高中数学教学中引导学生深入思考的策略

2024-04-18 07:40徐献彬
河南教育·职成教 2024年4期
关键词:图象单调解题

徐献彬

高中数学知识内容多且抽象,教学进度快。所以,教学过程中往往存在这样一种现象:课堂上经过教师讲授及学生自主学习,学生对所学新知识似乎弄明白了,但在解题过程中,不少学生又无从下手。究其原因,学生在学习过程中,只是停留在对当前内容的理解上,不能够把知识进行横向、纵向联系,探究新知识过程中不会以旧带新,造成知识点零散,重点知识掌握不好;存在解答问题时就题论题、解题后抱有大功告成心态的不良习惯,重视解题数量和结果,忽视解题质量;解题后没有进一步思考。怎样引导学生深入思考,提高解决数学问题的能力呢?本文就这个问题谈谈个人的一些做法。

深思知识间的联系,提高自主探索能力

我们知道,数学学习讲究延续性和联系性。高中数学内容的每一个模块都是以小学、初中知识为基础,教材中的每一章节都具有承前启后的作用。所以,在教学过程中,教师要根据教学内容,引导学生回顾以前学习过的相关知识点,通过类比方法进一步探究新知识,体会整体与局部之间的关系,提高学生发现问题、提出问题、分析问题及解决问题的能力。

例如,讲“一元二次不等式及其解法”时,教师先引导学生回顾初中数学中解一元一次不等式问题的方法,并思考以下问题:1.一次函数、一元一次方程及一元一次不等式之间的联系是什么?2.解一元一次不等式的方法是什么?3.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式,是否也有这样的联系?4.解一元二次不等式是否也可以运用这样的方法来进行研究?教师通过梳理初中数学的相关内容,类比解一元一次不等式的方法,引导学生从观察二次函数图象入手,探究对应一元二次不等式的求解方法,帮助学生归纳求一元二次不等式解集的方法步骤,使学生根据知识间的联系学习新知识,提高学生的自主探索能力。

深入分析单元内容,归纳形成知识网络

数学课程中每个单元的知识点都是相互联系的,每一个知识点都是这个单元的一个因子。在教学过程中,教师要引导学生及时分析单元学习内容,归纳形成知识网络,激发学生学习数学的兴趣,提升数学核心素养。

例如,“集合”这一个单元,内容多、概念多、符号多、定义严格,学生学习起来容易产生厌烦情绪,如果这个单元学不好,对以后好多内容的学习会造成一定的影响。所以,学习完本单元,教师要及时引导学生对集合内容进行深入分析,归纳形成知识网络(见下图),帮助学生熟练掌握集合有关知识。

深思基本数学思想,提高解决问题能力

基本的数学思想一般指数形结合、分类讨论、类比、转化与化归、函数与方程思想等。在教学过程中,教师要引导学生深入思考并运用基本数学思想,进而提高学生解决问题的能力。

例如,讲“对数函数的图象与性质”时,由于对数概念是建立在指数概念基础上的,对数运算与指数运算有着密不可分的联系。所以,这节课教师采用类比指数函数图象与性质的研究过程、方法来研究对数函数的图象与性质,使学生掌握类比方法。研究对数函数的性质时,教师从具体的对数函数y=log2x和y=log■x入手,让学生自己动手画出这两个函数图象,观察图象的特征,分析得出函数图象都在y轴右边,过定点(1,0),归纳出对数函数的图象与性质,再分析各图象间的共同点与差异。教师引导学生结合函数解析式,总结出一般对数函数的图象与性质,包括定义域、值域、所过的定点及单调性。教师运用对数函数的图象研究对数函数的性质,使学生利用数形结合的思想方法解决问题,掌握从特殊到一般的归纳方法。

深入分析解题方法,归纳总结一般规律

我们知道,数学成绩优秀的学生大多数都善于思考和总结。解题时,他们会很快判断出问题所属的类型及其解决的方法,然后规范、准确地完成解答过程。所以,在教学过程中,教师要精选典型例题,引导学生深入分析解题思路和方法,总结出一般规律,达到触类旁通的效果。

例如:求函数f(x)=8+2log0.5x-(log0.5x)2的单调区间。

解:由已知条件求得函数定义域为(0,+∞),分解函数,内层函数u=log0.5x,当x在(0,+∞)上取值时内层函数递减,外层函数y=8+2u-u2=

-(u-1)2+9,当u在(-∞,1)上取值时外层函数递增,在[1,+∞)上取值时外层函数递减,设u≤1,解得x≥■。由“同增异减”规律可知,所求函数单调减区间为(■,+∞),单调增区间为(0,■]。

问题解答完成之后,教师引导学生总结出求复合函数单调区间的一般方法步骤:第一步,求出原函数定义域;第二步,把原函数分解为内层函数和外层函数;第三步,求出第二步中所得两个函数的单调区间;第四步,根据内层函数和外层函数之间的关系解出自变量x的取值范围;第五步,根据“同增异减”规律求出复合函数的单调区间。

深思一题多种解法,培养发散思维能力

在教学过程中,教师要注重选择有多种解法的典型例题,通过引导学生从多个角度去分析,用不同的方法去解决,培养学生的发散思维能力,提高学生分析问题和解决问题的能力。

例如:对一切实数x,若|x-5|+|x+2|﹥a恒成立,求實数a的取值范围。

解法1:令|x-5|=0,|x+2|=0,得x=5,x=-2。这样-2、5把数轴分成三部分。1.当x≤-2时,|x-5|+

|x+2|=-(x-5)-(x+2)=-2x+3≥7;2.当-2﹤x﹤5时,|x-5|+|x+2|=-(x-5)+(x+2)=7;3.当x≥5时,|x-5|+|x+2|=(x-5)+(x+2)=2x-3≥7。综上,对一切x∈R,有|x-5|+|x+2|≥7。

因此,要使对一切实数x,|x-5|+|x+2|﹥a恒成立,只需a﹤7。所以实数a的取值范围是a﹤7。

解法2:根据绝对值的几何意义,|x+2|可看作数轴上点P(x)到A(-2)的距离,|x-5|可看作点P(x)到B(5)的距离,由于|AB|=7,因此,线段AB上每一点到A、B的距离和都等于7,当点P在线段AB延长线上或在线段BA延长线上时,一定有|PA|+|PB|﹥|AB|=7,即直线AB上任一点到点A、B的距离和都大于或等于7,所以a﹤7,即实数a的取值范围是a﹤7。

深思问题易错之处,提高正确解题能力

数学成绩优秀的学生大多数都有错题本,他们及时记下了解答问题过程中出现错误的题目,寻找错误之处,分析错误原因,思考解题思路,规范、正确地写出解答过程,这是提高数学成绩的一个非常有效的方法。所以,在教学过程中,教师要精心选择学生容易出错的典型例题,设置“陷阱”,引导学生去深入思考,提高学生正确解答问题的能力。

总之,学好高中数学,不仅要有坚强的毅力,还要有科学的方法。教师在教学过程中要引导学生深入思考。在学习过程中进行深入思考,有助于学生了解自我学习的实际水平,感知知识的生成过程,把握知识形成的发展倾向,提高判断能力,发现解决问题的途径,发展数学核心素养。

(本栏责编 桑 涛)

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