巧用等效变换法寻找复合场中的等效重力

■江西省宜春中学 邓子刚

等效变换法是科学研究中常用的思维方法之一,其本质是在确保效果相同的前提下,将抽象、复杂的情境化问题转换成直观、简单的常见模型,达到突出主要因素,显现问题本质的目的。当我们遇到一些涉及多个物体、多个力作用、多个运动过程的复杂物理情境问题时,如果能够找到等效的物理模型,将复杂问题简单化,那么就可以达到事半功倍的效果。下面以寻找带电物体在重力场和匀强电场共存的复合场中的等效重力为着力点,探寻利用等效变换法求解物理问题的技巧,供同学们参考。

一、无约束带电物体所受等效重力

因为电场与重力场的性质具有一定的相似性,所以当一个带电物体处在重力场和匀强电场共存的区域内时,可以先将二者的叠加场等效为一个重力场,将物体受到的重力和静电力的合力视为等效重力,再采用我们所熟悉的物体在重力场中的运动规律进行分析与求解。

例1如图1 所示,空间内分布着沿水平方向的匀强电场,图中五条虚线表示等间距的匀强电场的等势面,其电势如图中标注。一带电油滴以与水平方向成α角的初速度v0从A点射入电场,沿与初速度v0方向相同的直线(实线)运动至B点后再返回至A点。

图1

(1)判断油滴所带电荷的电性。

(2)若当地重力加速度为g,求油滴从A点运动至B点再返回A点的过程中所用的时间。

解析:若油滴自身重力可以不计,则油滴将做曲线运动。因此油滴自身重力不可忽略,且重力场和匀强电场叠加后的等效重力场的重力加速度g′与AB连线在同一条直线上。

(1)根据图中所标数据可知,匀强电场水平向右。因为油滴从A点运动至B点,速度减小,动能减小,电势能增大,所以油滴所受静电力做负功,油滴带负电。

(2)类比物体在重力场中的运动情况可知,油滴沿AB连线做竖直上抛运动,根据竖直上抛运动规律可得,油滴从A点抛出至返回抛出点所用的时间,其中g′=,解得

点评:利用等效重力场,可以把复杂的叠加场变成简单的单一场,将陌生的问题转化为我们所熟悉的重力场中的问题,从而简化解题过程,提高解题效率。

二、轻绳约束下带电物体所受等效重力

轻绳约束下的带电物体在重力场和匀强电场共存的复合场中运动时,物体可能受到重力、静电力和轻绳拉力的作用,其中重力和静电力的大小和方向均保持不变,可以将二者的合力视为等效重力,轻绳松弛时对物体的作用力为0,轻绳绷紧时对物体产生拉力。

例2如图2 所示,在竖直平面内分布着水平向右的匀强电场,电场强度E=1×104N/C,一质量m=0.04 kg,带电荷量q=3×10-5C 的 小 球,用 长l=0.4 m 的细绳悬挂在O点,取重力加速度g=10 m/s2。

图2

(1)当小球处于平衡状态时,求轻绳偏离竖直方向的角度α。

(2)若使小球能够在竖直平面内做完整的圆周运动,则在平衡位置至少应以多大的线速度释放小球?

(2)类比物体在重力场中的运动情况可知,小球在等效重力场中做圆周运动时,等效最低点是平衡位置A,等效最高点是过O点与竖直方向成α=37°角的直径AB的端点B,如图3所示。设小球到达等效最高点B时的最小速度为v,根据,解得v= 5 m/s。在小球从A点运动到B点的过程中,根据动能定理得,解得小球从A点释放时的最小速度v0=5 m/s。

图3

点评:轻绳约束下带电物体在复合场中做圆周运动时,虽然带电物体的受力分析中多了一个轻绳的拉力,但是求解策略依然是先将重力场和匀强电场的叠加场等效为一个重力场,再采用重力场中物体的运动规律求解相关问题。

三、轨道约束下物体所受等效重力

轨道约束下的带电物体在重力场和匀强电场共存的复合场中运动时,物体可能受到重力、静电力和轨道弹力的作用,其中重力和静电力的大小和方向均保持不变,可以将二者的合力视为等效重力,单侧外轨道对带电物体提供指向圆心的弹力,单侧内轨道对带电物体提供背离圆心的弹力。

例3如图4 所示,水平轨道AB与半圆形轨道BCD相切于B点,半圆形轨道BCD的半径为R,固定在竖直平面内,轨道表面均光滑绝缘。在竖直平面内分布着水平向右的匀强电场,电场强度一质量为m,带电荷量为+q的小球,从距离B点为处的M点以一定的初速度v0沿水平方向向左运动,经过B点后恰能运动至半圆形轨道的最高点D。已知重力加速度为g。

图4

(1)求小球的初速度v0。

(2)小球从轨道最高点D抛出后落在水平轨道上的N点(图中未标出),求小球落点N到B点间的距离x。

点评:轨道约束下带电物体在复合场中做圆周运动时,带电物体的受力分析中多了一个轨道弹力,先将重力场和匀强电场的叠加场等效为一个重力场,再采用重力场中物体的运动规律求解相关问题,依然可以达到简化解题步骤,化难为易的效果。