每位教师须要承担的重要使命和责任［6］。

一、“复变函数与数理方程”课程思政的必要性

“复变函数与数理方程”是安徽大学电子、通信等理工科专业的一门重要的专业基础课程，主要包含复变函数、积分变换、典型常微分方程和偏微分方程的求解及其解的性质等内容，这些都为学生后续专业课程学习提供了必要的数学基础［7-8］。由于该课程基本概念抽象、理论性强、涉及的知识点多且相互之间的关联度大，因此学生普遍感到学习难度较大。如果学生没有理解清楚前面的知识点，那么后续内容就会很难听懂，并且问题越积越多，最后易放弃学习。传统的教学方式很难激发学生的学习兴趣，并且重在基本理论和公式推导，缺乏科学精神的培养和科学方法的引导［9］。

事实上，“复变函数与数理方程”课程蕴含着丰富的思政元素，并分布于各个章节的细微之处。如何结合专业特点和课程内容，深入挖掘课程中的科学元素和思政元素，使思想政治教育融入知识传授中，在吸引学生的注意力，激发其学习兴趣、培养其学习主动性的同时，做到润物无声地对学生进行思想价值引领，帮助他们树立正确的世界观、人生观、价值观，是须要思考和解决的重要问题［10］。

二、课程思政教学实践

课程思政不是空谈，要依附于教学内容［11］。本文结合笔者多年的课堂教学经验，以复变函数的积分、傅里叶变换和定解问题等教学内容为例，挖掘了“复变函数与数理方程”课程的思政元素，对该课程的思想政治教学进行了探索并提供了材料支撑。

（一）复变函数的积分

“复变函数与数理方程”课程的一个重要内容是复变函数的相关理论，它在电学、流体力学和航空力学等方面具有广泛的应用，而复变函数的积分是其中的重点和难点之一。

复变函数的积分与高等数学中第二型曲线积分有很多相同或相似之处。例如，它们的定义在形式和内容上是一致的，并且具有大量相同的运算性质。与第二型曲线积分一样，复变函数的积分包含沿曲线的分割、近似、求和、取极限等步骤，其中蕴含了丰富的哲学思想。分割、近似使每一段弧长都趋于零，是一个化整为零的过程；而求和、取极限是一个合零为整的过程。实际上，再复杂的问题都可分割为一系列简单的小问题，将这些小问题逐个解决后再寻求总体突破，复杂问题自然就迎刃而解了。人生的大目标也是由一个个小目标组合而成的，只有循序渐进，突破一个个小目标，才能最终实现自己的梦想，正所谓“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”。（《荀子·《劝学》）借此引导学生明白学习是一个不断积累的过程，必须脚踏实地、努力进取并持之以恒，才能实现从量变到质变的根本改变。

复变函数的积分还有一些重要性质，例如：可以像计算一元实函数定积分一样应用著名的牛顿-莱布尼茨公式。尽管复变函数的积分对函数的要求要远高于实函数的积分，但复变函数的积分并不涉及一元实函数积分的中值定理。在教学过程中，我们要引导学生将这两种积分进行对比研究，指出它们之間的异同之处，培养学生的创造性思维，使学生在理解复变函数积分相关知识的同时，掌握基本的科学探索方法。此外，要充分研究复变函数的积分与实函数定积分的相似性质，以及它们之间的紧密联系。例如，利用计算第二型曲线积分的参数法可方便地得到计算复变函数积分的参数法，进而将复变函数积分的计算转化为一元实函数定积分的计算，从而为复积分的计算提供一种有效方法；反过来，实函数中某些比较复杂，甚至难以计算的定积分和反常积分，可以转化为复变函数沿闭曲线的积分，并可利用留数定理等轻松解决。这告诉我们，在某种理论框架下无法解决或难以解决的问题，放在一个新的理论框架下可能会变得非常简单。借此激励学生努力学习，不断拓宽知识面。社会在发展，科学在进步，要想跟上社会发展的节奏，必须不断求索新知，树立终身学习的理念。

（二）傅里叶变换

傅里叶变换将满足一定条件的函数表示成三角函数的线性组合或积分，从而为将信号分析由时域转换到频域提供了理论依据。作为数学理论中非常重要的工具，其在信息科学和物理化学等领域有着广泛的应用。

