数形结合思想在初中数学教学中的应用
——以“函数”教学为例

2024-05-06 06:58文|
新课程 2024年5期
关键词:抛物线图象数形

文| 林 欣

为了促进教学活动的顺利、高效开展,明确落实教学目标,教师需要重视对教学理念的创新与变革,以便为学生创造良好的学习环境,进一步挖掘学生的潜能,为学生高效开展数学学习奠定基础。数形结合思想作为重要的数学思想,对提升学生的数学学习能力有着重要意义。

教师应将数形结合思想融入日常教学中,以助力学生更高效地解决数学问题,促使学生形成良好的数学思维。同时函数作为初中数学的重要内容,对学生数学素养与能力的提升有着重要影响。

因此,在“函数”教学中,教师应重视对数形结合思想的有效应用,直观、生动地展现抽象的函数知识,充分发挥学生的形象思维能力,帮助学生掌握问题的本质,使其能够快速、高效地解决问题,从而为初中数学教学的高质、高效开展提供助力。

一、创设教学情境

在初中数学教学活动中,教师可以结合教学知识创设生动、有趣的教学情境,以吸引学生的注意力,使学生能够真正关注到问题,并运用图形对问题中所包含的内容进行直观呈现,让学生亲身感受到数形结合所创造的便利,进而激发学生运用数形结合方法解决数学问题的热情,并深刻认识到数形结合思想的价值与意义。

例如,教师可以结合生活实际设置例题,通过创设良好的教学情境,激发学生的解题兴趣。

问题:25 路公交车往返于A、B 两地,两地的发车时刻表相同。假设公交车均速直线向前行驶,从A地到B 地,从B 地到A 地所用时间都是60 分钟,每间隔10 分钟发一趟车。提问:一辆25 路公交车从A地出发,途中能遇到几辆由B 地出发的25 路公交车?

在分析问题后:

学生1:能够遇到4 辆。

学生2:能够遇到5 辆。

学生3:能够遇到6 辆。

学生4:能够遇到7 辆。

教师:针对这一问题,大家的答案各不相同,以前也有数学家针对类似问题进行了激烈争论。虽然这道题十分简单,却隐藏着重要信息,需要我们运用合理的方法解题。

学生一听数学家都没有解出这道题都感到十分的疑惑,非常想知道最后数学家是怎样解出问题的。

教师引导:有一位数学家针对此题目画了一张图(见图1),其他数学家看到后醍醐灌顶。所以我们在解题的过程中,也需要画一画,看一看画图能不能让问题简单化,帮助我们更快速地解决问题。

图1

通过对现实生活中实例的运用,教师可以为学生创造熟悉的学习环境,激发学生的解题欲望,同时在学生答案不统一的情况下,教师并没有直接展示答题过程以及结果,而是运用话语激发学生的探索欲望,让学生知道数学家也会遇到不能解决的问题,但数学家会积极探寻解题的思路与方法,当学生知道数学家借助图形解决问题后,自然而然地产生了运用图形解决问题的欲望,探索热情空前高涨。

在日常解题过程中,尽管题目看似十分简单,但如果解题方法没有用对,就会让解题过程困难重重。数形的有效结合不仅可以简化问题,还能够保障学生的解题质量。

在解答以上问题的过程中,学生可以通过展示公交车的运行轨迹和时间间隔,并通过对公交车的运行时长和时间间隔进行展示,使学生能够在实际解题中深刻认识到数形之间的关系,使学生能够在不断练习中形成良好的数形结合思想,从而不断提升学生的数学素养与能力。

二、强化学习拓展

在初中数学教学活动中,教师可以结合教学内容设计相应的数学活动,并将数形结合思想融入其中,让学生能够在活动中掌握数形结合的方法,并形成相关的思想理念。在丰富多样、生动有趣的数学活动中,学生能够始终保持高涨的学习热情,并对数学知识有着较高的探究欲望。

例如,在“一次函数”的教学中,为了探寻一次函数的凸显与性质,教师可以通过提问给予学生引导,并设计数学活动,助力学生形成良好的数形结合意识。

教师:同学们,让我们在相同的直角坐标系中画出函数y=2x、y=2x+1、y=2x-1 的图象。

在学生绘制函数图象的过程中,教师可以通过电子白板绘制并展示函数图象,给予学生引导。

教师:我们已经完成了对函数图象的绘制,接下来让我们仔细观察图象,想一想一次函数图象的性质。

(学生之间互动交流。)

学生1:通过对一次函数图象的观察我发现,一次函数图象是一条直线。如果k的数值相同,而b的数值不同,就能够获得平行直线。

教师:这是一个非常重要的发现。让我们一起探究一下k的数值不同,而b的数值相同情况下的函数图象。

此时教师可以鼓励学生大胆举例,说出几个k的数值不同,b的数值相同的一次函数,并将这些函数的图象绘制在同一个直角坐标系中,然后让学生观察与总结图象的特征。

学生2:如果k的数值不同,b的数值相同,函数图象会在同一点相交。并且k的数值越大,函数图象越无限接近于y轴。

教师:总结得非常到位,同学们可以看一看自己所画的函数图象,是不是与刚刚的总结相同。

在设计数学活动的过程中,教师可以引导学生通过图象明确感受k与b存在的不同。同时通过对函数图象的直接观察,明确得出一次函数图象所具备的性质,在共同参与、探讨与体验的过程中,有效调动学生参与教学活动的积极性。然后引导学生由象限角度,分析k、b数值为正数、负数时函数图象发生的变化,以实现对一次函数图象以及性质的有效总结。

