基于“六何”认知链的“抽象函数”的研究与思考

练育宏　赵伟

【摘 要】 用“六何”认知链呈现“抽象函数”的研究过程，以整体视角把握知识结构，让研究对象经历“从何”“是何”“与何”“如何”“变何”“有何”的认知过程，可以加深学生对研究对象本质的理解，进而促进学生深度学习，提升相应核心素养.

【关键词】 六何；抽象函数；深度学习；核心素养

2019版中国高考评价体系中的“四翼”突出了对学科基础性的考查，要求高考应围绕学科主干内容，加强对基本概念、基本思想方法的考查，杜绝偏题怪题和繁难试题，引导教学重视教材，夯实学生学习基础，给学生提供深度学习和思考的空间［1］.“抽象函数”相关问题在近几年高考中频繁亮相.试题题干简洁、指向明确、紧扣基本概念、内涵丰富、解答方式多样，是突出“基础性”考查的有效载体，也是“反机械刷题”、促进学生深度学习、培养理性思维的很好素材.本文从“六何”角度深度剖析“抽象函数”，意在引导学生的关注点从“解题”向“解决问题”、从“做题”向“做人做事”的转变［1］.

1 “六何”有序结构的理论基础

“六何”有序结构是由周莹教授基于系统论和连贯理念提出的一种策略，能够系统地体现教学的连贯性、自然性以及完整性［2］.“六何”即 “从何”“是何” “与何” “如何” “变何” “有何”.“从何”包括知识、经验起点以及章导言与前言， 这是新知识的问题发现与提出，突出新知识研究的必要性，也是激发学生学习兴趣的着力点; “是何”包括 “是什么”这一事实性知识，是对新知识本质属性的深入探究与理解; “与何”包括从关联的角度看知识间 “有何联系”， 促进知识的融会贯通; “如何”包括教材呈现的例题、习题的数量及难度，强调理解和应用的认知过程; “变何”强调问题的变式拓展，通过问题的提出和变式，帮助学生触类旁通，拓宽思维层面; “有何”包括 “有何收获”，是对学习过程中能力、 素养、知识水平等方面的挖掘与凝练［3］.作为课堂教学的一种有序结构也可以应用于研究某一数学对象，用“六何”结构研究问题，既要关注问题的破解策略，又要关注问题的“来龙去脉”，用“整体观”“全局观”把握知识结构，从而避免研究问题“只见树木，不见森林”的现象.

2 从“六何”看抽象函数

“六何”可看成由对知识来龙去脉及总结反思的发问而构成的认知链，这种认知链并不是简单的单向进行，而是多种开端，多种组织方式， 可以根据实际情况，灵活运用．下面从“六何”的视角展开对“抽象函数”的研究，供各位同仁参考.

2.1 追溯“从何”

抽象函数从何而来？实际上可看成从初等函数中抽象概括出来的，也就是说很多抽象函数都是有“原型”的，部分梳理如下：

左列初等函数中依据其运算（公式）特征，抽象出右列中的等式，而具备右列等式的函数不一定唯一，左列中的函数只是满足右列等式的一个特例而已.以上对应也说明了抽象函数并不“抽象”，它具有丰富的“背景”与“内涵”，多数初等函数是抽象函数方程的解.

2.2 抽象“是何”

一般不给出具体解析式，只给出函数具备的特殊条件或特征的函数即为抽象函数.此类问题具有较强的抽象性、综合性、技巧性等特征，能较好地考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模、数学运算等核心素养.基于此，此类问题也成为近年新高考的热点.

2.3 连接“与和”

抽象函数的形式多样，在教材中实际上也有多处体现，特别是描述一类函数的共同的特性，如：描述函数奇偶性时，用等式f（－x）±f（x）=0来刻画，描述函数周期性时，用等式f（x+T）=f（x）（T≠0）来刻画，当然，还可以从定义出发演变出多种形式.

2.4 把握“如何”，探究“变何”

在近几年考题中抽象函数问题一般以什么面孔呈现，究竟怎么考，考什么呢？下面举例说明.

