“三角函数的概念”教学实录与思考

⦿ 内蒙古赤峰学院数学与计算机科学学院 谭 波 李婉瑜 周 惠 汤 获

“三角函数的概念”是人教A版(2019年)必修第一册第五章第二节的内容.本节课的内容起着承上启下的作用,承接初中阶段的锐角三角函数和高一阶段第一章集合的内容,为学生后续学习三角函数的恒等变换、三角函数的图象与性质等内容作铺垫,同时又渗透了数形结合、转化与化归的数学思想,培养学生的抽象能力、建模能力以及利用信息技术解决实际问题的能力.近期,笔者在内蒙古赤峰市S中学见习,观摩了A教师一节“三角函数的概念”课,现结合教学过程实录提出一些思考.

1 教学过程

1.1 回顾旧知,概念引入

师:同学们,我们在初中用什么函数模型刻画匀速直线运动、自由落体运动和抛物线运动?

生:一次函数和二次函数.

师:在客观世界中,许多运动有着循环往复、周而复始的规律,我们把这种规律称为周期性.今天我们以圆周运动为例,学习周期性现象的函数模型.

1.2 理解感悟,概念形成

师:如图1,圆上的点P以A为起点做逆时针旋转,旋转一周后,又回到了原来的位置,这体现了函数的什么性质?

图1

生:周期性.

师:点在运动时,影响其位置的因素有哪些?

生:角、圆的半径和圆心的位置.

师:以点O为圆心,1为半径画弧形成的单位圆,圆上任意一点的位置仅与角度有关.

师:要建立一种模型刻画函数关系,点的位置要用什么表示?

生:实数.

师:那下一步应该怎么做?

生:建立平面直角坐标系.

师:如图2,以O为原点,OA为x轴的非负半轴,建立平面直角坐标系,则A(1,0).设点P的坐标为(x,y).

图2

1.3 建构课堂,师生探究

师:对于任意角,它的终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标是否唯一确定?(通过几何画板演示.)

师:通过演示发现,当角变化时,交点的坐标也随之变化.

师:对于任意角,都有唯一的值与之相对应.那么这种对应关系叫什么?

生:函数.

师:初中我们学过锐角三角函数,它是如何定义的呢?

图3

探究2:如何定义任意角的三角函数?

设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y).

①把点P的纵坐标叫做α的正弦函数,记作sinα,即y=sinα;

②把点P的横坐标叫做α的余弦函数,记作cosα,即x=cosα;

生:不能.因为x≠0.

1.4 巩固新知,课堂小结

师:对的,由于终边相同,因此它们对应的三角函数值相同.这体现了三角函数的周期性.

生:设点坐标,过点P和P0,作x轴的垂线,利用相似三角形关系,可以得出比值.

师:我们写出证明过程.

图4

师:由习题及勾股定理可知,只要角终边上任意一点的坐标已知,就可以求得该角的三角函数值.这是求三角函数值的另一种方法——“终边定义法”.

2 思考

(1)创设问题情境,培养抽象思维

三角函数的概念涉及几何与代数两方面内容,是本章的教学难点.部分学生缺乏数学抽象思维,针对这种情况,笔者建议采用情境教学法引入概念,通过创设生活情境,加深学生的学习体验,将抽象的函数概念形象化,有助于达到事半功倍的教学效果.比如,在三角函数概念引入前可创设问题情境:“同学们在日常生活中坐过摩天轮吗?”(通过PPT展示伦敦眼的图片)“摩天轮在转动的过程中,座椅离地面的高度会变化,那么如何描述游客所在的位置?”通过这些情境的创设,有助于学生更好地理解三角函数的概念.

(2)引入数学文化,拓展学生视野

数学文化应融入数学教学活动.在日常教学活动中,教师应有意识地结合教学内容渗适相应的数学文化,引导学生了解数学的发展历程,向学生阐述学习三角函数的必要性,让学生更容易掌握三角函数的概念.比如,在引出三角函数的概念后,教师可向学生介绍一些相关数学史:公元6世纪,印度数学家阿耶波多使用了“半弦”和“余角的正弦”,我们现今学习的“正弦”和“余弦”就源于此;古代阿拉伯天文学家使用“横影”和“竖影”,现今的“余切”和“正切”即源于此.三角函数数学史的引入,有利于学生了解三角函数的发展历程.

(3)注重深度学习,组织概念教学