循需·循径·循联：小学生推理意识培养的结构化路径——以“三角形的内角和”的教学实践为例

浙江海宁市实验小学（314499） 卢 特

在《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（全文简称《课程标准》）中，推理意识是核心素养在小学阶段的主要表现之一。数学推理包括合情推理和演绎推理两种形式，二者相辅相成，在数学发展过程中，常常强调让学生经历从合情推理到演绎推理的过程，进而形成讲道理、有条理的思维习惯，培养学生的推理意识。推理促使理性精神的形成，推理意识体现着一种学习过程。

下面笔者以“三角形的内角和”一课的教学实践为例，阐述培养推理意识的实施路径。

一、循需而谋：找准思维生长点，引发数学推理

数学推理教学要直面学生的生活经验和认知基础，找准思维的生长点，从推理原点设计问题情境，有意识地引发认知冲突，以此激发思维上的矛盾，让学生对知识产生强烈的学习需求，启发学生进行自主探究，引发数学推理活动。

（一）初次实践，突破已有认知

真正的学习并不仅是把书本知识教给学生，而是让学生学会学习。教学要立足学生的实际情况，以分析与研究学生学情为基础，让数学教学真正地站稳儿童立场，回归教育本真。

笔者结合教材内容和自己的教学经验，实施了“三角形的内角和”第一次试教，主要有如下环节：环节一，出示三角形，让学生猜一猜三角形内角和的度数；环节二，组织学生探究，引导学生使用量一量、拼一拼和折一折的方法，得出“三角形的内角和是180°”的结论；环节三，利用“三角形的内角和是180°”这一结论进行巩固练习。

这样的设计遵循了教材的编排思路，但在教学实践中，存在以下问题。

教学起点把握不准。在环节一，当教师抛出问题“这个三角形的内角和是多少度？”时，有学生很快回答“180°”，导致其他学生对这一内容的探索欲不高。在环节二，学生都得出了“三角形的内角和是180°”的结论，整个环节，没有学生得出不同结果或提出疑问。由此说明，学生对“三角形的内角和是180°”这一结论不陌生，对探究任务没什么兴趣。

缺少对学习素养的培养。探索与掌握“三角形的内角和是180°”这个数学结论具有重要意义，从数学内容来看，它是学生对三角形认识的深化，任意形状、大小的三角形，内角和始终是一个定值，这个结论对学生来说应该很有吸引力，更重要的是，这一内容对于培养学生推理意识有着非常重要的价值。但在第一次课堂实践中，缺乏像“所有三角形的内角和都是180°吗？”“除了量、折、拼，还有哪些方法也可以验证三角形的内角和是180°？”这样具有推理价值的思考，学生的学习只停留在对知识技能的掌握和理解上，表现出探究欲低、思维停滞等情况，缺乏探究精神的培养。

（二）基于前测，主动链接思考

真实有效的教学基于教师对学生知识起点的深刻把握，鉴于对第一次教学实践的分析与思考，为了更好地了解学生的学情，笔者对本校四年级某班的44名学生进行了前测，问题和结果如下。

前测问题：有两个形状相同、大小不同的三角形（图略），请比较这两个三角形内角和的大小。

前测结果：参加测试的44人中，仅有10人认为这两个三角形的内角和相等且都是180°，有34 人认为大三角形的内角和更大。

前测结果分析：虽然许多学生都知道“三角形的内角和等于180°”这个结论，但是，多数学生不知道这个结论是如何产生的，也不知道如何证明或验证。因此，当学生面对两个形状相同、大小不同的三角形时，大与小的对比让学生对“已知结论”产生了怀疑，部分学生会依据思维定式说出“三角形大，内角和就大”，这也恰恰说明了学生的“已知”，只是表面的“已知”，他们对知识的认识不牢固、不坚定。

基于以上分析，笔者把教学目标定位在验证上，而不是定位在获取结论上，即着重说明“为什么三角形的内角和是180°”。

【教学片段1】

师：关于三角形的内角和，你们已经知道了什么？

生1：三角形的内角和是180°。

生2：在学习用量角器量角时，老师说过三角形的内角和是180°。

师：（课件呈现不同的三角形）这些三角形的大小、形状完全不一样，难道内角和都是180°吗？

（有学生说都是180°，有学生质疑。）

第一个问题，了解学情，让学生提出“三角形的内角和是180°”的结论，充分暴露已知。第二个问题，启发学生思考，在这些三角形的视觉冲击下，学生对先前的“已知”产生了疑惑，有效激发了学生学习的欲望，引发数学推理活动。

二、循径而行：捕捉思维冲突点，发展合情推理

合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果，常用于探索思路、发现结论。儿童的思维具有直觉性，缺乏分析和推理的过程，往往会直接把“猜想”当“结论”来使用，这样不利于学生对推理本质的理解。在教学“三角形的内角和”时，教师可以结合四年级学生的认知特点，在课堂上捕捉“用操作实验的方法，仍然可能存在误差”的思维冲突点，引导学生寻找验证“三角形的内角和是180°”的不同路径。

（一）直面疑问，理性分析思考

面对内角度数未知的三角形，学生想到用“量角法”和“剪拼法”来验证，但这两种方法都属于操作验证，误差无法避免。教师可以引导学生研究“三角形的内角和是180°”这一结论，思考如何避免误差。促使学生进一步研究，寻找更为科学严谨的验证方法。

