单元复习学案,创新主题设计——基于复数的复习提升课

⦿ 江苏省常熟市海虞高级中学 许文杰

在“新教材、新课标、新高考”的“三新”背景下,复数的单元复习教学设计,可以基于学案形式,借助创新主题设计,侧重于“四基”层面,合理创设知识网络与体系,掌握复数概念的基础性,凸显复数运算公式的应用性,拓展数学思维的灵活性,有效进行单元复习学案教学设计与安排.

复数的复习提升课,针对这一单元进行合理的复习学案设计,构造一个创新完美的形式.具体单元复习学案设计分为以下五个部分:知识网络、知识要点、主题串讲、创新设计与热点强化.

1 知识网络

借助复数的知识网络构建,形成完善的知识体系,合理“织网”,有效针对“把脉”,形成知识“贯通”.其具体的知识网络如图1所示:

图1

2 知识要点

梳理复数的知识要点,进行必要的易错提醒,从而建立知识“要点”,梳理概念“细节”,全面纠正“错误”.

2.1 概念速记

(1)复数的概念:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中a,b分别是它的实部和虚部.若b=0,则a+bi为实数;若b≠0,则a+bi为虚数;若a=0且b≠0,则a+bi为纯虚数.

(2)复数相等:a+bi=c+di⟺a=c且b=d(a,b,c,d∈R).

(3)共轭复数:a+bi与c+di共轭⟺a=c,b=-d(a,b,c,d∈R).

(5)复数的运算:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则

①加法:z1+z2=(a+c)+(b+d)i;

②减法:z1-z2=(a-c)+(b-d)i;

③乘法:z1z2=(ac-bd)+(ad+bc)i;

2.2 易误辨析

z2<0在复数范围内有可能成立,例如,当z=3i时,z2=-9<0.

3 主题串讲

借助主题串讲和典例剖析,“精研”单元知识,借助实例剖析“悟道”,形成知识能力“突破”.

3.1 复数的有关概念

(2)已知复数z1=(a2-2)+(a-4)i,z2=a-(a2-2)i(a∈R),且z1-z2为纯虚数,则a=______.

复数的基本概念是考查的基本点,特别是一些容易混淆的概念,如复数的实部与虚部、纯虚数等概念,具体考查时往往结合复数的四则运算并综合基本概念来交汇与融合,加以合理综合与应用.

3.2 复数的四则运算

分析：通过复数的运算场景,以复数代数形式的四则运算为主,涉及复数的概念、模、几何意义等各个方面的知识点,借助关系式的特征与性质、公式、结论、复数的几何意义以及相应的数学思想方法等加以合理优化与巧妙应用.(答案:(1)4;(2)1+i.)

有关复数的四则运算问题,关键是抓住复数的加、减、乘、除、乘方等代数形式的运算法则,以基本运算法则与常规计算为主,有时还会借助一些复数的运算技巧来综合分析与处理.

3.3 复数的几何意义

例3(1)已知等腰梯形OABC的顶点A,B在复平面上对应的复数分别为1+2i,-2+6i,OA∥CB,求顶点C所对应的复数z.(z=-5)

分析：通过复数的几何意义应用的一些常见场景实例,结合概念、四则运算、综合问题以及创新问题等方面,剖析复数几何意义应用的基本类型与部分的内涵实质,合理交汇,巧妙融合.

复数的几何意义是复数自身的延伸与拓展,也是“数”“形”结合的很好例证,是复数中的“数”与几何中的“形”之间的桥梁.巧妙应用复数的几何意义,利用复数几何意义的“形”的意识,结合复数的基本概念、四则运算等,优化数学运算,提升解题效益.

4 创新设计

借助复数知识的特色加以合理创新设计,融入新教材中新增加的复数公式知识与复数的数学文化场景等.

4.1 三元方程根与系数的关系

例4(多选题)已知函数f(x)=x(x-3)2,f(a)=f(b)=f(c),其中a

A.1

B.a+b+c=6

C.a+b>2

D.abc的取值范围是(0,4)

分析：根据题设条件,利用导数求出函数的单调区间和极值,结合函数的大致图象确定f(x)-t=0的三个根的取值范围,利用三次方程根与系数的关系加以综合与应用,进而判定与之相应的综合应用问题.

基于人民教育出版社2019年国家教材委员会专家委员会审核通过的《数学》(必修第二册)第七章“复数”第81页阅读与思考——代数基本定理,设实系数一元三次方程a3x3+a2x2+a1x+a0=0(a3≠0)在复数集C内的根为x1,x2,x3,则有

其是二次方程韦达定理的深入与拓展,也为高考命题与竞赛命题提供了更多的场景与应用.

4.2 复数的数学文化

例5欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起,充分体现了数学的和谐美.已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂,则ii=( ).(B)

分析：基于数学文化应用场景,根据题设中的欧拉公式加以转化,先确定i的三角形式表达式,进而通过复数指数幂运算,利用与实数指数幂同样的运算性质来合理变形与转化,实现问题的巧妙转化与解决.

对于复数单元,由于复数自身的知识结构特点以及数学文化背景,此部分的试题经常与数学文化巧妙融合,以创新情境来合理设置,成为高考命题中一道融基本特色的风景线.

5 热点强化

借助复数的基本考点类型,结合典型练习进行“演练”,有针对性地强化基础知识与基本能力,达到强基、培优的目的.

这里以对应的练习加以合理配套,结合具体课堂场景以及学生情况合理安排.

具体练习略,一般以6到8题为适量.