例谈画图策略运用于数学问题解析的意义与价值

彭珍

【摘 要】数学研究的对象是数量与图形，数图结合是学习数学理论、解析数学问题的重要方法。本文援引教学案例探讨画图策略运用于小学数学习题解析的意义与价值，以培养并提升学生的数学思维，从而促进学生核心素养的形成和发展。

【关键词】教育教学 小学数学 画图 习题解析

数量与图形的关系密不可分，二者大多数情况下可以互相切换表达，比如矩形的面积可以表示为两个实数的乘积，圆周率可以表示为圆周长与直径的比例。因此，在数学教学中，教师要高度重视引入图形，讲授新课时通过画图呈现数量关系，促进学生理解和吸收数学知识；讲解习题时，通过画图示范，引导学生养成运用图形分析数量关系的习惯，提高解决实际问题的能力。

小学生的数学知识储备与思维水平均处于低层次阶段。 他们虽然能够进行加减乘除等基本运算，然而当数学问题以更复杂的形式出现时，他们却难以建立事物和数量之间的逻辑关联。尤其中高段的解决问题，大都以文本形式呈现，情境设置和问题设置更为灵活，因而在解决实际问题时，引入图形辅助分析可以简化问题情境，提取关键信息，建立已知条件与所求问题的关系，从而厘清思路，正确而快速地解答数学问题。

一、化繁为简，直观呈现习题中的数量关系

教师应认识到以文本形式呈现的数学习题，其中有些文字信息并无实际意义，只是起到支撑和连接作用，而解答数学问题的根本目的是根据条件寻求解决方案，得出结论。因而，教师应引导学生解析数学问题时学会提取关键信息，去除杂芜的文字，简化情境内容，突出数量关系。

习题1：李华想测量半桶水的深度，他把竹竿垂直插到桶底，量得竹竿露出水面的长度是43 cm，然后把竹竿倒过来在同一位置插到桶底，量得竹竿没有被水浸湿的部分是20 cm，问：桶中的水深多少？

见图1，教师引导学生通过画图提取关键信息：第一次量得的水面竹竿长度43 cm实际上获得被减数，第二次倒过来插入桶中测量水面没有浸湿的部分20 cm实际上获得减数，桶内的水深就是它们的差值：43-20=23 cm。可见，画图策略可以简化情境，让学生的思维聚焦在数量信息上，通过图形表征帮助学生厘清思路，学生能够直观地发现已知条件与所求结果的关系，快速地找到解决问题的方法。

二、还原真实情境，得出符合生活實际的结论

学习知识是为了解决生活中的实际问题，知识是基于生活现象和规律概括出的抽象理论，现实生活与理论知识必然有一定的差距，不能运用纯理论来指导并解决生活实际问题。指导学生合理运用画图策略解决数学习题，能够还原真实的情境，从而得出符合现实生活的结论。

习题2：李华从1楼步行到3楼用了36秒，按同样的速度从3楼走到6楼还需要几秒？

此题的数字信息具有迷惑性，单从字面来看，很多学生误认为1到3楼有3层，而时间36秒恰好可以被3整除，快速求出步行一层所需要的时间：36÷3=12（秒），导致最终得到错误的答案：3×12=36（秒）。但是如果学生运用画图策略解答可以避免这种“想当然”的错误（见图2）。根据图形，可知1楼到3楼实际只有2层，步行一层楼所需要的时间是：36÷2=18（秒），3楼到6楼共有3层，即：3×18=54（秒）。经此例，引导学生发现数学问题有时候并不是表面数量的加减乘除运算，而是要根据实际情况对数据进行综合分析、选择和处理，通过图形表征，更易于得出符合生活现实的结论。

三、画图策略可以发现并纠正解答过程中的疏漏

解决数学问题不单单是运用数学知识进行数学运算的简单过程，还要求学习者具有缜密的思维和严谨的态度，在解答问题过程中要学会反思，并养成通过检查、验算查找错误的习惯，从而训练理性思维，培养严谨的科学精神。画图策略运用于习题解答，不仅能直观呈现数量关系，甚至能直观呈现结论，让学生能够便捷地发现解题过程中存在的疏漏。

习题3：甲、乙两个工人修剪花圃，每人每天可以修剪1亩，甲工人工作2天休息3天，乙工人工作3天休息2天，问：修剪100亩花圃需要几天完成？

对于小学生来说，这个题目较为复杂，没有现成可以套用的数学公式，它与常见的求时间、求速度（效率）等解决问题不同，教师可以引导学生运用画图策略，用■代表劳动，用□代表休息，得出图3。

甲：■■□□□■■□□□■■□□□……

乙：■■■□□■■■□□■■■□□……

通过图形观察工作进展情况：如果以5天为一组，每5天都能修剪5亩花圃，即平均每天修剪1亩，则完成100亩任务需要100天。这个解题思路是新颖的，似乎无可挑剔的，实际情况并不是如此。观察上图，发现第4、5、9、10、14、15……（即5n-1和5n，n≥1）天，甲、乙两人都在休息，每修剪5亩花圃只要三天完成，类推并观察图形，完成修剪100亩任务并不需要100天，第100亩的任务在第98天时由乙工人单独完成。因此，图形表征既给学生提供了解答数学问题的方法，也培养了他们细致、缜密的科学精神，正是图形表征运用于习题解析的价值所在。

四、画图策略可以训练学生的数学思维

图形表征，即在习题解析过程中，由文字简化为图，由图形揭示题目中数量的变化与关联。这个过程驱使学生更为深入地进行信息的提取与分析，从题中的文字表述过渡到图形中抽象的数量关系，学生的观察、概括、猜测、推理和归纳等思维活动都得以锻炼，达到培养学生数学思维的目的。

习题4：李白返家沿途赏花，每遇见一处花丛就喝壶中酒的一半，每路过酒家就买半斤酒添到壶中。已知李白这一天交错遇见花丛和酒家，途中共停留5次，到家时，壶中还有4两酒，问他出发时壶中原有多少酒？

教师分析引导：本题有两个重要信息，“交错”意味着李白没有连续遇见花丛或酒家，至于先遇见花丛还是酒家需要根据“剩4两酒”来逆推，如果最后一次遇见酒家，壶中至少半斤酒以上，可见最后遇见的是花丛。通过逆向推理，逐步计算出每一个落脚点壶中酒的数量，最后求得李白出发时壶中原有2两酒（如图4）。通过此例培养学生对已知信息进行综合处理的能力，运用信息的不兼容特点进行“排他”选择，学生学会了逆向推理的方法，具有较高的思维训练价值。

画图策略是学习数学和解析问题的重要方法，其本质是简化题干信息，突显数学知识、数学规律和数量关系，从而引发学生思考，厘清解题思路，提高解题速度和正确性。教师运用数图结合的教学方法，可以激发学生的学习兴趣，降低学习难度，促进学生对知识的理解，掌握科学的解题方法，训练理性的逻辑思维，培养严谨的求学态度，领略数学世界的美妙。

（作者单位：福建省将乐县城关中心小学 责任编辑：宋晓颖）