关于一个中考总复习中常见的错题的研究

罗明珍

【摘 要】  本文围绕着一个初中数学错题展开讨论，探究题目出错的原因，以及给出修正意见.

【关键词】  命制试题；合理性；半径

在《义务教育数学课程标准（2022年版）》中指出，命制试题要确保命题框架合理、试题命制规范、内容准确无误.笔者在带领学生做中考复习中，发现了一个已知条件之间互相矛盾的题目.

1  错题的发现

在中考的总复习中，我们会做到这样一个题：

如图1，已知BC切⊙O于点B，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过点D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．如果CD=15，BE=10，，求⊙O的半径．

解法1  如图2，过点C作CG⊥BE于点G，

因为CE=CB，

所以EG=BE=5，

因为∠ADE=∠CGE=90°，∠AED=∠GEC，

所以△CGE∽△ADE，

所以

所以

所以

所以

所以

因为

所以                                       图2

所以在Rt△ADE中，根据勾股定理，

因为点D是OA的中点

所以

所以⊙O的半径是.

解法2  如图3，连接OB、OC.

因为BC切⊙O于点B

所以

因为.

所以设，.

所以在Rt△ADE中，根据勾股定理，

.

因為点D为半径OA的中点

所以

因为                                      图3

所以

因为在Rt△COD中，根据勾股定理，

在Rt△OBC中，根据勾股定理，

所以

所以

所以⊙O的半径是.

解法1利用相似的方法求出了⊙O的半径，解法2用OC作为桥梁，根据勾股定理列出了方程，解出了⊙O的半径.两种方法都没有知识性的错误，可是算出了两种不同的结果.究竟是哪里出了问题呢？

2  错因分析

题目条件出错了！因为在的条件下，可得，所以CD=15与BE=10不能同时成立！

证明如下：

题目  如图4，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．如果，求的值．

解  过点C作CG⊥BE于点G，过点O作OH⊥AB于点H.

因为.

所以设，.

所以在Rt△ADE中，根据勾股定理，

.

因为点D为半径OA的中点

所以

因为在Rt△ADE中，，

在Rt△AHO中，

所以

所以

解得.

因为OH是⊙O的半径，且OH⊥AB

所以

所以

因为，CG⊥BE

所以

因为

所以

所以

所以

所以

所以

3  题目修正

如图5，已知BC切⊙O于点B，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过点D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．如果CD=15，，求⊙O的半径．

解：用解法2来解即可.

4  反思

数学考试题目的命制环节很多，从选材、搭建题目框架、到反复解答检验，每个环节都要求严谨，考虑周全.还要严格审查题目的考查内容、图形比例与条件是否一致.只有通过多角度的求解、验算和斟酌，才能尽量避免题目与解答出现偏差的情况.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022