强传递的新特征

汪 丹,张更容,2*

(1.广西大学 数学与信息科学学院,广西 南宁 530004;2.湖南第一师范学院 数学与计算科学学院,湖南 长沙 410205)

考虑动力系统(X,f),其中X为紧致空间,f:X→X是连续映射.点x在f的作用下的轨迹由序列x,f(x),f2(x),f3(x),…组成,fn(x)表示f的n次迭代,记作Of(x)=∪n∈N{fn(x)}.称(x)=∪n∈N{f-n(x)}为点x的负轨道.若对X中的任意一对开子集U和V,有N(U,V)≠∅成立,其中N(U,V)={n∈N:fn(U)∩V≠∅}={n∈N:U∩f-n(V)≠∅}且N 表示正整数集,称这样的系统是传递的.可以看出拓扑传递系统具有一些点,这些点从一个任意的开集最终移动到另外一个开集,也就是说具有这样性质的动力系统不能被分解成两个内部非空的不相交集.Akin等[1]定义了强传递的概念,即若对X中任意的非空开集U,有∪∞n=1fn(U)=X成立,就称(X,f)是强传递的,并研究相应的动力学性质.Lian等[2]证明了每一个非周期遍历系统都有两个拓扑弱混合的全支撑模型.Cao等[3]证明如果一个极小系统是拓扑中混合的,那么它是沿着多项式上所有阶的拓扑中混合的.李瑞佳等[4]证明强传递集是严格强于传递集的,两个强传递的并是强传递的.冀占江等[5]在强一致收敛条件下研究序列映射和极限映射之间关于渐近周期性和逐点跟踪性的关系.Li等[6]通过在一定条件下得到系统为拓扑传递、拓扑遍历和拓扑混合等较强形式的充分必要条件.Barragan等[7]研究当系统是拓扑弱混合、exact、ω-传递时对应的等价条件.近些年来对离散动力系统的研究成了一个热点,该系统在研究化学、生物学、经济学等学科的模型问题时起着非常重要的作用.

对动力系统而言,若能清楚地把握集合和集合之间、集合和点之间的关系,将会对动力学性状的研究有很大的帮助,因此族的方法在这其中起到了重要的作用.(X,f)是一个动力系统,F是一个Furstenberg族,且为Z的子集的集合,具有向上遗传性.集合A={an:a1＜a2＜…}⊂Z+被称为syndetic的,是指它具有有界的间距,即存在N＞0,使得对任意的i∈Z+,有ai+1-ai＜N.记全体的syndetic集为Fs[8].

Al-omari等[9]引入了一类叫N-开集的新集合:A是空间X中的子集,对于A中的任意点x,若存在Χ中的一个包含点x的开子集Ux,使得Ux-A是一个有限集,则称集合A为N-开集;证明了所有的N-开集族形成一个拓扑结构.包含在一个子集U中的所有N-开集的并称为集合U的N-内部,记为UoN.N-开子集的补集称为N-闭子集.容易看出任意开集都是N-开集,但是任意N-开集不一定是开集.映射f:X→Y称为连续映射,若对于Y中任意开集V,f-1(V)是X中的开集.若对于Y中任意开集V,f-1(V)是X中的N-开子集,则称f是N-连续的[9];若对于Y中任意N-开集V,f-1(V)是X中的N-开子集,则称f为N*-连续的[10].任意的连续映射一定是N-连续的,但逆命题不成立;任意的N*-连续映射一定是N-连续的,但是N-连续的不一定是N*-连续的.Hussein[11]运用N-开集给出了N-传递的概念:X是紧致度量空间,f:X→X是一个连续映射,映射f称为N-传递的,若对于X中的任意N-开子集U和V,存在n≥0,使得fn(U)∩V≠∅.容易看出任意的N-传递映射都是传递映射,但是不是所有的传递映射都是N-传递的.并证明了与其等价的其他定义.

论文首先给出一个命题,证明在紧致度量空间中,Hussein[11]给出的N-传递和传递是等价的,并举出例子说明在一般的紧致拓扑空间中N-传递和传递是不等价的;再利用N-开集给出关于拓扑强传递、拓扑极小性、拓扑混合性等的新定义,证明一系列等价命题;推广了拓扑动力系统在弱开集下的一些新的动力学性质.

