谈高考立体几何试题改编路径

卢荣亮　孙超逸　高贞

【摘 要】 从改编2023年全国新高考Ⅰ卷18题出发，应用理论联系实际的方法，探究高考立体几何试题改编路径：变背景、变条件、变问题；以“抠图法”得到新的几何体，并通过8种不同解法谈改编题的质量．

【关键词】 新高考；立体几何；改编；变背景；变条件；变问题

题目 （2023年全国新高考Ⅰ卷18题）如图1，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4．点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3．

（2）点P在棱BB1上，当二面角P-A2C2-D2为150° 时，求B2P．

我们知道高考立体几何试题一共分三个部分：背景、条件、问题，因此我们的改编路径有以下几种：条件、问题均不变，形式变一变［1］；条件不变，问题改变；条件改变，问题不变；条件和问题均改变；背景改变，条件和问题均不变；背景改变，条件或问题改变［2］．下面我们基于前五种路径对2023年全国新高考Ⅰ卷18题进行改编．为什么要改编第18题？因为笔者参加了第18题的阅卷工作，发现第一问有很多奇怪的解法，最常规的建系法反而不会用，因此就有了改编1—4．

改编1 题目条件不变，问题也不变，只是问题的形式变一变：

（1）证明：A2，B2，C2，D2四点共面．（问法不一样，本质和原题一模一样）

（2）点P在棱BB1上，当二面角P-A2C2-D2的余弦值为－3/2 时，求B2P．

改编2 题目条件不变，改变问题：

（1）证明：B2C2⊥平面A1B1CD；

（2）点P在棱BC上，求平面PA2C2和平面A2C2D2的余弦值的取值范圍．

答案：（1）略；（2）0，21/7

为什么想到问题“B2C2⊥平面A1B1CD”？因为有学生通过两条直线垂直同一个平面证明两直线平行．第（2）问去掉“二面角P-A2C2-D2为150°” 这个条件，自然就有这样的问题：求平面PA2C2和平面A2C2D2的余弦值的取值范围．

改编3 条件改变，问题不变：把题目中的“BB2＝2”这个条件去掉，换成“B2为BB1上的动点”．

（1）BB2的长度为多少时，B2C2∥A2D2；

（2）当B2C2∥A2D2，点P在棱BB1上，且二面角P-A2C2-D2为150° 时，求B2P．

答案：（1）BB2＝2；（2）B2P＝1

改编3把定点B2改为动点B2，新问题和原有问题本质一样．

改编4 条件改变，问题改变：把题目中的“BB2＝2”改为“BB2＝1”．

（1）求直线B2C2和直线A2D2夹角的余弦值；

（2）点P在棱BB2上，求平面PA2C2和平面A2C2D2的余弦值的取值范围．

答案：（1）310/10 ；（2）21/7，3/2

改编4这两个问题也比较容易想到，而且可以换成许许多多类似的问题．

改编1—4的目的是什么？训练学生的基础知识和基本技能，更准确地说训练学生用建系法解决立体几何第一问，巩固基础知识，训练基本技能．

前4种改编对我们一线教师非常简单，每一位普通教师都可以编出来，虽然简单，但对巩固学生双基的效果明显．为了进一步提升学生解决立体几何问题的能力，提升学生的数学素养，为此笔者进行了如下改编，并对其进行全面解析，以帮助教师和学生更好的理解．

改编5是将高考题中P-A2B2C2D2直接从长方体中抠出来．

改编5 如图2所示，在四棱锥P-ABCD中，AB=BC=CD=DA=5，PA=22，PB=1，PC=2，PC⊥PA．

（1）求二面角P-AC-D 的大小；

（2）求四棱锥P-ABCD 的体积．

分析：这是个不规则的四棱锥，对学生来说有一定难度，但有不少解法值得我们一起探究，下面笔者提供8种不同解法供读者朋友参考，以便学生训练，帮助他们提升空间想象能力、数学抽象能力、数学运算能力、立体几何解题能力．

点评 改编5无疑是一次成功的改编，这样不规则的四棱锥以前从未考过，有一定的新意，如果我们不指出它是从长方体中抠出来的，教师和学生都很难想到．这道题或许还有更多的解法，在本文中不再一一叙述．展示8种解法的目的，一方面是为了提升教师和学生从不同角度解决立体几何问题的能力，另一方面也间接地说明改编的质量还可以．因为评价一道改编题的质量标准之一就是能否用多种解法去处理．当然这道改编题对大多数学生来说，还是有一定难度，这也不影响这道改编题的价值．

参考文献

［1］ 杨元韡．例谈高中数学试题的改编式命制的策略［J］．数学通讯，2019（02）：51-54＋59．

［2］ 龙艳文．高中数学试题改编的常用方法及意义［J］．数学通讯，2018（12）：9-11．

作者简介 卢荣亮（1990—），男，江苏南京人， 中学一级教师;研究方向为初数研究和命题研究.

孙超逸（1996—），男，浙江温州人， 中学一级教师; 研究方向为教学研究.

高贞（1979—），女，浙江宁波人， 中学一级教师;研究方向为教学研究．