关于二次函数综合题的过程突破与解法探究

秦玉

［摘  要］ 二次函数综合题常作为中考压轴题，能够全面考查学生的知识水平和解题能力. 解题探究中要合理开展过程解析，思路突破. 同时总结解题方法，结合实例强化训练. 文章对一道二次函数综合题进行深入探究，探讨面积最值、公共点与交点问题的解法.

［关键词］ 二次函数；面积；交点；抛物线；铅锤法

问题解析，思路突破

1. 问题呈现

（1）求二次函数的表达式；

（2）求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G. 现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个公共点，请直接写出图象M的顶点横坐标n的取值范围.

2. 思路分析

上述为以抛物线为背景的函数与几何综合题，题目设定抛物线与坐标轴的三个交点，以及点P的移动范围，分三小问考查学生的解析能力.

第（1）问求二次函数的解析式，考查待定系数法；第（2）问探究△PAC面积最大值时点P的坐标，考查模型构建与最值分析；第（3）问是关于图形变换与公共点的问题，考查抛物线中的位置关系及解析方法.

问题解析建议采用数形结合的思想方法，根据条件绘制点、线、图形，利用直观的图形辅助挖掘条件，分析几何性质，将几何问题转化为代数问题，利用代数的相关知识运算推理. 同时解题过程注意提取其中的特殊模型及特殊关系，利用其性质定理来转化条件、构建思路.

3. 过程突破

对于以抛物线为背景的函数与几何综合题，采用过程突破的方法逐一破解. 针对复合问题，分步讨论解析，下面具体探究.

（1）待定系数法求解析式.

（2）构建模型分析面积最值.

该问求△PAC面积最大值，以及此时点P的坐标，总体上分两个阶段：阶段一，构建面积模型；阶段二，解析面积最值，确定最值情形，求点P坐标. 下面分三步构建思路，解析突破.

第一步，求直线解析式

第二步，构建面积模型

第三步，解析面积最值

（3）该问构建图形运动，设定所得新图象M与线段PC只有一个公共点，探求新图象M顶点的横坐标n的取值范围，可采用数形结合的方法. 分两步进行：第一步，关注图形运动，推导新图象M的顶点坐标及函数解析式；第二步，数形结合分析，利用函数解析式来控制图象位置，推导坐标位置.

第一步，图形运动解析式推导

第二步，数形结合范围控制

解后评析，方法总结

上述探究了一道以抛物线为背景的函数与几何综合题，题设三问. 其中后两问为核心之问，分别为面积最值和交点范围问题，解析时采用对应的方法构建模型，推理分析，下面开展解后评析，总结方法.

1. 构建面积模型，函数解析求最值

2. 数形结合分析，方程破公共点

上述第（3）问实则为公共点问题，即题目设定公共点，探究参数范围. 解析时采用了“数形结合+位置讨论”的方法，即数形结合分析直线与曲线的位置关系和公共点情况，分类讨论确定范围. 解题时同样分两步进行：第一步，设定动点坐标，数形结合推导点坐标、曲线、直线的解析式；第二步，分类讨论公共点情形，确定位置关系，再联立方程求点坐标，推理坐标参数范围. 该种方法适用于二次函数中的交点、公共点综合问题.

方法应用，拓展强化

上述总结了二次函数中的面积最值和交点、公共点问题的破解方法，探究学习中要深刻理解方法，灵活运用，下面结合实例进一步探究，拓展强化解法.

1. 铅锤建模型，函数破最值

（1）若OC=2OA，求抛物线对应的函数表达式；

（2）在（1）的条件下，点P位于直线BC上方的抛物线上，当△PBC面积最大时，求点P的坐标.

（2）该问解析△PBC面积最大时点P的坐标，可采用铅锤法来构建面积模型，再利用函数性质分析最值.

评析  上述第（2）问解析二次函数中的三角形面积最值问题时，采用了铅锤法，作辅助线，确定模型的铅垂高和水平宽，直接推导出三角形的面积函数，再利用函数性质确定最值情形，求出点坐标.

2. 数形结合定位，位置分析讨论

例2？摇 在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2-2a2x+1（a≠0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线與抛物线交于点B，试回答下列问题.

（1）抛物线的对称轴为直线x=______；（用含字母a的代数式表示）

（2）若AB=2，求二次函数的表达式；

（3）已知点P（a+4，1），Q（0，2），如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，求a的取值范围.

（2）利用抛物线对称轴及点A坐标可求得点B坐标.

当a＞0时，a=1，二次函数表达式为y=x2-2x+1；当a<0时，a=-1，二次函数表达式为y=-x2-2x+1.

（3）该问设定抛物线与线段PQ恰有一个公共点，求a的取值范围，可采用“数形结合+位置分析”的解析方法.

可求得点A坐标为（0，1），a的符号将影响抛物线的开口方向，分情形讨论，具体如下.

情形1：当a＞0时，抛物线开口向上，点Q（0，2）在点A（0，1）上方，如图6所示. 因为点B与点A关于抛物线对称轴对称，则点B坐标为（2a，1）. 分析可知，当a+4≥2a，即点P在抛物线上或在抛物线外部时，符合题意，可解得a≤4；

情形2：当a＜0时，点Q在抛物线上方，点B在点A左侧，当点P在抛物线内部时，满足题意，所以2a≤a+4≤0，可解得a≤-4；

综上所述，a≤-4或0＜a≤4.

评析  上述第（3）问解析公共点问题时，采用了“数形结合+位置分析”的解析方法，根据题设条件绘制图象，结合点坐标确定位置关系，进而推导参数a的取值范围. 同时，结合分类讨论的思想方法，分别讨论位置情形，分析求解.

写在最后

上述深入探究了二次函数中的面积最值、公共点与交点问题，开展过程解析，总结破解方法，形成了解题策略. 探究教学中要注意三点：一是引导学生关注问题特征，提炼解题模型；二是进行解法强化，合理变式，提升解题能力；三是教学中渗透数学思想，开展思想方法教学，让学生体验感悟，提升数学素养.