定理1(X,f)是一个动力系统,下面命题是等价的:

(1)(X,f)是强N-传递;

(2)对于X中的任意点x和任意非空N-开集U,存在n∈N,使得x∈fn(U)成立;

(3)对于X中的任意点x和任意非空N-开集U,集合N(U,x)是一个无限集.

定理2(X,f)是一个动力系统,则下列命题等价:

(1)(X,f)是N-极小的;

(2)对X中的任意点x和任意非空N-开子集U,存在n∈N,使得fn(x)∈U;

(3)对X中的任意非空N-开子集U,

当映射f是N*-连续的,(4),(5),(1)等价:

(4)对X中的任意非空N-开子集U,存在m∈N,使得

(5)对X中的任意点x和任意非空N-开子集U,集合N(x,U)∈Fs.

当映射f是N*-闭映射,(6),(7),(1)等价:

(6)若E是X中的非空的N-闭的正不变子集,则E=X;

(7)若E是X中的非空的N-闭的弱负不变子集,则E=X.

定理3令π:(X,f)→(Y,g)是动力系统的一个N-因子映射:(1)若(X,f)是强N-传递,超强N-传递或者强乘积N-传递的,则(Y,g)也满足相关的性质;(2)假设π是几乎一对一的,若(Y,g)是超强N-传递的,则(X,f)也是超强N-传递的.

1 主要结果

命题1在紧致度量空间中,N-开集和开集是等价的.

证明显然开集一定是N-开集,所以只需要证明在紧致度量空间中N-开集也是开集的即可.令X是紧致度量空间,A是N-开集.由N-开集的定义有,对任意的x∈A,存在X中的开集Ux,使得Ux-A是有限集.在紧致度量空间中,有限集为闭集,所以Ux-A是闭集,记Bx=Ux∩A,所以Bx=Ux-(Ux-A)=Ux∩(Ux-A)c,即Bx为开集.又因为x∈Bx,Bx⊆A,所以x是A的内点.由x的任意性,可知A是开集.综上所述,可得在紧致度量空间中,N-开集和开集是等价的.

该命题说明Hussein[11]所给出的N-传递和传递是等价的,接下来举例说明在一般的紧致拓扑空间中N-传递和传递是不等价的.论文中的问题都是在紧致拓扑空间下讨论,除非有特别说明.

例子令X={a,b,c},X中的拓扑τ={∅,{a,b},{a,b,c}}.将映射f定义为f(a)=a,f(b)=b,f(c)=c.对N-开集{a}和{b},任意的n∈N,fn({a})∩{b}=∅,所以f不是N-传递的,但是明显是传递的.

引理1[9]对于空间X,有下列命题等价:

(1)X为紧致空间;

(2)X的任意N-开覆盖有有限子覆盖.

定义1X是紧致空间,f:X→X是一个连续映射.映射f称为强N-传递的,若对于X中的任意非空N-开子集U,有成立.容易看出,任意的强N-传递映射都是强传递的,但是任意的强传递映射不一定是强N-传递映射的.下面的结论是对强N-传递给一些等价条件.

定理4(X,f)是一个动力系统,下面命题是等价的:

(1)(X,f)是强N-传递;

(2)对于X中的任意点x和非空N-开集U,存在n∈N,使得x∈fn(U)成立;

(3)对于X中的任意点x和非空N-开集U,集合N(U,x)是一个无限集.

证明(1)⇒(2).因为f是强N-传递的,由强N-传递的定义,对于X中的任意非空N-开子集U,有∪∞n=1fn(U)=X成立.所以对于X中的任意点x和非空N-开子集U,存在n∈N,使得x∈fn(U).

(2)⇒(3).对于X中的任意点x和非空N-开子集U,存在n1∈N,使得x∈fn1(U),即存在y∈U且fn1y=x,同样能推出存在n2∈N,y∈fn2(U),有z∈U,fn2(z)=y,则fn1+n2(z)=x,即n1+n2∈N(U,x).综上所述得集合N(U,x)是一个无限集.

(3)⇒(1).由(3),有N(U,x)≠∅,即对于X中的任意点x和非空N-开子集U,存在n∈N,使得x∈fn(U),由x的任意性可得

比强传递性更强的是超强传递性.同样地,可以利用N-开集定义超强N-传递的概念并考虑X中的点x和N-开子集之间的关系.

