化点为斜

范习昱 张海叶

摘 要：解析几何问题一般计算较为繁琐，究其根本原因是对参数的处理，而消参方法多样是困扰学生破解这类问题的主要因素.文章发现很多经典的解析几何综合问题都可利用一种通法消参，即“化点为斜”.

关键词：解析几何；消参；通法；“化点为斜”

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）07-0005-05

解析几何的本质思想是解析法或者叫坐标法，核心就是用代数计算的方法来处理各类几何问题，引入很多参数或变量是解析几何问题的常规操作，于是如何消参就显得格外重要.解析几何一般包含点的坐标和斜率、截距或者其他参变量.笔者整理很多相关资料，发现“化点为斜”是处理消参的一种通用方法，是破解教学难点和突破学生瓶颈的不二选择［1］.

所谓“化点为斜”就是利用一元二次方程根与系数的关系，通过代入消元或者作差消元或者其他方法，消去点的坐标而保留斜率参数的一种消参方法，它是一种处理解析几何综合问题的最为常见的消参通法.

下面笔者从几类经典的解析几何综合题加以分析.

1 弦的斜率问题，利用根与系数关系消参

解法1 过点A（0，1）且斜率为k的直线为y=kx+1.

代入椭圆方程中，消去y并整理，得

（1+4k2）x2+8kx=0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），则

整理，得

解法2 过点A（0，1）且斜率为k的直线为y=kx+1.

代入椭圆方程中，消去y并整理，得

（1+4k2）x2+8kx=0.

去分母，得

评析 斜率问题是直线和圆锥曲线综合问题中最为基本的一类问题，引入点的坐标和直线的斜率是这类问题的常规方法，也是学生很容易接受和上手的方法.例1的解法1中有三个点的坐标加上一个斜率共有7个变量，利用椭圆方程、直线方程和题目中的向量等式，消去这些点的坐标，从而得到斜率方程解出斜率；解法2考虑椭圆的弦有一个端点已知，根据联立后的一元二次方程特点，另一个端点M（x，y）的坐标（斜率表示）也就容易求得，适合于消参，问题得到解决［2］.

2 非斜率定值問题，保留斜率参数

（1）求椭圆C的方程；

（2）试探究M，N的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

解析 （1）由已知，A，B的坐标分别是Aa，0，B0，-b，由于△ABC的面积为3，

化简，得a=2b.②

①②两式联立解得

b=1或b=-3（舍去）.

所以a=2，b=1.

（2）设直线PQ的方程为y=kx+2，P，Q的坐标分别为Px1，y1，Qx2，y2，

则直线BP的方程为

（1+4k2）x2+16kx+12=0.

由一元二次方程根与系数的关系，得

评析 各类圆锥曲线的定值问题

是高考的一类热点问题，一般也要引入点的坐标和直线的斜率.例2（2）也有5个变量，将P，Q的坐标转化为斜率即“化点为斜”可以较容易地消去点的坐标参数，是这类问题的一种通用方法.

3 定点问题中消去点坐标

（2）将y=kx+b代入曲线C的方程，整理得

（1+4k2）x2+8kxb+4b2-4=0.

因为直线l与曲线C交于不同的两点P和Q，所以△=64k2b2-4（1+4k2）（4b2-4）=16（4k2-b2+1）>0.③

设Px1，y1，Qx2，y2，则

且y1·y2=（kx1+b）（kx2+b）

=（k2x1x2）+kb（x1+x2）+b2，

显然，曲线C与x轴的负半轴交于点

A-2，0，

（x1+2）（x2+2）+y1y2=0.⑤

将④⑤代入上式，整理，得

12k2-16kb+5b2=0.

所以（2k-b）·（6k-5b）=0.

经检验，都符合条件③.

评析 例3是一类有关向量条件下的定点问题，也是高考中圆锥曲线综合问题的热点问题.解决定点问题，一般采用设点法化简有关向量等式或其他的条件，然后联立直线和曲线方程利用根与系数的关系探讨定值或定点取得的条件，从而求出定点，运算对学生的要求很高，难度也较大.我们依然也可以“化点为斜”消参求解［3］.

4 最值问题保留斜率为主变量

例4 如图3，过抛物线C：x2=2py（p>0）的焦点F的直线交C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，且x1x2=-4.

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）R，Q是C上的两动点，R，Q的纵坐标之和为1，R，Q的垂直平分线交y轴于点T，求△MNT的面积的最小值.

由题意设x1，x2是方程两根，所以

x1x2=-p2=-4.

所以p=2.

所以抛物线的标准方程为x2=4y.

（2）设R（x3，y3），Q（x4，y4），T（0，t），因为T在RQ的垂直平分线上，所以TR=TQ.

得x23+（y3-t）2=x24+（y4-t）2.

因为x23=4y3，x24=4y4，

所以4y3+（y3-t）2=4y4+（y4-t）2.

即4（y3-y4）=（y3+y4-2t）（y4-y3）.

所以-4=y3+y4-2t.

因此当k=0时S△MNT有最小值3.

评析 例4是圆锥曲线综合问题中的最值问题，也是非常常见的.其中参变量多达6个，对于线段长度和面积的处理依然可以运用“化点为斜”这一通法来消参化解.

5 圆锥曲线其他综合问题

（2）将y=kx+4代入双曲线C的方程并整理，得（3-k2）x2-8kx-19=0.

当3-k2=0时，直线与双曲线C只有一个交点，不合题意，故3-k2≠0.

解得k2=4，验知△>0， 所以k=±2.

所以所求点Q的坐标是（±2，0）.

解法2 利用根与系数的关系，但是考虑结论中涉及的λ1+λ2怎样用k表示，上述解法改进后如下：

解得k2=4，验知△>0.

所以k=±2.

故所求点Q的坐标是（±2，0）.

评析 例5中的参数多达5个，通过坐标表示参数，最终还是可以化归为斜率的表达式或者方程不等式，最后利用一元二次方程根与系数的关系化简获得求解.

6 结束语

解析几何综合问题由于计算量较大，对学生的运算能力提出了很高的要求，很多学生都难以越过这道鸿沟.由于方法多思路广，一般传统的讲解是很难突破的.从以上几道经典的案例中，我们不难发现，“化点为斜”可以作为解析几何综合问题的一种消参通法，参数少了，这类问题一般都可以迎刃而解.

参考文献：

［1］范习昱.例谈简化平面解析几何运算的几种“优先策略”[J].中学数学研究（华南师范大学版）， 2019（13）：8-11.

[2] 范习昱.例析解几中面积问题的几种题型[J].高中数学教与学， 2019（17）：12-15.

[3] 范习昱.例析解析几何中有关线段长度问题的几种典型处理策略[J].数理化解题研究， 2020（01）：13-17.