2.4.1 开放问题

例1 （2022新高考全国Ⅱ卷题8改编）若函数f（x）的定义域为R，写出一个同时具有下列性质①②的函數f（x）= ．

3 研究启示

3.1 重视基本概念教学，关注深度考查

近年新高考试题中，特别强调对于基本概念与性质的深入理解.深化基础性的考查要求不意味着降低题目的难度，也不局限于对知识概念的简单记忆和再认识，而是体现知识的应用过程，更加灵活深入地考查基本概念，在考查基础性的同时发挥高考选拔功能［4］.因此在平时教学中，要强调对基础知识、基本概念的深刻理解与运用，突出对学科本质的体现.例2中，由f（2x+1）为奇函数得f（－2x+1）=－f（2x+1）（奇偶性定义的本质体现）；结论1中，由f（2a－x）=f（2b－x）得T=2|a－b|（周期性定义变形）；例3中，由f′（2－x）=f′（2+x）得f（2+x）+f（2－x）=c（导数法则的逆向考查）；结论6中，由f（－x）－f（0）=－［f（x）－f（0）］得f（x）－f（0）为奇函数（奇偶性定义的逆向考查）.故例2、例3及其变式其本质是对奇偶性、周期性定义的深度考查.

基本概念与原理是数学解题的起点，基础知识的领悟程度，直接影响到知识的应用能力.对于基本概念的教学尽量做到以下几点.

1.注重概念的生成过程，特别是一些有启示作用的推导思想与方法；

2.注重概念的多元表征，即通过一组等价命题对概念形成网络和表象，让学生从整体上把握相关知识；

3.注重概念的辨析教学，如：关键字词的理解，条件的强（弱）化带来的影响，四种命题能否成立，能否作一般性推广等；

4.注重概念的前后联系，对于与其它概念联系紧密的知识，可将其关系呈现出来，以便学生形成知识网络.

3.2 活用“六何”研究问题，关注知识来龙去脉

“六何”认知链研究策略，是从问题意识的角度创建的一种认识方法论，主要体现知识的来龙去脉的问题性、层序性、操作性和完整性［5］.“六何”并不一定是单向进行，可以是多种开端，多种组织方式，它们之间相互联系、相互交融、密不可分的，如：在研究某一个问题下的子问题时，可以又是一个“六何”的小循环，“是何”“与何”以及“如何”“变何”之间一般具有互为补充、互相渗透的关系.用“六何”视角看问题可以让学生经历知识发生、发展、高潮、结束的认知过程，以整体视角把握知识结构，加深对问题本质的理解.

“抽象函数”相关问题作为近年新高考的热点，学生往往因其表现形式的抽象导致解决起来感到茫然与困难，实际上它的背景以及解决手段并不“抽象”.“从何”追溯来源、了解背景，也为“如何”提供了丰富的模型；“是何”抽象特征、把握本质；“与何”揭示联系、促进融通，也为“如何”提供解决的基本工具；“如何”学以致用、深化理解；“变何”探究变化与拓展、促进发散，也是对“是何、如何”的深度理解与灵活运用；“有何”回顾反思、促进内化，全方位总结这类问题所涉及的“基础知识”，破解的“基本方法”，蕴含的“基本思想”，最终达到考查学生“基本素养”的目的.

参考文献

［1］ 中华人民共和国教育部考试中心.中国高考评价体系说明（2019年版）［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［2］ 莫倩华，肖宝莹，周莹.基于“六何”有序结构的高中数学教材对比研究——以人教A版、湘教版《古典概型》为例［C］//全国数学教育研究会.全国数学教育研究会2016年国际学术年会论文集.广州：中国高等教育学会教育数学专业委员会，2016：12.

［3］ 张程，周莹.基于“六何”有序结构的高中数学新旧教材对比分析——以人教A版“函数概念”为例［J］.中小学课堂教学研究，2021（12）：28.

［4］ 翟嘉祺，任子朝，赵轩.高考深化基础性考查研究［J］.中学数学教学参考，2022（31）：4-7+12.

［5］ 魏小军，莫倩华，周莹.基于“六何”认知链的“正弦定理”教学设计［J］.数学学习与研究，2018（18）：12.

作者简介 练育宏（1974—），江苏扬州人，中学高级教师；现任扬州市江都区教研室高中数学教研员，扬州市数学学科带头人，曾获扬州市江都区教育功臣、扬州市高中教育先进个人、扬州市数学优秀奥赛教练员、扬州市十佳教研员、扬州市名师工作室优秀指导教师等荣誉称号；发表论文20余篇，并有多篇文章被人大复印报刊资料《高中数学教与学》全文转载；主持省级课题2项，参与省级课题2项.

赵伟（1983—），男，江苏扬州人，中学一级教师；现任扬州市江都区邵伯高级中学教科室副主任、高三年级组主任，曾荣获江都区十佳班主任称号，多次被评为区教育局优秀工作者；研究方向为数学教育.