定义2X是紧致空间,映射f称为超强N-传递的,若对于X中的任意非空N-开子集U,存在M∈N,使得成立.任意超强N-传递都是超强传递的,但是反过来不一定成立.

定理5(X,f)动力是拓扑系统,下列命题等价:

(1)(X,f)是超强N-传递的;

(2)对于X中的任意非空N-开子集U和点x,集合N(U,x)∈Fs.

证明(1)⇒(2).由超强N-传递的定义,对于X中的任意非空N-开子集U和点x,存在M∈N,使得.容易看出对任意的k∈N,.因此对任意的x∈X,集合N(U,x)相交于N中任意长度为M的区间.

(2)⇒(1).由N(U,x)∈Fs,有N∈N.对任意的i∈Z+,使得{i,i+1,…,i+N}∩N(U,x)≠∅,显然存在k∈{1,…,N},有x∈fi+k(U).当i=0,存在x'∈U且fk(x')=x,因此).由x的任意性,有

动力系统中,极小系统是一类特殊的传递系统.对应的若要研究N-极小性,首先介绍一些基本概念.U为X中的子集,当f(U)⊂U时,称子集U是正不变子集;f-1(U)⊂U时,称U是负不变的;f(U)=U时,称U为不变的[12];U⊂f(U)时,称U是弱负不变的[1].

定义3映射f:X→Y是N*-闭映射的,若对X中任意的N-闭子集A,f(A)是Y中的N-闭子集.

命题2设X是紧致拓扑空间,f是N*-闭映射,集合U是非空N-闭子集.若U又是正不变或弱负不变的,则U包含一个非空的不变的N-闭集;若U是负不变的,则它包含一个N-闭的非空负不变或不变子集.

证明当U是非空的正不变N-闭集时,令U0=U,Un=fn(U),这是由f(Un)=Un+1组成的递减序列.由f是N*-闭映射,对任意的n∈N,Un+1是N-闭集,即是非空N-闭集.所以,对任意的y∈f(B),存在x∈B,使得y=f(x),即存在n∈N,使得x∈fn(U),y=f(x).所以y∈fn+1(U)=Un+1⊂B,可得f(B)⊂B,即B是正不变的;再证B是弱负不变的.因为U1⊃U2⊃U3⊃…,所以,得到对任意的y∈B和n≥2,有y∈Un,即存在x∈U,对任意的n≥2,有y=fn(x).记y0=fn-1(x),则y0∈B且f(y0)=y,所以有y∈f(B),即B⊂f(B).综上所述,B为非空N-闭不变的.

当U是弱负不变的时,令U0=U,Un=Un-1∩f-1(Un-1),这是由f(Un)=Un-1组成的递减序列,任意的Un-1是N-闭集.再令,用上述同样的证明可知C为非空的N-闭集.

当U是负不变的时,令U0=U,Un=f-1(Un-1),这是由f(Un)=Un-1组成的非空N-闭子集组成的递减序列.同样令,得到A为非空的N-闭不变子集.又因为=A,有f-1(A)⊂A,所以A也是负不变集.

定义4动力系统(X,f)称为N-极小的,如果X中没有非空的不变的N-闭真子集;若子系统(Y,g)是N-极小的,则子集Y叫做X的N-极小集,N-极小集中的点称为N-极小点.

注若系统(X,f)是N-极小的,则对任意非空闭集V,V也是非空N-闭集,于是V不是不变的,从而说明N-极小的系统一定是极小系统.

定理6(X,f)是一个动力系统,则下列命题等价:

(1)(X,f)是N-极小的;

(2)对X中的任意点x和任意非空N-开子集U,存在n∈N,使得fn(x)∈U;

(3)对X中的任意非空N-开子集U,

当映射f是N*-连续的,(4),(5),(1)等价:

(4)对X中的任意非空N-开子集U,存在m∈N,使得

(5)对X中的任意点x和任意非空N-开子集U,集合N(x,U)∈Fs.

当映射f是N*-闭映射,(6),(7),(1)等价:

(6)若E是X中的非空的N-闭的正不变子集,则E=X;

(7)若E是X中的非空的N-闭的弱负不变子集,则E=X.

