解题教学培育学生数学思维能力的探索——以“数列通项公式”的解题教学为例

⦿ 江苏省吴江平望中学 潘妙妙

俗语有云:“授人以鱼不如授人以渔.”数学教学是为了培养学生学习能力与生活能力的教学,教师的课堂引导对学生思维的发展具有深远的影响.在新课标的引领下,以核心素养为导向的数学教学,学生才是课堂真正意义上的主人,所有的教学活动应基于“以生为本”的基础开展[1].因此,高中数学教学不再是知识的传授那么简单,而应在充分理解课标要求与学情的基础上,借助课堂教学激趣启思、拓展学生的思维、挖掘潜能,促使每个学生都能形成良好的自主学习能力,为发展核心素养夯实基础.

1 教学过程

例1在数列{an}中,已知a1=1,且an+1=2an+1,则该数列的通项公式是什么?

问题的条件是解决问题的基础.解题时,首先要读题、审题,只有准确把握问题的条件,才能明确试题究竟涉及哪些知识点,该从何处下手进行分析.例题教学初始阶段,教师可鼓励学生自主审阅问题条件,并将条件内容进行合理转化,尽可能“化未知为已知”,在模仿训练中自主探寻知识规律,在及时反思中获得解题感悟.对于本题,教师可鼓励学生自主观察递推公式,并从它的结构特点出发,进行变形.

师:非常好!如何规范书写?

生2:an+1=2n-1×2=2n,则an=2n-1.

在学生观察与分析题设条件时,教师要做的是给足时间,适当留白,舍得放手,鼓励学生独立思考,开拓思路,多加尝试,通过对数列的不同变形转化,深刻理解等比数列概念的内涵.为了让学生发现问题中隐藏的规律,教师还可在此基础上把握好引导时机,设计模仿训练.

师:在数列{an}中,已知a1=1,且an+1=2an+2,则该数列的通项公式是什么?

师:很好!思考至此,我们可将原问题如何转化?

生4:若明确数列{an+2}是一个首项为3,公比为2的等比数列,则该数列的通项公式是什么?

显然,学生的思维相当活跃,不论是解题还是转化都体现出良好的知识基础.为了进一步拔高学生的思维,教师可设计一些具有挑战性的问题,以逐步启迪学生的思维,提升学生的抽象与概括能力.

师:对比以上两题,它们在结构上具有怎样的共同点?关键性条件是什么?该怎样灵活地将这种数列问题化归成等比数列的问题?

生5:当数列的首项与递推公式明确时,可将形如an+1=2an+q(q是常数)的式子变形,转化成an+1+k=2(an+k)的结构,进而得到一个以2为公比的等比数列.

为了实现“深度学习”的目的,教师至此并没有结束本题的教学,而是选择趁热打铁,提出变式练习,以强化学生对知识的掌握与灵活应用程度.

变式在数列{an}中,已知a1=1,an+1=pan+q,且p,q均为常数,则数列{an}的通项公式是什么?

设计意图：变式具有不改变知识本质,只变化问题形式的特征.该变式与例1相比,难度稍有增加,但考查的核心点并没有发生变化.如此设计意在进一步强化学生对数列通项公式的理解,为形成举一反三的解题能力奠定基础.

借鉴前面两题的解题经验,学生经过观察与思考,从问题条件特征着手进行尝试.巡视过程中发现有部分学生存在思维障碍,教师可适当作如下点拨:an+1=pan+q⟺an+1+k=p(an+k),怎么从p,q着手求得k的值呢?

师:当p=1时,则有an+1=an+q,那么数列{an}就是公差为q的等差数列,通项公式也自然可求.

2 几点思考

2.1 思维的重要性值得关注

日常工作中,笔者常会听到一些教师发牢骚:“这些学生怎么了?讲了一遍又一遍,怎么就不开窍呢?”然而,当教师在对学生有意见的同时,有没有反省一下自己的教学方法呢?为什么讲过的问题,学生不能灵活应用呢?究其主要原因还在于教师只传授给了学生正确答案,而没有让学生获得学习方法,学生因为缺乏良好的思维能力而导致理解障碍.

数学是思维的体操,培育学生的数学思维能力不仅是课标对教师提出的要求,更是时代赋予教师的重要责任.作为教师,不仅要关注学生客观存在的差异性,还要利用课堂教学充分发挥学生的个性特征,促使每个认知水平层次的学生都能在课堂中获得不同程度的发展,以从真正意义上拔高思维,提升学力[2].

如本节课,教师就借助由浅入深的问题引发学生的思考,巡视发现部分学生出现思维障碍时,则适时给予点拨.不论是由浅入深的问题,还是适当点拨,都为学生的思维搭建了“脚手架”,让每个学生都在教学中获得不同程度的发展.

2.2 多角度思考可拔高思维

一千个读者就有一千个哈姆雷特.每个人看待问题的切入点与关注点都有所差异,数学解题亦不例外.同一道试题,若从不同的视角去分析,所用的解题方案也有着天壤之别.为了拓宽学生的视野,培养学生的自主学习能力,解题教学时,教师可引导学生从不同角度去审视问题,在沟通知识的基础上,拓宽学生的思维,优化解题思路,提升数学核心素养.

在本题的教学引导中,教师不仅教会了学生解本题,还借助变式不断拓展学生的思维,引导学生从不同的维度来思考与探索解决问题的办法,促使学生通过解一道题,获得解一类题的能力.这种教学方式,不仅凸显了多角度思考可拔高数学思维,还借助教学过程渗透了分类讨论、转化与化归等思想方法,从真正意义上实现了深度学习.

2.3 合作学习可活化思维

合作学习是当前课堂中的常见教学模式.合作学习可拉近师生、生生以及知识间的距离,每个学生将自己的想法与解题思路表达出来,可给其他小伙伴带来启迪,通过组内讨论获得获得更优、更便捷的解题思路.

本节课教学的核心在于引导学生养成从问题条件所提供的信息中提取关键信息的习惯,获得融会贯通的解题能力.这一类问题的解题关键在于“构造法”的应用,即将待求的原数列,转化成学生所熟悉的等差数列或等比数列,最后求得通项公式.解题所涉及到的k值,无需机械性记忆,只要掌握其形成原理即可获得.

纵览本节课的教学流程,引导式与合作交流式的教学方式给学生的思维提供了更大的弹性空间,学生在自主思考与探索中,汲取同伴的优点,改正自己不当的地方,不断获得解题能力的提升.合作交流与良好的思维习惯一旦形成,对学习任何知识或学科都具有良好的促进作用.

总之,借助课堂教学发展学生的数学思维,值得每一位教师去探索、研究,它深刻反映了社会对教育发展的要求,揭示了教学过程与学生的成长具有辩证统一的关系.学生一旦获得了良好的思维能力,在遇到问题时,就能灵活地举一反三,从真正意义上实现学习能力的终身可持续性发展.