数形结合思想在初中数学教学中的应用——以“函数”教学为例

文| 林 欣

为了促进教学活动的顺利、高效开展，明确落实教学目标，教师需要重视对教学理念的创新与变革，以便为学生创造良好的学习环境，进一步挖掘学生的潜能，为学生高效开展数学学习奠定基础。数形结合思想作为重要的数学思想，对提升学生的数学学习能力有着重要意义。

教师应将数形结合思想融入日常教学中，以助力学生更高效地解决数学问题，促使学生形成良好的数学思维。同时函数作为初中数学的重要内容，对学生数学素养与能力的提升有着重要影响。

因此，在“函数”教学中，教师应重视对数形结合思想的有效应用，直观、生动地展现抽象的函数知识，充分发挥学生的形象思维能力，帮助学生掌握问题的本质，使其能够快速、高效地解决问题，从而为初中数学教学的高质、高效开展提供助力。

一、创设教学情境

在初中数学教学活动中，教师可以结合教学知识创设生动、有趣的教学情境，以吸引学生的注意力，使学生能够真正关注到问题，并运用图形对问题中所包含的内容进行直观呈现，让学生亲身感受到数形结合所创造的便利，进而激发学生运用数形结合方法解决数学问题的热情，并深刻认识到数形结合思想的价值与意义。

例如，教师可以结合生活实际设置例题，通过创设良好的教学情境，激发学生的解题兴趣。

问题：25 路公交车往返于A、B 两地，两地的发车时刻表相同。假设公交车均速直线向前行驶，从A地到B 地，从B 地到A 地所用时间都是60 分钟，每间隔10 分钟发一趟车。提问：一辆25 路公交车从A地出发，途中能遇到几辆由B 地出发的25 路公交车？

在分析问题后：

学生1：能够遇到4 辆。

学生2：能够遇到5 辆。

学生3：能够遇到6 辆。

学生4：能够遇到7 辆。

教师：针对这一问题，大家的答案各不相同，以前也有数学家针对类似问题进行了激烈争论。虽然这道题十分简单，却隐藏着重要信息，需要我们运用合理的方法解题。

学生一听数学家都没有解出这道题都感到十分的疑惑，非常想知道最后数学家是怎样解出问题的。

教师引导：有一位数学家针对此题目画了一张图（见图1），其他数学家看到后醍醐灌顶。所以我们在解题的过程中，也需要画一画，看一看画图能不能让问题简单化，帮助我们更快速地解决问题。

图1

通过对现实生活中实例的运用，教师可以为学生创造熟悉的学习环境，激发学生的解题欲望，同时在学生答案不统一的情况下，教师并没有直接展示答题过程以及结果，而是运用话语激发学生的探索欲望，让学生知道数学家也会遇到不能解决的问题，但数学家会积极探寻解题的思路与方法，当学生知道数学家借助图形解决问题后，自然而然地产生了运用图形解决问题的欲望，探索热情空前高涨。

在日常解题过程中，尽管题目看似十分简单，但如果解题方法没有用对，就会让解题过程困难重重。数形的有效结合不仅可以简化问题，还能够保障学生的解题质量。

在解答以上问题的过程中，学生可以通过展示公交车的运行轨迹和时间间隔，并通过对公交车的运行时长和时间间隔进行展示，使学生能够在实际解题中深刻认识到数形之间的关系，使学生能够在不断练习中形成良好的数形结合思想，从而不断提升学生的数学素养与能力。

二、强化学习拓展

在初中数学教学活动中，教师可以结合教学内容设计相应的数学活动，并将数形结合思想融入其中，让学生能够在活动中掌握数形结合的方法，并形成相关的思想理念。在丰富多样、生动有趣的数学活动中，学生能够始终保持高涨的学习热情，并对数学知识有着较高的探究欲望。

例如，在“一次函数”的教学中，为了探寻一次函数的凸显与性质，教师可以通过提问给予学生引导，并设计数学活动，助力学生形成良好的数形结合意识。

教师：同学们，让我们在相同的直角坐标系中画出函数y=2x、y=2x+1、y=2x-1 的图象。

在学生绘制函数图象的过程中，教师可以通过电子白板绘制并展示函数图象，给予学生引导。

教师：我们已经完成了对函数图象的绘制，接下来让我们仔细观察图象，想一想一次函数图象的性质。

（学生之间互动交流。）

学生1：通过对一次函数图象的观察我发现，一次函数图象是一条直线。如果k的数值相同，而b的数值不同，就能够获得平行直线。

教师：这是一个非常重要的发现。让我们一起探究一下k的数值不同，而b的数值相同情况下的函数图象。

此时教师可以鼓励学生大胆举例，说出几个k的数值不同，b的数值相同的一次函数，并将这些函数的图象绘制在同一个直角坐标系中，然后让学生观察与总结图象的特征。

学生2：如果k的数值不同，b的数值相同，函数图象会在同一点相交。并且k的数值越大，函数图象越无限接近于y轴。

教师：总结得非常到位，同学们可以看一看自己所画的函数图象，是不是与刚刚的总结相同。

在设计数学活动的过程中，教师可以引导学生通过图象明确感受k与b存在的不同。同时通过对函数图象的直接观察，明确得出一次函数图象所具备的性质，在共同参与、探讨与体验的过程中，有效调动学生参与教学活动的积极性。然后引导学生由象限角度，分析k、b数值为正数、负数时函数图象发生的变化，以实现对一次函数图象以及性质的有效总结。