证明(1)⇒(2).因为(X,f)是N-极小的,N-极小是极小的,所以对任意的x∈X,Of(x)=是稠密的.又因为稠密集与任意非空N-开子集相交非空[11],所以对任意的x和任意的N-开子集U,存在n∈N,使得fn(x)∈U.

(2)⇒(1).利用反证法,若(X,f)不是N-极小的,则在X中存在一个不为X的非空的不变N-闭子集V,取非空N-开子集U且U∩V=∅,当x∈V时,对任意的n∈N,都有fn(x)∈V,即fn(x)∉U,矛盾,所以(X,f)是N-极小的.

(2)⇒(3).由(2)知,对X中的任意点x和非空N-开子集U,存在n∈N,使得x∈f-n(U),由点x的任意性,可得

(3)⇒(2).对任意的x∈X,存在n∈N,使得x∈f-n(U),即fn(x)∈U.

当f是N*-连续,有

(3)⇒(4).因为f是N*-连续的,故对任意的n,f-n(U)是N-开集.于是U,f-1(U),f-2(U)…是一组由N-开集构成的覆盖.由引理1知,存在m∈N,使得

(4)⇒(5).对X中的任意非空N-开子集和点x,存在m∈N,使得,则对任意的j∈N,有,即{j,j+1,…,j+m}∩N(x,U)≠∅,所以N(x,U)∈Fs.

(5)⇒(2).这是显然的.

当映射f是N*-闭映射,有(1)⇒(6)和(1)⇒(7).因为E是X中的非空N-闭正不变子集,由命题2知E包含一个非空的不变N-闭集.又因为E=X,所以(X,f)是N-极小的.当E是X中的非空N-闭的弱负不变子集时,由命题2知E包含一个非空的不变N-闭集.同理可知,(X,f)是N-极小的.

推论若(X,f)是N-极小的,且f是N*-连续的,则f是超强N-传递的.

证明(X,f)是N-极小的且U是非空N-开子集,存在W∈N,使得.将fW+1作用在两边,得到,则f是超强N-传递的.

混合系统是一类具有较强回复属性的传递系统.在拓扑空间X中,子集A称为是ε稠密的,若它相交于X中的任意ε开球.为研究N-开集下的混合系统的性质,先给出εN-开集的定义.

定义5把包含点x的N-开集的集合称为点x的N-邻域,当N-邻域的直径为2ε时,称这个邻域为εN-开集.

引理2令X为紧致度量空间,A为X中的子集,则A是ε稠密的当且仅当对任意的εN-开集U,有A∩U≠∅.

证明令A是ε稠密子集,则对X中的任意ε开球V,A∩V≠∅.U是一个εN-开子集,若A∩U=∅,则存在x∈U且x∉A.又因为U是εN-开集的,所以存在X中的开集Ux,使得开球x∈Ux,推出Ux∩A=∅,这与A是ε稠密子集相矛盾,所以A∩U≠∅.

反过来,若A不是ε稠密的,则存在ε开球V,使得A∩V=∅.因为任意的ε开球都是εN-开集,所以这与条件相矛盾.

定义6(X,f)是动力系统,若乘积系统(X×X,f×f)是拓扑N-传递的,则称映射f为N-弱混合.

引理3[9]在拓扑空间中,N-开集和开集的交仍是N-开集.

定理7(X,f)是动力系统,映射f是N*-连续的,下列命题等价:

(1)(X,f)是弱N-混合的;

(2)对X中的非空的两个N-开子集U和V,存在n∈N,使得f-n(U)∩U≠∅且f-n(U)∩V≠∅;

(3)对任意的n∈N,乘积系统(Xn,f(n))是N-传递的.

特别地,当X还是度量空间时,(4)和上述命题等价:

(4)X中的任意非空N-开子集U,对于任意的ε＞0,存在n∈N,使得f-n(U)在X是ε稠密的.

证明(1)⇒(2).根据弱N-混合的定义,对X×X中的任意非空N-开子集,有N(U×V,U×U)≠∅,即N(U,U)∩N(V,U)≠∅,所以存在n∈N,使得f-n(U)∩U≠∅且f-n(U)∩V≠∅.

