有关奇完全数不存在性的若干刻画

张四保,姜莲霞

(喀什大学 数学与统计学院,现代数学及其应用研究中心,新疆 喀什 844000)

令Z+为正整数集合,若n∈Z+适合关系式σ(n)=2n,则n被称为完全数,其中σ(n)表示为n的一切正因数的和函数.完全数是数论研究中的一个既重要又极具挑战性的研究课题,到目前为止只发现51个偶完全数,是否存在无穷多个偶完全数以及是否存在奇完全数依然是未解决的问题[1].因而研究奇完全数的存在性已成为完全数研究领域中一项重要的工作.

奇完全数的存在性问题虽未得到解决,但也得到了不少研究结果.对于奇完全数的研究,Euler证明了:若n是一奇完全数,则,其中π与qi为互异的奇素数,i=1,2,…,k,且π≡α≡1(mod4).对于形如的奇正整数,文献[2]证明:当α1≡α2≡…≡αk≡1(mod3)时,n不是奇完全数.对于形如的奇正整数,文献[3]证明:当α1≡α2≡…≡αk≡2(mod5)时,n不是奇完全数.文献[4]证明:对于形如的奇正整数,当3|n,若α1≡α2≡…≡αk≡38(mod77),则n不是奇完全数.对于形如的奇正整数,文献[5]讨论奇完全数的Euler因子和非Euler因子的性质,给出几类正整数不是奇完全数的条件.文献[6]给出形如3m-1的奇正整数不是完全数的结论.文献[7]讨论形如5m-1的正奇数是否是奇完全数的问题,给出其不是完全数的若干条件.文献[8]讨论形如6m+5的正整数都不是完全数的结论.文献[9]讨论形如7m-1的奇正整数是否是完全数的问题,给出其不是完全数的条件.文献[10]利用初等方法证明:当2ab,m≡2(mod4)与当2|ab,m≡1(mod2),则对于任意正整数n＞log2log2log2a时,正整数不是奇完全数,其中gcd(a,b)=1.对于形如n=a2x+b2x的奇正整数,a,b,x适合a＞b,gcd(a,6)=1,2|ab,文献[11]证明:当x＞log2log2log2a时,n不是奇完全数.

文献[12]探讨形如4m+1的奇正整数是否为完全数问题,给出其在σ(πα)≡2(mod8)条件下不是完全数的一些命题.论文将在文献[12]的研究基础上,讨论形如4m+1的奇正整数是否为完全数问题,给出其在σ(πα)≡6(mod8)的条件下不是完全数的相关结论.注:下文qi均指奇正整数n的素因数.

1 几个基本引理

引理1[12]设是奇正整数n的标准分解式,则:

当qi≡1(mod8)时,有

当qi≡3(mod8)时,有

当qi≡5(mod8)时,有

当qi≡7(mod8)时,有

其中:π≡α≡1(mod4).

2 主要结论及其证明

定理1对于4p+1形的奇正整数

在σ(πα)≡6(mod8)条件下,若qi适合qi≡1(mod8),且qi对应的指数2αi适合αi≡0,2(mod4),则n不是完全数,i=1,2,…,k.

证明当qi适合qi≡1(mod8),且qi对应的指数2αi适合αi≡0(mod4)时,i=1,2,…,k,由引理1,有

由引理2可知,当σ(πα)≡6(mod8)时,有

当qi适合qi≡1(mod8),且qi对应的指数2αi适合αi≡2(mod4)时,i=1,2,…,k.由引理1,有

由引理2可知,当σ(πα)≡6(mod8)时,有

定理2对于4p+1形的奇正整数

在σ(πα)≡6(mod8)条件下,若qi适合qi≡5(mod8),且qi对应的指数2αi适合αi≡0,2(mod4),则n不是完全数,i=1,2,…,k.

定理3对于4p+1形的奇正整数,在σ(πα)≡6(mod8)条件下,若适合qi≡1(mod8),且qi(其对应的指数2αi适合αi≡1,3(mod4))的个数同为偶数时,则n不是完全数,i=1,2,…,k.

证明由引理1可得,若适合qi≡1(mod8),且qi(其对应的指数2αi适合αi≡1,3(mod4))的个数同为偶数时,有

定理4对于4p+1形的奇正整数

在σ(πα)≡6(mod8)条件下,若适合qi≡5(mod8),且qi(其对应的指数2αi适合αi≡1,3(mod4))的个数同为偶数时,则n不是完全数,i=1,2,…,k.

定理5对于4p+1形的奇正整数

在σ(πα)≡6(mod8)条件下,若适合qi≡1(mod8),且qi(其对应的指数2αi适合αi0(mod4))的个数同为奇数时,则n不是完全数,i=1,2,…,k.

