对2023年新高考Ⅱ卷解析几何的探究

【摘 要】 对2023年全国新高考数学Ⅱ卷第21题进行了探讨，分析试题的解法，推广得到更一般的结论，探寻试题的命制背景.

【关键词】 高考题；解法探究；溯源；非对称;推广

高考试题具有很好的引领与指导作用，吸引着众多教师学习、探秘、改编.下面是对2023年全国新高考数学Ⅱ卷第21题的一点思考，供大家参考.

1 真题呈现

2023年全国新高考Ⅱ卷第21题如下：

已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为（－25，0），离心率为5.

（1）求C的方程；

（2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点B（－4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上.

本题考查了双曲线的标准方程，直线与双曲线的位置关系，意在考查学生数形结合的数学思想和运算求解能力，对考生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力有较高的要求，试题解法多样，内涵丰富，突出选拔功能，是一道非常好的高考压轴题.

结论11 如图4，已知椭圆x2/a2+y2/b2=1（a>b>0），点M（x0，y0）是平面内一定点，过点M任作一直线交椭圆于A，B两点，交直线l：x0x/a2+y0y/b2=1于点E，P为过E与x轴垂直的直线上的任意一点，则直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．

结论12 已知双曲线x2/a2－y2/b2=1（a>0，b>0），点M（x0，y0）是平面内一定点，过点M任作一直线交双曲线于A，B两点，交直线l：x0x/a2－y0y/b2=1于点E，P为过E与x轴垂直的直线上的任意一点，则直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．

结论13 已知抛物线y2=2px（p>0），点M（x0，y0）是平面内一定点，过点M任作一直线交抛物线于A，B两点，交直线l：y0y=p（x0+x）于点E，P为过E与x轴垂直的直线上的任意一点，则直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．

结论14 如图5，已知椭圆x2/a2+y2/b2=1（a>b>0），点E（x0，y0）是平面内一定点，过点E任作一直线交椭圆于A，B两点，交直线l：x0x/a2+y0y/b2=1于点M，P为过E与x轴垂直的直线上的任意一点，则直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．

结论15 已知双曲线x2/a2－y2/b2=1（a>0，b>0），点E（x0，y0）是平面内一定点，过点E任作一直线交双曲线于A，B两点，交直线l：x0x/a2－y0y/b2=1于点M，P为过E与x轴垂直的直线上的任意一点，则直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．

结论16 已知抛物线y2=2px（p>0），点E（x0，y0）是平面内一定点，过点E任作一直线交抛物线于A，B两点，交直线l：y0y=p（x0+x）于点M，P为过E与x轴垂直的直线上的任意一点，则直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．

参考文献

［1］ 于新华.二次曲线中极点与极线性质的初等证法[J] .数学通讯（下半月），2020（12）：40-41.

［2］ 刘旭飞. 对一道模块考试题的再探究[J]. 数学通讯（下半月），2016（05）：44-47．

作者简介 刘旭飞（1982—），男，中學高级教师，硕士，温州市第二层次骨干教师；主要从事中学数学教学研究；发表论文10余篇.