从时域角度来分析，信号是随时间动态变化的函数，自变量是时间。比如一首优美的乐曲，人们能够感受到它的旋律是随时间变化的。然而，乐曲中不同的音符实质上表示的是不同频率的声音。从频域角度来研究信号，将时间变量换成了频率变量，揭示了随时间动态变化的信号其内在的频率特性，使得在时域中难以解决的问题，往往在频域中得以简化。对于同一个信号，分别从频域和时域进行分析，就是从不同的角度来看待问题，并能得到不同的结果，正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”。（苏轼·《题西林壁》）这也告诉我们，对于同一事物，观察的立足点和角度不同，就会有不同的认识，得到不同的结论。借此启发学生，在面对复杂工程问题时，若只拘于一种思考，往往无法抓住问题的核心和本质；而换个角度思考，可能会“柳暗花明又一村”。要认清事物的本质，就必须从多角度观察，多维度思考。

进一步来看，一个三角函数表示信号的能力非常有限，只能表示一个固定振幅和频率的简谐振动，但多个不同频率三角函数的线性叠加可以表示更加复杂的函数，从而解决更加复杂的问题。这也类似于个人与集体的关系，个人的力量总是有限的，但集体的力量却是无穷的，团队合作所取得的成果往往能超过成员个人的总和。每个人都要融入集体，才能充分发挥个人的作用；而集体要发挥出团队真正的力量，就必须团结，正所谓“协力山成玉，同心土变金”，没有团结精神的团队将是一盘散沙。借此引导学生思考个体与整体、个人与集体的关系，培养学生的团队合作精神，激励学生为全面建成社会主义现代化强国、实现第二个百年奋斗目标，以中国式现代化全面推进中华民族伟大复兴而奋斗。

傅里叶变换在信号处理等很多领域有着无可替代的重要性，但其正式发表却是一个非常曲折的过程。1807年，傅里叶在关于热传导的论文中提出了傅里叶变换，但遭到拉格朗日的反对而未发表；此后经过不断的补充完善，并于1811年再次提交，但仍未被正式发表。尽管如此，傅里叶并未放弃，于1822年出版了专著《热的解析理论》，其创立的包括傅里叶变换在内的理论对后来的数学、物理等科学的发展产生了深远影响。借此，教师可以激励学生学习傅里叶勇于创新的科学精神和坚持不懈、追求真理的优秀品质。同时，要让学生明白，按照当时的理论水平，傅里叶的研究成果确实存在争议，拉格朗日拒绝其论文发表正是严谨求实的科学精神的最好体现。

（三）定解问题

定解问题的建立是“复变函数与数理方程”中一个基本且重要的问题。定解问题建立的合适与否，直接决定着能否从中得到物理意义明确且符合客观实际的解。定解问题包括数理方程本身（泛定方程）和定解条件（初始条件、边界条件等）。在定解问题的建立过程中体现了马克思主义辩证法，需要我们辩证思考。在教学中体现辩证法思想，既可以使学生加深对定解问题的认识和理解，又可以引导学生掌握分析和解决问题的正确方法，是培养积极、科学的探索精神的生动实践。

首先，在定解问题建立过程中推导出的泛定方程，反映了所研究的物理过程和现象的矛盾运动。例如：均匀弦的微小横向自由振动方程反映了弦自身张力和横向运动的矛盾统一；热传导方程反映了热量的传导和吸收的矛盾统一；泊松方程反映了电荷分布与其产生的静电场之间的矛盾统一。这些例子正是矛盾普遍存在、矛盾推动事物发展等辩证法思想的生动体现。在推导泛定方程的具体过程中，引导学生理解矛盾运动是有规律的，而规律是可以被认识的，培养学生坚持真理、追求真知的理想和信念。

其次，定解问题是矛盾普遍性和特殊性的统一体，泛定方程是对一类物理过程共性的一种描述，而具体到每一个物理过程又有其特殊性，这体现在定解条件中，具体问题要具体分析。例如，在均匀弦的微小横振动问题中，泛定方程描述了弦振动的横向位移所遵循的普遍规律，而之所以有不同的弦振动现象则源于不同的定解条件，只有把泛定方程和定解条件放在一起看作一个完整的定解问题，才能对具體的弦振动问题给出正确的求解和解释。借此，教师要引导学生坚持矛盾普遍性和特殊性相统一的观点，认识世界是丰富多彩的，我们既要树立献身科学、探求真理的远大抱负，又要有脚踏实地、实事求是的学习和工作态度。

