开阔思路,寻求多解——2022年全国新高考Ⅱ卷第20题的探究与变式演练

⦿ 海南省文昌中学 杨昌平 林 云

立体几何的综合题主要分为两类:一类是空间线面关系的判定和推理论证.高考中对该部分内容的考查主要是证明平行(线线平行、线面平行、面面平行)和垂直(线线垂直、线面垂直、面面垂直),求解这类问题的思路是,依据线面关系的判定定理和性质定理进行推理论证.另一类是空间几何量(角、距离)的计算.求解这类问题的思路有两种:一是依据公理和定理以及性质等经过推理论证,作出所求几何量,并求之;二是建立空间直角坐标系,借助点的坐标求出平面的法向量和直线的方向向量,利用向量的方法结合相关公式求解[1].

1 真题再现

(2022年新高考Ⅱ卷第20题)如图1所示,PO是三棱锥P-ABC的高,PA=PB,AB⊥AC,E是PB的中点.

图1

(1)求证:OE∥平面PAC;

(2)若∠ABO=∠CBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B的正弦值.

2 解法探究

思路:第(1)问考查线面平行问题的证明,可用“线线平行→线面平行”或“面面平行→线面平行”多种思路,用定义法、判定定理法、向量法来证明.第(2)问考查空间几何量(二面角)的计算问题,可尝试用几何法、坐标法、射影面积法等多种方法来解决.例如解法1,通过建立空间直角坐标系,利用空间向量法求出二面角的余弦值,再根据同角三角函数的基本关系求正弦值;解法2采用了“几何法”,将求二面角正弦值的问题转化为解三角形问题.

(1)证法1：如图2,连接BO并延长交AC于点D,连接OA,PD.

图2

∵PO⊥平面ABC,

AO,BO⊂平面ABC,

∴PO⊥AO,PO⊥BO.

又PA=PB,

∴Rt△POA≌Rt△△POB.

∴OA=OB.

∴∠OAB=∠OBA.

∵AB⊥AC,

∴∠OAB+∠OAD=90°.

又∠OBA+∠ODA=90°,

∴∠ODA=∠OAD.

∴AO=DO.

∴AO=DO=OB.

∴O为BD的中点.

又E为PB的中点,

∴OE∥PD.

又OE⊄平面PAC,PD⊂平面PAC,

∴OE∥平面PAC.

证法2：如图3,取AB的中点M,连接OA,OB,OM,EM.由PA=PB,PO⊥平面ABC,得OA=OB.又M是AB的中点,所以OM⊥AB.又AC⊥AB,所以OM∥AC.

图3

∵OM⊄平面PAC,AC⊂平面PAC,

∴OM∥平面PAC.

又M,E分别是AB,PB的中点,

∴EM∥PA.

同理可得EM∥平面PAC.

∵EM⊂平面EMO,OM⊂平面EMO,EM∩OM=M,

∴平面EMO∥平面PAC.

∵OE⊂平面EMO,

∴OE∥平面PAC.

(2)解法1：以过点A与OP平行的直线为z轴,A为坐标原点,建立如图4的空间直角坐标系.

图4

图5

方法总结:第(1)问的证法1采用了由“线线平→线面平行”的思路,以作“中位线”为突破口;证法2采用了由“面面平行→线面平行”的思路,从“取AB的中点M”入手.第(2)问的解法1采用了“坐标法”,通过建立空间直角坐标系,利用向量的方法来求解,避免了繁琐的推理论证,显得非常简捷;解法2采用了“几何法”,从求三棱锥的高入手,转化为求三角形一边的高,最后由高之比求出二面角的正弦值.

3 变式演练:与棱锥有关的综合题拓展

图6

(1)求证:平面PCD⊥平面PAC;

(2)求直线PB与平面PCD所成角的大小;

(3)求四棱锥P-ACDE的体积.

分析：(1)从△ABC入手,根据余弦定理先推证出“线线垂直”,最后证得“面面垂直”;(2)通过添加辅助线将其转化为三角形问题,也可通过建立空间直角坐标系,利用向量法求解;(3)先求出底面四边形的面积,然后运用棱锥体积公式求解.

∵PA⊥平面ABCDE,AB⊂平面ABCDE,

∴PA⊥AB.

∵PA∩AC=A,

∴AB⊥平面PAC.

∵AB∥CD,

∴CD⊥平面PAC.

又CD⊂平面PCD,

∴平面PCD⊥平面PAC.

(2)解法1：由(1)知,平面PCD⊥平面PAC,因此在平面PAC内过点A作AH⊥PC于点H,则AH⊥平面PCD.又因为AB∥CD,AB⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,所以AB∥平面PCD.

因此直线PB与平面PCD所成角的大小为30°.

图7

纵观近年来湖北省的高考数学试题(新高考Ⅱ卷),关于立体几何的综合类问题已成为每年的必考题型,例如,2020年第20题,2021年第19题,2022年第20题.这些高考真题与我们平时接触到的课本习题(或复习资料)“形似”或“神似”,大都具有千丝万缕的联系.因此,只要认真研究高考真题,在平时的备考中加强变式、拓展类训练,积极探索,不断开阔解题思路,寻求一题多解的实用方法技巧,就一定能够在考场上轻松应对立体几何类解答题.