【教学片段2】

（教师让学生任意画一个三角形，独立测量后汇报结果。）

师：请看大家的结果，同学们得出的三角形内角和有的是178°，有的是183°，还有的是……“三角形内角和是180°”的结论好像不成立呀？

生1：这些答案都很接近180°，有可能是误差造成的。

生2：我觉得测量只能说明有可能是180°。

师：测量容易产生误差，你们还有其他办法探究三角形的内角和吗？利用课前老师请你准备的三角形研究一下吧。

生3：我们把三角形三个内角剪下来拼在一起，拼成一个平角，因为平角是180°，所以三角形的内角和是180°。

生4：用剪拼的方法，角与角之间会有缝隙，不能保证刚刚好是180°。

师：测量法有误差，剪拼法也有误差，还有没有更好的方法？

……

教师给予学生足够的探究时间和空间，设计长线验证路径。路径一，让学生自己画三角形，自己测量、计算。路径二，让学生通过剪拼将角转化为平角验证。教师没有直接帮助学生校正结果，而是把误差作为引子，引导学生寻找更为科学严谨的验证方式。

（二）动态拓展，建立内在联系

学生先后经历了“量角法”和“剪拼法”两次动手操作活动后，发现两种方法仍旧难以避免误差。这就促使学生再次深度思考：还有没有更直观、更精准的方法？在学生思考后，教师通过“转笔法”，让学生深刻体会从静态到动态的数学研究方法，使其在直观操作的基础上拓宽思路，获得理性思考的启迪，培养空间想象能力。

【教学片段3】

师：其实只要利用一支铅笔也能说明三角形的内角和是180°，你们听说过吗？

（学生表示怀疑，教师播放微课。）

师：原来的笔尖朝着右，“量”了三个角之后，笔尖朝左了，这说明了什么？

生1：铅笔旋转了一个平角，平角是180°，说明三角形的内角和是180°。

生2：但是这也是用操作的方法来验证，在操作的过程肯定也会有误差。

学生经历了“量角法—剪拼法—转笔法”三次操作验证的过程，进行了三次合情推理。虽然没有找到严密的推理方法，但在三次推理活动中，学生直面学习中的冲突点和疑惑点。寻找更加严谨的验证方法，它们这正是学生推理意识培养所需要的。

三、循联而用：紧扣思维延伸点，生发演绎推理

演绎推理是指从已有的事实和确定的命题出发，通过规则推断结果的思维方式，主要功能是验证猜想或类比结论的正确性。小学数学教学中，演绎推理更倾向于应用已验证过的结论解决实际问题。学生在经历三次合情推理后，发现“测量法”“剪拼法”和“转笔法”在验证“三角形的内角和是180°”的严谨性方面都存在不足。由此验证“三角形的内角和是180°”的演绎推理呼之欲出。

（一）搭建阶梯，拓展知识认知

在学生经历了用操作性的方式验证“三角形的内角和是180°”后，教师引导学生重新经历推理验证过程，以适度拓展学生的认知。让学生的学习逐步从合情推理走向演绎推理，从形象走向抽象，经历验证三角形内角和的全过程。在培养学生的几何直观能力的同时，也让学生感悟用演绎推理验证结论的严谨性。

【教学片段4】

师：我们知道长方形的内角和是360°，沿着对角线剪开，可以分成两个完全相同的直角三角形，那么每个直角三角形的内角和就是多少？

生1：360°÷2=180°，这样就验证了直角三角形的内角和是180°。

师：利用直角三角形的内角和，怎么验证锐角三角形的内角和？

生2：在锐角三角形中画一条高，分成两个直角三角形，它们的内角和都是180°，相加得360°。但其中两个直角拼成的平角并不是大三角形的内角，要减去180°，所以锐角三角形的内角和还是180°。

师：我们用同样的方法，可以验证钝角三角形的内角和也是180°。

教师启发学生借助长方形的内角和推理出直角三角形的内角和是180°。接着引导学生运用“直角三角形的内角和是180°”这一结论推导出锐角三角形和钝角三角形的内角和，学生经历了“长方形的内角和—直角三角形的内角和—非直角三角形的内角和”的推理过程，在获得知识的同时，积累了演绎推理的经验，帮助学生养成了良好的探究精神。

（二）精设练习，丰盈推理体验

教师可通过创设综合性的练习，让学生在不断尝试和挑战中产生思维碰撞，让其所学知识从零散状、碎片式走向整体化、结构化、系统化。

【教学片段5】

师：信封里有一个三角形，现在只知道三角形其中一个内角是30°，这会是个什么三角形？怎样求另外两个内角？

生1：可能是一个直角三角形，其中一个角的度数是90°，剩下一个角的度数是180°-90°-30°=60°。

生2：可能是一个等腰三角形，有两个角的度数都是30°，剩下一个角的度数是180°-30°-30°=120°。

生3：如果这个三角形是等腰三角形，30°这个角也可能是三角形的顶角，那么另外两个角的度数都是（180°-30°）÷2=75°。

……

有效的学习离不开教师精心设计的练习，笔者设计了这样综合性的练习，随着对“这会是个什么三角形”的深入分析和讨论，学生发现可以用分类的方法解决，体会到全面思考问题的重要性。学生在解决问题的过程中，把三角形的内角和定理与三角形的特征联系起来，综合使用知识解决问题，拓宽了思维空间，发展了推理意识。

推理意识的培养，要聚焦学生思维的关键点，学生思维的生长点是学生已有的知识经验，思维的冲突点是学生验证结果时产生的质疑，思维的延伸点是学生对新知与已知的转化。课堂中循着学生的思维，引导学生经历从已知的数学事实出发进行验证推理的过程，让学生学习如何运用已有的数学知识进行解释与说理，以此培养学生的理性思维和科学精神。