在师生、生生的良好互动中，让学生在动手实践、亲身体验中，观察并总结相关规律。这样不仅能够调动学生观察与探究函数图象的积极性，还能够使学生的数形结合思想得到进一步升华。

三、建立数学模型

在数学学习过程中，建模是一项十分关键的能力，所以在日常教学中教师应通过数形结合的方式引导学生建模，以便学生在解决实际问题的过程中灵活运用理论知识。这样可以不断增强解题的趣味性，充分调动学生的探究积极性，为数学教学的顺利、高效开展奠定基础。

问题：抛物线y=2x2+8x+k和y轴相较于点C（0，6），P为抛物线上的一个动点，当△POC成为以OC为底边的等腰三角形时，求点P。

问题分析：在解答此类题型时，学生可以由已知条件中抽取信息，画出抛物线图象，成功建立数学模型。因为点C是抛物线与y轴的焦点，所以点C是抛物线上的一点，由此可以计算出k的数值。然后假设点P（x，y）过OC的中点D，做一条与y轴垂直的线段，所以OD=3，由此可以得到点P的纵坐标是3，然后将其带入抛物线函数式中，可以得到点P的坐标为

在解答这一问题时，学生需要充分运用数形结合的方法。先用解析式绘制抛物线图象，成功建立相关的数学模型，然后将抛物线图象和等腰三角形性质相结合，以明确解题思路。在解答此类问题时，学生灵活运用数形结合方式，能让题目内容变得更加直观、清晰，进一步加深对函数知识的理解，提升对相关知识的实际应用能力。

四、探索实际问题

在初中数学教学活动中，想要实现对学生数形结合思想与能力的培养，教师就要引导学生探索、分析与解决实际问题，使其能够运用图形明确、高效地分析问题，以提升学生的解题能力，进而使学生在亲身实践中品味数形结合思想的魅力，促进学生数学核心素养与能力的提升。

问题：公园中修建了一个圆形喷水池，其中间有个喷水口，喷水口有根柱子，喷出的水能够由柱子顶部向不同方向喷出，并形成无数条形状相同、魅力非凡的抛物线，其图象见图2。假设A是水柱顶部，B为抛物线的最高点，然后水柱会在C处落地，那么水柱的高度y（米）和水平距离x（米）存在函数关系为：

图2

提问：（1）柱子OA的高度是多少？（2）水柱喷出的最大高度为多少？（3）如果要求水柱不会喷到水池外面，所修建喷水池的最小半径应该是多少？

问题分析：在求解柱子的高度时，学生可以直接对函数图象进行观察与分析，对柱子OA的高度进行计算，也就是x=0 时函数的纵坐标，由此可以得到点A的坐标是由此可以得出柱子的高度是1.25 米。

计算水柱喷出的最大高度，也就是找函数y=-x2+的顶点坐标，所以学生在解答第二问时，首先需要对函数进行转化，变为顶点式：y=-（x+1）2+从而得出：当x=1 时，抛物线达到最高点，即水柱喷出的最大高度是2.25 米。

在计算喷水池的最小半径时，可以将一元二次函数转变为一元二次方程，即，然后对方程的根进行求解。这是一个将形转变为数的解题方法，可以求出C的坐标是（2.5，0），由此可以得出喷水池的最小半径应该是2.5 米。

数学知识与生活有着紧密联系，所以在日常教学中，教师应引导学生运用所学知识解决实际问题，从而提升学生的实际应用能力。因此，在解答实际问题的过程中，重点在于对实际问题的有效转化，使其转变成数学问题，以便学生解答。在对函数图象进行观察与分析的基础上，将图形转变为代数问题，以降低解题难度，使得学生能够顺利、高效地完成解题。

总之，函数是初中数学知识中的重难点，很多学生因为函数对数学学习产生了畏惧心理。在日常教学中，教师应重视对新教学方法的探寻，尽可能转变这一教学现状。数形结合是一项重要的数学思想，不论在任何阶段的数学教学中均能获得良好的教学效果。

因此，在初中数学教学中，教师应重视数形结合思想的有效融入，让学生在不断实践中深刻认识到数形结合方法的价值与意义，以帮助学生更好地理解与掌握数学知识，树立良好的自信心，充分激发学生开展数学学习的热情，进而在潜移默化中助力学生形成良好的数形结合思想，并促进学生的迁移应用能力、多角度分析能力、综合思维能力等多方面能力的提升，为学生的健康成长、全面发展奠定基础。