构建乘法运算联系 探寻乘法运算本质

董永奎

一、基于经验，掌握算法

师板书：0.3×4=。

师：老师有个要求，不能只写答案，要把你的想法写下来，看一看能想出来多少种算法。

学生独立思考。

师：小组讨论，把你的想法讲给其他同学听。

小组合作交流探究，派代表上台展示方法（如图1、图2、图3）。

此时有学生对方法2（如图2）产生疑问：竖式中的4究竟和谁对齐。学生陷入困境，顾老师提议先保留问题。接着学生展示方法三（如图3）。

生1：12÷10运用小数点移动的方法，12除以10 就是小数点向左移动一位，所以答案是1.2。因为我们还没有学过小数的乘法，我们可以先把它转化为整数，最后再除。

师：这个方法是利用我们学过的积的变化规律的知识，先乘10，然后再除以10。

生2对上述方法2进行补充（如图4）。生3建议写成脱式计算更加简便。（如图5）

生4质疑：0.3×4是小数乘整数，0.3×2这不也是小数乘整数吗？

生2回应：4可以分成2+2，把算式分成了0.3×2加 0.3×2，最后答案一样。

师：也就是说这样乘2口算更简单，不用进位。

生2受启发提出另一种方法：因为0.3×3等于0.9，也不用进位，也很好算。（如图6）

生5质疑：这个方法不简便。如果直接用0.3×4，只列一个算式，如果列很多算式，可能会出错，最后结果可能算错。

师小结：把4个0.3加在一起，或者利用乘法的意义，把4个 0.3分成3个加1个或者是2个加2个都可以，但是这样分起来会有点麻烦。

【赏析】学生已经学习并掌握了整数乘法的意义和运算方法、因数与积的变化规律、小数的意义和性质、小数加减等知识，因此能够较容易地计算出结果，但要把算理说清楚，对学生来说有一定的难度。在整个交流环节中，学生从乘法的意义、列竖式、积的变化规律等角度呈现多样化的算法。顾老师并没有把最优方法直接告诉学生，而是让他们充分表达各自观点、评价别人做法、对比不同算法，在交流中通过彼此的补充、完善，使思考过程更加有序、完整，对自己已有的认知经验进行了重组，不着痕迹地完成了运算方法的优化，既给予学生独立探索的空间，又尊重了学生不同的认知水平。

二、几何直观，联通算理

1.对话交流，明晰算理。

师：在顾老师班里有一个同学是这样做的，大家看能不能看得懂？（图7）

生1：这里的一格代表一个0.1，一大格就代表1。

生2：4个3就先涂12格，左面正好涂满一大格，小数满十进位，表示1，右面只涂了2格，表示0.2。所以这个画图法表示出来的小数是1.2。

生3：要求的是4个0.3是多少，图中1格是0.1，画3格，也就是0.3，要求4个0.3就要画12格，而12个0.1就是1.2。

师小结：把这个大长方形平均分成10份，这一小份代表0.1，三份就是3个0.1，也就表示0.3，4个0.3就是12个0.1。12个 0.1也就是1.2。我们今天用这种方法来看小数乘整数，只要利用我们之前学过的乘法口诀“三四十二”就可以解决，但要清楚，这个12表示的是12 个0.1，所以答案是1.2。

【赏析】在运算教学中，数形结合可以使算理显性化，学生能够更直观地以整体眼光理解“数是对多少个计数单位的表达”。打通了数域之间的联系，架起“数与运算”的桥梁，体会整数乘法与小数乘法在算理层面的一致性，让运算教学走向深刻。

2.对比联系，沟通算理。

师：考考你们，0.03×4等于多少？

生：我列的算式和上面的一样，先算3×4=12，3表示3个0.01，得数12 表示12个0.01，也就是0.12。

师：现在是两位小数，如果我再往下写下去，你们会吗？（图8）是不是几位小数都没有问题啦？

【赏析】顾老师基于小数计数单位阐述算理，引导学生将新知与整数计数单位联系起来，理解数与运算概念系统的内在联系，通过类比发展推理意识。

三、立足困惑，厘清道理

1.暴露問题，阐明观点。

师：回过头看数位如何对齐的问题，我们在学小数乘整数时遇到了困难，可以想想之前学过的整数乘整数。这些3写在谁的下面？

板书：250×3=，2500×3=，2.5×3=。

生1：3写在5的下面，因为前两个3都要写在最后一位下面，所以第三个也要写在最后一位数的下面。

生2：第一道题250中的0是个位，3也是个位，所以3要写在0的下面。第二道题中最后一个0是个位，所以3应该写在最后一位。第三道题是一位小数，小数点前面的2是个位，所以3应该写在2的下面。

生3：我跟他们的想法不同，我觉得3应该写在5的下面，如果写在2的下面，计算就不方便了。

生4：2.5×3中的3写在5的下面，虽然表达的是3个0.1，但是脑子里应该想的是3个1，先算25×3，计算完后再把得数除以10。

生5：末尾有0的算式，要把 0 先排除掉，排除掉后再把乘数移到另一个因数的末尾，然后再乘，最后再把剩下的那几个 0 加上。

生6：应该是写在5的底下，因为0×3=0，可以先算25×3，算出得数后再添上末尾的0。

2.师生互动，感悟本质。

师：算式250×3，我们把这个 3 写在 0 的下面，可不可以？（可以）

师：但是像刚才那个同学说的“0×3=0”，我们通常怎么办？（把0排除掉）

师：那不叫排除掉，我们一般把这个0遮住，我们算的是什么？（25×3）

师：这个25表示的是25个10，求出来的75是75个10，所以要把这个0 给它怎么样？（添上）

师：同样道理，2500×3，这个3放在哪里？（5的下面）

师：这个25表示的是25个100，乘3得出来的是75个100，所以要把这个0给它添上。这个2.5×3，我们看的是25个什么？（25个 0.1）

师：乘3，得出来的是75个0.1，我们把什么再给它添上？（小数点）

师：所以现在知道我们通常把3放在谁的下面了吧！当然放到哪个下面都可以。为了方便，带0的或带小数点的数，先不看0和小数点，把它看成什么相乘？（两个整数相乘）

师：所以虽然我们今天学的是小数乘整数，但是它的计算道理和之前整数乘整数怎么样？（一样）

【赏析】新知识的学习和生长依托于知识系统，顾老师巧妙利用“数位怎样对齐”这个问题沟通了旧知整数乘整数和新知小数乘整数之间的联系。学生通过观察、比较整数乘整数和小数乘整数两类算式，发现不论是整数乘法还是小数乘法，都只关注计数单位和它的个数，突出了计数单位参与运算的重要性，建立起结构化知识网络，体现了运算一致性。

（作者单位：河南省武陟县乔庙镇乔庙小学 责任编辑：王彬）