从三角形面积公式到正余弦定理和三角恒等式

江西省南昌十中经开校区 (330013) 黄婧文

本文将通过三角形的面积公式导出正余弦定理和三角恒等式,过程中并不需要其他新知识作为铺垫,不但能够将初中平面三角形和高中三角知识有效的衔接,也能使得后置的正余弦定理和三角恒等式更早更自然的进入学生视野,以便后期学生学习相关内容时能够有更深入的认识.

1.正弦定理

2.余弦定理

若给定ΔABC,∠A、∠B、∠C对边边长分别为a、b、c,则c2=a2+b2-2abcosC.

图1

3.三角恒等式

设α、β是两个角,则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.

下面仅证此公式,因为根据此公式和诱导公式可以推导出其他和角公式、差角公式.

图2

图3

在诱导公式、正余弦和角、差角公式的基础上,其他诸如积化和差、和差化积、半角公式、万能公式等三角恒等式均可通过简单的代数运算和换角得到,亦可如上考虑其直观的面积证法.通过直观的三角形面积法来证明正余弦定理和三角恒等式,学生不仅能够更快的接触并熟悉和记忆这些公式,而且能够融汇贯通初高中的三角相关知识.