一次函数视角下的特殊三角形存在性问题解题策略探究

林运蓉

【摘  要】一次函数视角下的特殊三角形存在问题的探究，借助几何画板画图操作活动，正确分析问题、转化化归，模型意识反思，对数形结合思想、方程思想、分类讨论思想的感悟，利用几何法和代数法求解问题。

【关键词】运算意识；几何作图；模型意识；一次函数；特殊三角形

一次函数视角下的特殊三角形存在性问题是在变化的过程中，研究背景图形，根据条件探索某种状态是否存在，把函数信息坐标或表达式转化为几何信息。分析不变特征，确定分类标准，探寻特殊状态运动的结果，画出符合题意的图形求解。

知识储备：用待定系数法求解一次函数的解析式，联立方程组求解两个一次函数图象的交点，求解三个顶点为定点的三角形的面积，用铅锤法求解有顶点是动点的三角形的面积。

解题困惑：对一次函数视角下的特殊三角形存在性问题，如直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形、全等三角形等的存在性问题，学生解题过程存在一些困难，无法画图，进行正确的分类讨论，易出现漏解、错解。

策略探究：假设特殊三角形存在→推理论证→得出相应结论。类型：两定一动及一定两动，思路：代数法→算理意识，几何法→构图识图，函数法→待定系数法。

一、直角三角形的构造→直角顶点的分类讨论

方法策略：分别对三角形三个顶点为直角顶点的情況进行分类讨论，需要同时利用全等、勾股定理等相关知识计算，从而求出对应的点坐标。

【数学活动1】一次函数图象与坐标轴交于点A、B，在坐标轴上找一点C，使得△ABC为直角三角形，求符合条件的C点坐标。

思路探析：找点→两条垂线一个圆，求点→解析式法、距离公式与勾股定理、斜率法（圆上的点），增（舍）点→斜率不存在或等于零，需结合图形检查是否遗漏。

画图探寻：满足条件的坐标轴上的 C 点共有 3 个，如图所示：两垂线→→①若∠BAC=90°，则AB⊥AC，所以以A为垂足作线段AB的垂线，交x轴于C1，则△C1AB是以AB为直角边的直角三角形。②若∠ABC=90°，则AB⊥BC，所以以B为垂足作线段AB的垂线，交轴y于C2，则△C2AB是以AB为直角边的直角三角形。

一圆→→③若∠ACB=90°，则AC⊥BC，所以以线段AB为直径作圆（直径所对的圆周角等于90°），交坐标轴于C3，则△C3AB是以AB为斜边的直角三角形。

【案例1】已知A（2，0），B（0，3），在直线l∶y=1上找点C，使△ABC为直角三角形，你能求出点C的坐标？

设计意图：一次函数视角下的等腰直角三角形的模型反思关键在于等腰、直角、90度与45度、勾股定理、两点距离公式。

一次函数视角下的特殊三角形的存在性问题对八年级学生初学来说存在困难，需要梳理一次函数的图象与性质，函数自变量的取值范围的求法，结合几何图形的性质，通过画图操作，模型意识的介入，筛选有效信息，找准目标三角形的特征确定分类讨论标准，运用方程、转化、函数以及数形结合等思想来探究解决。

（基金项目：莆田市城厢区区课题“初中数学函数教与学实践研究”，立项编号CXKT202205）