证明由引理1可得,若适合qi≡1(mod8),且qi(其对应的指数2αi适合αi0(mod4))的个数都为奇数个时,有

定理6对于4p+1形的奇正整数

在σ(πα)≡6(mod8)条件下,若适合qi≡5(mod8),且qi(其对应的指数2αi适合αi0(mod4))的个数同为奇数时,则n不是完全数,i=1,2,…,k.

定理7对于4p+1形的奇正整数

在σ(πα)≡6(mod8)条件下,若qi适合qi≡3(mod8),则n不是完全数,i=1,2,…,k.

证明由引理1可得,若qi适合qi≡3(mod8),有

推论1若4p+1形的奇正整数是完全数,则在σ(πα)≡6(mod8)条件下,qi不能全部适合qi≡3(mod8),i=1,2,…,k.

定理8对于4p+1形的奇正整数

在σ(πα)≡6(mod8)条件下,当qi有适合qi≡1(mod8)也有适合qi≡5(mod8)的素因数,若适合qi≡1(mod8)且qi(其对应的指数2αi适合αi≡1,3(mod4))的个数同为偶数,适合qi≡5(mod8)且qi(其对应的指数2αi适合αi≡1,3(mod4))的个数同为偶数,则n不是完全数,i=1,2,…,k.

证明由引理1可得,适合qi≡1(mod8)且qi(其对应的指数2αi适合αi≡1,3(mod4))的个数同为偶数,适合qi≡5(mod8)且qi(其对应的指数2αi适合αi≡1,3(mod4))的个数同为偶数,有

定理9对于4p+1形的奇正整数

在σ(πα)≡6(mod8)条件下,当qi有适合qi≡1(mod8)也有适合qi≡5(mod8)的素因数,若适合qi≡1(mod8)且qi(其对应的指数2αi适合αi≡1,3(mod4))的个数同为奇数,适合qi≡5(mod8)且qi(其对应的指数2αi适合αi≡1,3(mod4))的个数同为奇数,则n不是完全数,i=1,2,…,k.

证明由引理1可得,适合qi≡1(mod8)且qi(其对应的指数2αi适合αi≡1,3(mod4))的个数同为奇数,适合qi≡5(mod8)且qi(其对应的指数2αi适合αi≡1,3(mod4))的个数同为奇数,有

根据定理8,9可得推论2.

推论2对于4p+1形的奇正整数

在σ(πα)≡6(mod8)条件下,当qi有适合qi≡1(mod8)也有适合qi≡5(mod8)的素因数,若适合qi≡1(mod8)且qi(其对应的指数2αi适合αi≡1,3(mod4))的个数的奇偶性相同,适合qi≡5(mod8)且qi(其对应的指数2αi适合αi≡1,3(mod4))的个数的奇偶性相同,则n不是完全数,i=1,2,…,k.

定理10对于4p+1形的奇正整数

在σ(πα)≡6(mod8)条件下,当qi有适合qi≡1(mod8)也有适合qi≡3(mod8)的素因数,若适合qi≡1(mod8)且qi(其对应的指数2αi适合αi≡2(mod4))的个数,与适合qi≡3(mod8)且qi(其对应的指数2αi适合αi≡1(mod2))的个数的奇偶性相同,适合qi≡1(mod8)且qi(其对应的指数2αi适合αi≡1(mod4))的个数与适合qi≡1(mod8)且qi(其对应的指数2αi适合αi≡3(mod4))的个数的奇偶性相同,则n不是完全数,i=1,2,…,k.

证明由引理1可得,当qi有适合qi≡1(mod8)也有适合qi≡3(mod8)的素因数,若适合qi≡1(mod8)且qi(其对应的指数2αi适合αi≡2(mod4))的个数,与适合qi≡3(mod8)且qi(其对应的指数2αi适合αi≡1(mod2))的个数的奇偶性相同,适合qi≡1(mod8)且qi(其对应的指数2αi适合αi≡1(mod4))的个数与适合qi≡1(mod8)且qi(其对应的指数2αi适合αi≡3(mod4))的个数的奇偶性相同时,有

定理11对于4p+1形的奇正整数

在σ(πα)≡6(mod8)条件下,当qi有适合qi≡3(mod8)也有适合qi≡5(mod8)的素因数,若适合qi≡3(mod8)且qi(其对应的指数2αi适合αi≡1(mod2))的个数与适合qi≡5(mod8)且qi(其对应的指数2αi适合αi≡2(mod4))的个数的奇偶性相同,适合qi≡5(mod8)且qi(其对应的指数2αi适合αi≡1(mod4))的个数与适合qi≡5(mod8)且qi(其对应的指数2αi适合αi≡3(mod4))的个数的奇偶性相同,则n不是完全数,i=1,2,…,k.