2023年全国甲卷理科导数压轴题的解法探究

摘 要：从不同的角度对2023年高考全国甲卷理科数学导数压轴题进行探究，并给出五种解法，每种解法后面的评析都剖析了解题思路.

关键词：2023年高考；全国甲卷；导数；三角函数

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）07-0049-04

2023年高考全国甲卷理科数学第21题是三角函数与导数的综合，难度很大.很多考生反映在做这道题时，没有解题思路或者运算量太大做不了.下面笔者结合自己的教学实践给出五种不同的解法，并剖析每种解法的解题思路.

1 真题再现

（1）当a=8时，讨论函数f（x）的单调性；

（2）若f（x）＜sin2x，求a的取值范围.

2 解法探究

2.1 第（1）问解析

则f ′（x）=a-3t2+2t=g（t）.

当a=8时，g（t）=2-t3t+4，

2.2 第（2）问解析

解法1 设g（x）=f（x）-sin2x，

g′（x）=f ′（x）-2cos2x

所以h（t）在（1，+∞）内单调递减.

所以h（t）

②若a∈（3，+∞），则h（1）=a-3>0，

当t∈1，t0时，h（t）>0，即当x∈0，x0时，g′（x）>0，g（x）单调递增.

故当x∈0，x0时，g（x）>g（0）=0，不合题意.

综上所述，a的取值范围为（-∞，3］.

评析 解法1中对g′（x）进行换元，使超越函数变成了有理函数，函数式变得非常简洁，极大地简化了运算.而对g′（x）换元后所得的h（t）再次求导，弄清了h（t）的单调性，解题方向也变得明朗化.后面在a∈（3，+∞）的情况中，由于h（1）=a-3>0，也就是g′（0）>0，应该想到g（0）=0，则g（x）在0的右邻域内是不能递增的，所以此时应该不合题意.但怎么说清楚这一点要注意方法，这里用放缩法得到了h（t）<0，再由零点存在定理确定h（t）存在零点，避免了用高等数学知识，很符合高中学生的情况.

综上所述，a的取值范围是-∞，3.

中隐藏的各种有用信息是找到好的解法的关键.

当且仅当cosx=1时等号成立.

即g（x）＜0的必要条件是a≤3.

下面证明a≤3是g（x）＜0的充分条件.

综上所述，a的取值范围是（-∞，3］.

故g（x）>g（0）=0.

于是a≤3.

即a的取值范围是（-∞，3］.

h′（x）=4sinx（sinx-xcosx）.

k′（x）=cosx-cosx+xsinx=xsinx＞0，

故k（x）＞k（0）=0.于是h′（x）＞0.

故h（x）＞h（0）=0.于是g′（x）＞0.

于是a≤3，即a的取值范圍是（-∞，3］.

3 结束语

本题是三角函数与导数的综合，作为压轴题，难度很大，彰显了综合性要求.高考数学试题的综合性，一方面是数学学科内部各个主题的相互综合，另一方面是数学学科和其他学科的综合.本题将导数与三角函数巧妙地结合起来，通过对导函数的分析，考查函数的单调性、极值等相关问题，通过导数、函数不等式等知识，深入考查分类讨论的思想，化归与转化的思想.

参考文献：

［1］张君，李武学.2022年全国甲卷导数题的多解、变式与溯源[J].数理化解题研究，2022（22）：75-78.