(2)⇒(1).设A,B,C,D为X中的非空N-开子集,那么存在n1,n2∈N,有E=A∩f-n1B≠∅,F=f-n1C∩f-n2E≠∅.由引理3可知E,F都是N-开子集,所以存在n3∈N,使得F∩f-n3F≠∅,D∩f-n3F≠∅.再令n=n2+n3,有f-n1(f-nB∩C)⊃f-(n1+n)B∩f-nA∩f-n1C⊃f-nE∩F⊃f-n3F∩F≠∅,即f-nB∩C≠∅.还有f-nA∩D⊃f-(n1+n)B∩f-nA∩D=f-nE∩D⊃f-n3F∩D≠∅.即f-nA∩D≠∅,所以有N(C,B)∩N(D,A)≠∅.

(1)⇒(3).对X中任意的非空N-开子集U1,V1,U2,V2.由弱N-混合的定义,存在m∈N,使得m∈N(U1,U2)∩N(V1,V2).令A=U1∩f-mU2,B=V1∩f-mV2,对任意的k∈N(A,B),有

则U1∩f-kV1≠∅且U2∩f-kV2≠∅,即N(A,B)⊂N(U1,V1)∩N(U2,V2).显然,(Xn,fn)是N-传递.

(3)⇒(1).当n取2时显然成立.

(3)⇒(4).令{Vj}是X的开覆盖,j=1,…,k且Vj是半径为ε/2的开球,因为(Xk,fk)是N-传递的,则存在n∈N,使得对任意的非空N-开子集U,有n∈N(V1,U)∩N(V2,U)∩…∩N(Vk,U),即f-n(U)∩(Vj)≠∅,i=1,2,…,k,由引理2知f-n(U)是ε稠密的.

(4)⇒(2).选择足够小的ε＞0,使得N-开子集U和V都能包含ε球,得到(2).

定义7(X,f)被称为强乘积N-传递的,若对于任意的正整数k,乘积系统(Xk,f(k))是强N-传递的.

定理8动力系统(X,f),下列命题等价:

(1)系统(X,f)是强乘积N-传递的;

(2)N的子集族{N(U,x):x∈X且U是X中的N-开子集}有有限交性质.

证明(1)⇒(2).根据强乘积N-传递的定义,对X中的任意的非空N-开子集{U1,U2,…,Uk}和点{x1,x2,…,xk},有N(U1×U2×…×Uk,x1×x2×…×xk)≠∅,则

(2)⇒(1).令x=(x1,x2,…,xk)属于Xk中的点,U和Uj都是X中的非空N-开子集,其中j∈{1,2,…,k}且U包含U1×U2×…×Uk,则

定义8(X,f)和(Y,g)是拓扑动力系统.若存在N*-连续的满射π,使得π◦f=g◦π,则π:(X,f)→(Y,g)称为N*-因子映射,(Y,g)称为(X,f)的N*-因子,(X,f)称为(Y,g)的N*-扩充.

定义9[13]对于连续映射f:X1→X2,定义内射子集Injf={x∈X1:f-1(f(x))=x},当Injf在X中稠密时,映射f为几乎一对一的.

定理9(1)令π:(X,f)→(Y,g)是动力系统的一个N*-因子映射.若(X,f)是强N-传递、超强N-传递或者强乘积N-传递的,则(Y,g)也满足相关的性质;

(2)假设π是几乎一对一的,若(Y,g)是超强N-传递的,则(X,f)满足相关性质.

证明(1)若(X,f)是强N-传递的,则对Y中的任意非空N-开子集U,π-1(U)是X中的N-开子集,所以,有

则(Y,g)是强N-传递的.若(X,f)是强乘积N-传递的,记U是Xk中的非空N-开子集,若(X,f)是超强N-传递的,对于足够大的m,将,并将,可同样去证明.

(2)假设π是几乎一对一的,U是X中的N-开子集.令A是有非空内部的N-闭子集,x∈AoN∩Injπ,因为π在x是N-开的,则存在N-开集V,使得V⊂π(AoN)且包含π(x).若(Y,g)是超强N-传递的,则存在正整数m,,因此.又因为是N-闭的,所以

即(X,f)是超强N-传递的.