挖掘特征寻突破 巧解压轴促创新

⦿ 西安交通大学苏州附属初级中学 冯 丽

数学变换方法是研究和解决数学问题时采取迂回手段达到目的的一种方法,也是进行理性思维的有效手段.由于数学变换方法具有抽象性、逻辑性和辩证性等特性,所以在学科研究的各个领域得到了充分的运用.常见的图形变换主要有平移、翻折、旋转和相似等,巧抓问题突显的特征,利用数学变换进行突破,是解答数学中考压轴题的常用手段.

1 抓住“最值”,用平移突破

在解决涉及二次函数的动点问题时,常常会出现几何图形面积最值的问题.如何确定动点的位置,是解决此类问题的关键所在,也是难点之处.解决此类问题常常利用函数图象中的“最值”问题,考虑使用平移变换,化动为静,达到解题的目的.

图1

图2

2 抓住“特殊角”,构造相似(或全等)突破

在解决一些平面几何压轴题时,问题中往往会出现一些比较特殊的角度,如45°,60°或者135°,我们需要根据具体的条件将这些角进行转化,从而形成特殊的图形,便于解答问题.

例2如图3,已知AC,BD为四边形ABCD的对角线,BC=2,CD=2AC,∠DCA=60°,∠DAB=135°,试求线段BD长度的最大值.

图3

阅读题目,发现有特殊角135°,通常情况下出现135°要么将其分成90°和45°,要么将其邻补角补充出来.针对本题又该如何处理呢?根据题意可判断∠DAC=90°,而BC长又为定值,由此判断点A的轨迹是圆,于是找到解决问题的突破口.如图4,取△ACB的外心O,同时构造△EDC∽△OAC,从而找到定长的折线段D-E-O-B.当点D,E,O,B共线时,BD取得最大值[1].

图4

再如,在正方形ABCD中,点E在边BC上运动,点F在边DC或CB上运动.如图5,若点F在边DC上,已知∠EAF=45°,连接EF,求证:EF=BE+DF.

图5

该问题中出现的特殊角为45°,动态的45°很难为我们所用,此时可以考虑通过构造全等三角形进行解答.如图6所示,延长CD至点G,使DG=BE,连接AG,可证明得到△ADG≌△ABE(SAS),从而容易得出结论.

图6

3 抓住“模型”,用旋转突破

在解决一些动点问题的过程中,有时很难直接通过计算解答,需要认真研究动点存在的轨迹,确定“模型”,如“隐圆”“胡不归”“阿氏圆”等,从模型特点入手建立等量关系即可得到答案[2].

图7

根据题意,首先确定点B′的位置是最关键的.在动态问题中找到不动的条件,发现BE的长度没有变化,故可以判断题目中存在“隐圆”模型,即点B′在以点E为圆心,以BE为半径的圆上,再判断出点G在点A右侧过点A与AD垂直且等长的线段上,进而得出EF最大时,B′G最小,即可求出答案.整个问题在处理上首先确定两个动点存在的位置,建立模型,从而顺利解答.

4 抓住“规律”,用归纳突破

在日常教学中,我们经常会遇到一些比较繁杂的问题,这类问题不能仅通过计算得到答案,往往需要通过观察、分析、归纳、概括、演算、判断等一系列探究活动,才能得到问题的结论,这类问题也就是我们常说的“规律探究”问题.这类问题,因其独特的规律性和探究性,重点考查学生的分析与归纳能力[3].

图8

规律性探究问题常常是由特殊结论推出一般性结论的合情推理,它对思维能力的要求比较高,包括观察、实验、类比、想象、猜测及验证等思维形式.有些问题有时候较难用数学语言精准说明推理进程,在很大程度上依赖于不完全归纳法,对能力的要求较高[4].

5 抓住“一般性”,用特殊值突破

在遇到一些整式求值问题时,由于涉及到的单项式具有普遍性,因此在求值过程中可以考虑其“一般性”的特点,借助特殊值来突破.这种方法常常在填空题或者选择题中用到,为解题带来意想不到的效果.这类问题也考查了学生的特质思维能力.

例5如图9,有一束光线从左侧射入后经过点A(-2,1),恰好射到x轴上的一点B(2,0),反射后经过点C(a,b),求a-4b的值．

图9

针对此类问题,常规上根据反射性质,分别从点A、点C作垂线AG,CF(如图10),构造△AGB∽△CFB,结合比例线段求解.但是考虑到C是反射线BC上的任意一点,那么这点的横坐标a和纵坐标b一定满足同一个表达式.既然如此,那么点B的坐标也满足此条件,故将特殊点B(2,0)代入求值即可得到答案.

图10

从上面几个方面可以看出,抓住图形的“特征”来解决问题,要紧扣图形特点,将给定的图形或已知条件进行集中转化,形成简单易解的情形,并运用它们的性质展现图形的内涵与本质属性,将未知转化为已知,把复杂问题转化为简单、易操作的问题,从而可以体会到数学的美妙意境.