最后，我们在研究一个物理过程时不能孤立地进行研究，必须考虑周围环境对它的影响。例如，在均匀弦的微小横向受迫振动方程中，自由项是由于弦受到外力作用而引入的，反映了外在因素和弦振动问题的联系。定界条件中不同的边界条件也充分体现了外界环境对弦振动的不同影响。这些外在的影响因素在很大程度上决定了弦的振动方式，所以研究弦振动问题需充分考虑其与外界的广泛联系。在定解问题的教学中坚持普遍联系的观点，引导学生在进行科学研究时既要掌握扎实的专业知识，又要广泛学习其他相关领域知识，具有宽广的知识面。

结语

立德树人是教育之本，课程思政是落实立德树人根本任务的重要途径。“复变函数与数理方程”是电子、通信等理工科专业的一门重要的专业基础课程，如何在课程教学中将知识传授与价值引领相结合，践行课程思政理念，实现协同育人目标，具有重要意义。

本文对“复变函数与数理方程”课程思政教学进行了探索，并选取了几个典型的教学内容，挖掘了知识点中蕴含的科学元素和思政元素，使思想政治教育融入知识传授中。从教学效果来看，这种方式有效提升了学生的学习兴趣，培养了学生的科学思维能力，并对学生世界观、人生观、价值观的正确树立起到了很好的引导作用。

参考文献

［1］习近平：高举中国特色社会主义伟大旗帜为全面建设社会主义现代化国家而团结奋斗：在中国共产党第二十次全国代表大会上的报告［EB/OL］.（2022-10-25）［2023-01-14］.https：//www.gov.cn/xinwen/2022-10/25/content_5721685.htm.

［2］张宏彬.高职院校如何实施课程思政［N］.中国教育报，2019-04-16（11）.

［3］劉鹤，石瑛，金祥雷.课程思政建设的理性内涵与实施路径［J］.中国大学教学，2019（3）：59-62.

［4］杨金铎.中国高等院校“课程思政”建设研究［D］.长春：吉林大学，2022.

［5］教育部.关于印发《高等学校课程思政建设指导纲要》的通知：教高〔2020〕3号［A/OL］.（2020-05-28）［2023-01-15］.http：//www.gov.cn/zhengce/zhengceku/2020-06/06/content_5517606.htm.

［6］刘红毅，张军，张峥嵘.“数字图像处理”课程思政教学实践：以图像变换单元为例［J］.教育教学论坛，2021（50）：129-132.

［7］柯导明，黄志祥，陈军宁.数学物理方法［M］.2版.北京：机械工业出版社，2018：V-X.

［8］王波，于跃.自动化专业《复变函数与积分变换》教学方法浅析［J］.教育教学论坛，2020（2）：252-253.

［9］温潘亚.思政课程与课程思政同向同行的前提、反思和路径［J］.中国高等教育，2020（8）：12-14.

［10］马光焱，王莉茹.新时代高校课程思政建设的路径探析［J］.教育信息化论坛，2022（4）：93-95.

［11］阮世华，林美琳.工科复变函数课程思政教学探索与实践［J］.创新创业理论研究与实践，2022，5（2）：

37-39+46.

Exploration of Curriculum Ideology and Politics in the Course of Complex Variables Function and Equations of Mathematical Physics

ZHANG Quan-bing， ZHANG Hua-yong， REN Ai-di

（School of Electronic and Information Engineering， Anhui University， Hefei， Anhui 230601， China）

Abstract： Curriculum ideology and politics provides an important way to comprehensively improve the quality of talent training and implement the fundamental task of moral education. This paper explores the ideological and political teaching of the specialized course Complex Variables Function and Equations of Mathematical Physics of electronics specialties， and selects several major teaching contents， including integral of complex variable function， fourier transform and definite solution problem. Through the analysis of the teaching content， the scientific elements and ideological and political elements contained in these knowledge points are excavated， so that ideological education can be integrated into knowledge teaching. It can not only stimulate students interest in studying and cultivate their learning initiative， but also help them to establish correct outlook on life， values and world， so as to achieve the purpose of cultivating talents.

Key words： curriculum ideology and politics; complex variables function and equations of mathematical physics; integral of complex variable function; fourier transform; definite solution problem