在师生、生生的良好互动中,让学生在动手实践、亲身体验中,观察并总结相关规律。这样不仅能够调动学生观察与探究函数图象的积极性,还能够使学生的数形结合思想得到进一步升华。

三、建立数学模型

在数学学习过程中,建模是一项十分关键的能力,所以在日常教学中教师应通过数形结合的方式引导学生建模,以便学生在解决实际问题的过程中灵活运用理论知识。这样可以不断增强解题的趣味性,充分调动学生的探究积极性,为数学教学的顺利、高效开展奠定基础。

问题:抛物线y=2x2+8x+k和y轴相较于点C(0,6),P为抛物线上的一个动点,当△POC成为以OC为底边的等腰三角形时,求点P。

问题分析:在解答此类题型时,学生可以由已知条件中抽取信息,画出抛物线图象,成功建立数学模型。因为点C是抛物线与y轴的焦点,所以点C是抛物线上的一点,由此可以计算出k的数值。然后假设点P(x,y)过OC的中点D,做一条与y轴垂直的线段,所以OD=3,由此可以得到点P的纵坐标是3,然后将其带入抛物线函数式中,可以得到点P的坐标为

在解答这一问题时,学生需要充分运用数形结合的方法。先用解析式绘制抛物线图象,成功建立相关的数学模型,然后将抛物线图象和等腰三角形性质相结合,以明确解题思路。在解答此类问题时,学生灵活运用数形结合方式,能让题目内容变得更加直观、清晰,进一步加深对函数知识的理解,提升对相关知识的实际应用能力。

四、探索实际问题

在初中数学教学活动中,想要实现对学生数形结合思想与能力的培养,教师就要引导学生探索、分析与解决实际问题,使其能够运用图形明确、高效地分析问题,以提升学生的解题能力,进而使学生在亲身实践中品味数形结合思想的魅力,促进学生数学核心素养与能力的提升。

问题:公园中修建了一个圆形喷水池,其中间有个喷水口,喷水口有根柱子,喷出的水能够由柱子顶部向不同方向喷出,并形成无数条形状相同、魅力非凡的抛物线,其图象见图2。假设A是水柱顶部,B为抛物线的最高点,然后水柱会在C处落地,那么水柱的高度y(米)和水平距离x(米)存在函数关系为:

图2

提问:(1)柱子OA的高度是多少?(2)水柱喷出的最大高度为多少?(3)如果要求水柱不会喷到水池外面,所修建喷水池的最小半径应该是多少?

问题分析:在求解柱子的高度时,学生可以直接对函数图象进行观察与分析,对柱子OA的高度进行计算,也就是x=0 时函数的纵坐标,由此可以得到点A的坐标是由此可以得出柱子的高度是1.25 米。

计算水柱喷出的最大高度,也就是找函数y=-x2+的顶点坐标,所以学生在解答第二问时,首先需要对函数进行转化,变为顶点式:y=-(x+1)2+从而得出:当x=1 时,抛物线达到最高点,即水柱喷出的最大高度是2.25 米。

在计算喷水池的最小半径时,可以将一元二次函数转变为一元二次方程,即,然后对方程的根进行求解。这是一个将形转变为数的解题方法,可以求出C的坐标是(2.5,0),由此可以得出喷水池的最小半径应该是2.5 米。

数学知识与生活有着紧密联系,所以在日常教学中,教师应引导学生运用所学知识解决实际问题,从而提升学生的实际应用能力。因此,在解答实际问题的过程中,重点在于对实际问题的有效转化,使其转变成数学问题,以便学生解答。在对函数图象进行观察与分析的基础上,将图形转变为代数问题,以降低解题难度,使得学生能够顺利、高效地完成解题。

总之,函数是初中数学知识中的重难点,很多学生因为函数对数学学习产生了畏惧心理。在日常教学中,教师应重视对新教学方法的探寻,尽可能转变这一教学现状。数形结合是一项重要的数学思想,不论在任何阶段的数学教学中均能获得良好的教学效果。

因此,在初中数学教学中,教师应重视数形结合思想的有效融入,让学生在不断实践中深刻认识到数形结合方法的价值与意义,以帮助学生更好地理解与掌握数学知识,树立良好的自信心,充分激发学生开展数学学习的热情,进而在潜移默化中助力学生形成良好的数形结合思想,并促进学生的迁移应用能力、多角度分析能力、综合思维能力等多方面能力的提升,为学生的健康成长、全面发展奠定基础。

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