带分布时滞的三阶Emden-Fowler型方程的振动性

林文贤

(韩山师范学院 数学与统计学院,广东 潮州 521041)

论文将考虑一类带分布时滞的三阶广义Emden-Fowler型微分方程

(H1)0＜α≤1,β＞0,γ＞0,α,β,γ均为奇正整数之商;

(H2)r(t)∈C1([t0,∞),[0,∞)),r'(t)≥0,q(t,ξ)∈C([t0,∞)×[c,d],(0,∞));

泛函微分方程的振动理论在控制工程、通信工程、机械工程、生物医学和力学等领域有着广泛的应用[1].文献[2-7]研究如下一类具有三阶Emden-Fowler微分方程

文献[8]研究具分布时滞的三阶方程

的振动性与渐近性.

文献[9]考虑半线性中立型三阶方程

其中:f(x)/xα≥δ＞0,x≠0,α≥1是两个正奇数之比.在条件之下,得到该方程每个解振动或趋向于零的Phios条件,并提出公开问题:寻找该方程在非正则条件下,上述结论依然成立的充分条件.

受以上系列文献的启发,论文将继续文献[10]的研究,将利用广义Riccati变换以及各种不等式技巧,考虑方程(1)在非正则条件

成立的情形下,建立方程(1)振动的一些新的振动定理,进一步完善和加深对该方程振动性的研究,拓宽该类方程在天体物理、流体力学和生命科学等方面的应用范围.

1 主要结果

引理1[11]若存在θ＞0,A＞0,B＞0,有

引理2[11]设0＜λ≤1,则

(1)Xλ+Yλ≤21-λ(X+Y)λ,X,Y为非负实数;

(2)(1+X)λ≤1+λX,其中1+X＞0.

引理3[12]设z(t)＞0,z'(t)＞0,z″(t)＞0,z‴(t)＜0,t≥t0,则存在η∈(0,1)和tη＞t0,使得

引理4[13]设函数z(t)满足z(i)(t)＞0,i=1,2,…,k,且z(k+1)(t)≤0,则)最终成立.

引理5设x(t)是方程(1)的最终正解,则z(t)只有下列3种可能:

(I)z(t)＞0,z'(t)＞0,z″(t)＞0;

(II)z(t)＞0,z'(t)＜0,z″(t)＞0;

(III)z(t)＞0,z'(t)＞0,z″(t)＜0.

证明设x(t)是方程(1)的最终正解,则存在t1≥t0,使得当t≥t1时,有x(t)＞0,x(τ(t,μ))＞0,x(δ(t,ξ))＞0,μ∈[a,b],ξ∈[c,d].易知z(t)＞x(t)＞0,且

故函数r(t)(z″(t))β是减函数,且最终定号,有z″(t)＞0或z″(t)＜0,t≥t1.如果z″(t)＜0,则z'(t)非增且定号.若令z″(t)＜0和z'(t)＜0,t≥t1,得到当t→∞时,必有z(t)→-∞,此与z(t)最终为正矛盾.从而证明z(t)只可能有上述3种情况.

引理6设x(t)是方程(1)的最终正解,z(t)满足引理5情形(III),则

证明由z(t)的定义,引理5条件(III),(H3),(H4)及引理2可得

由引理5条件(III)知,z(t)＞0,z'(t)＞0,于是z(δ(t,c))≥z(δ(t1,c)),t≥t1.记z(δ(t1,c))=k＞0,则z(δ(t,c))≥k,t≥t1,因而

从而式(7)成立.

则方程(1)的所有解振动或收敛于零.

证明用反证法.设方程(1)有非振动解x(t).不失一般性,设x(t)最终为正,由引理5,z(t)只可能有(I),(II)和(III)3种情形.

首先,设z(t)满足引理5情形(I),此时由文献[10]中定理1(即定理A)的证明可产生与式(2)矛盾,即方程(1)的所有解振动.

其次,设z(t)满足引理5情形(II),由文献[10]中定理1的证明和式(3)可得

最后,设z(t)满足情形(III),即z(t)＞0,z'(t)＞0,z″(t)＜0,(r(t)(z″(t))β)'≤0.因而由引理6,式(7),有

引进函数

则v(t)＞0,t≥t1.对式(10)求导并利用(9),有

由引理4,得到z(t)≥tz'(t),t≥t1,则当δ(t,c)＞t1时,有z(δ(t,c))≥δ(t,c)z'(δ(t,c)).又由于z(t)满足引理5情形(III)且δ(t,c)≤t,于是z'(δ(t,c))≥z'(t),有

将式(12)代入(11),有

当β≥γ时,非减,故存在常数K1＞0和充分大的t2,使得

由式(10),(13),有

当γ≥β时,函数非减,故存在常数K2＞0和充分大的t3,使得

此时,式(14)可以写成

联合式(14),(15),有

其中:λ=max{β,γ},K=min{γK1,γK2}.

又由式(6)可知,r(t)(z″(t))β非增,存在T≥t3,使得

从t到l对式(17)积分,有

因而

联合式(10),(18),有

当β≥γ时,(z'(t))β-γ非增,故存在常数l1＞0,使得

由式(18),有

当γ≥β时,上式左端函数非增,故存在常数l2,使得

由式(19),(20),有

其中:λ=max{β,γ},L0=l1+l2.

将πλ(t)乘式(16)且从T到t积分,并利用分部积分法和式(21),有

利用引理1,取A=λ,B=Kπ(s),则式(22)为

显然式(24)与式(8)矛盾,故方程(1)的所有解振动或收敛于零.

2 实 例

考虑下列三阶中立型微分方程

故式(8)成立.因此由定理1得,方程(25)的所有解振动或收敛于零.

注由于实例中的,因而文献[10]中的定理不适用于方程(25).