误入歧途的滑动摩擦力求解

■北京市平谷区北京实验学校 郭峰亭

“滑动摩擦力的大小与压力的大小成正比,方向总是沿着接触面,且与物体相对运动的方向相反”是求解滑动摩擦力的依据。当物体在接触面上的运动在一维空间内时,根据运动的相对性,可以比较直观地判断出滑动摩擦力的方向。但当物体在接触面上的运动拓展到了二维空间内时,有的同学就会因对“滑动摩擦力的方向与物体相对运动方向相反”的理解不够深刻,或对参考系的选取与置换、运动的合成与分解、力的合成与分解、力和运动的关系等基本物理概念和规律的理解不够深入,而错误求解滑动摩擦力。下面探寻一道易错题常见错解的成因,帮助同学们加深对相关知识的理解。

例题 如图1所示,一方形木板放置在水平地面上,在木板的上方有一条状竖直挡板,挡板的A、B两端固定在水平地面上,挡板与木板之间并不接触。现有一方形物块在木板上沿挡板以某一速度v从A端向B端运动,同时木板以相等大小的速度向左运动,木板的运动方向与挡板垂直,已知物块与竖直挡板和水平木板间的动摩擦因数分别为μ1和μ2,物块的质量为m,则竖直挡板对物块的摩擦力大小为多少? 沿挡板以多大的力F拉物块才能使它维持这样的运动?

图1

解题思路:分析物块相对于木板的运动情况,根据摩擦力公式求出摩擦力的大小,根据摩擦力的性质判断木板对物块的摩擦力方向;分析物块相对于挡板的运动情况,求出压力大小,根据摩擦力公式求出挡板对物块的摩擦力大小;利用平衡条件,求出沿挡板需要以多大的力F拉物块才能使它维持这样的运动。解答本题的关键是要正确求解木板对物块的摩擦力。

误解一:木板向左运动,物块相对木板向右运动,物块受到木板对它的垂直于挡板向左的摩擦力f2=μ2mg,此摩擦力充当物块对挡板的压力N1,因此物块受到挡板对它的摩擦力f1=μ1N1=μ1f2=μ1μ2mg。

诊断分析:对“滑动摩擦力与物体相对运动的方向相反”的内涵理解不够深刻,思维还过多依靠熟悉的一维空间模型,没有掌握二维空间内相对运动中滑动摩擦力方向的判定方法。相对运动是指受到滑动摩擦力的物体(受力物体)相对于施加这一滑动摩擦力的物体(施力物体)的运动。相对运动方向是指以施力物体为参考系,受力物体的运动方向。根据“滑动摩擦力与物体相对运动的方向相反”可知,要判断滑动摩擦力的方向,就必须先判断相对运动的方向,而判断相对运动的方向,就必须选取施力物体为参考系,分析受力物体的运动情况。本题中,判断物块受到木板对它的摩擦力方向,应以木板为参考系,分析物块相对于木板的运动方向,从而确定滑动摩擦力的方向。因为物块与木板的运动已不再是一维空间内的运动,物块相对于木板参与了两个方向的分运动,所以相对运动方向应是这两个分运动的合运动方向。误解一的求解过程中未考虑物块沿挡板方向的分运动。

误解二:以木板为参考系,物块同时参与水平向右和沿挡板从A端向B端两个方向的分运动,因此物块在这两个分运动方向上受到的滑动摩擦力大小均为μ2N2=μ2mg,方向与对应分运动方向相反。将这两个力合成(平行四边形法则)得到物块所受滑动摩擦力大小f2= 2μ2mg,方向与挡板成45°角。

诊断分析:误解二的求解过程中认为物块在两个分运动方向上都要受到滑动摩擦力,且滑动摩擦力的大小均为μ2mg,说明对滑动摩擦力、运动与力的关系、力的合成与分解等知识理解不到位。矢量的合成与分解是为了研究问题的方便而引入的一种等效方法,虽然物块有水平向右和沿挡板从A端向B端两个方向的速度分量,但是物块相对于木板的实际运动方向只有一个,即两个分速度的矢量和的方向。滑动摩擦力只是在阻碍物块真实的相对运动,所以物块受到的滑动摩擦力也只有一个,其方向与合速度的方向相反,大小f=μ2N2。而两个分运动方向上的滑动摩擦力是按照滑动摩擦力的作用效果分解的力,它们是虚设的等效力(效果力),并非是真实存在的性质力。

正确解答:分析物块相对于木板的运动情况,求解木板对物块的滑动摩擦力f2。如图2所示(俯视图),以木板为参考系,将以地面为参考系的物理量(速度、加速度),置换为以木板为参考系的物理量(速度、加速度)。根据参考系的置换方法,物块的速度减去木板的速度就是物块相对于木板的速度(矢量相加减)。因为物块的速度为v(沿挡板从A端到B端),木板的速度为v(水平向左),以木板为参考系,物块除沿挡板方向的分速度v之外,还要叠加一个水平向右的分速度v,所以相对运动方向是两个分速度矢量和v相对的方向。因为两个分速度大小相等,所以物块相对木板的速度方向与挡板成θ=45°角。根据“滑动摩擦力与物体相对运动的方向相反”可知,物块受到木板对它的滑动摩擦力方向与合速度v相对共线且方向相反,大小f2=μ2N2=μ2mg(N2是物块对木板的压力,数值上等于物块的重力)。将滑动摩擦力f2按作用效果分解为沿挡板和垂直于挡板两个方向的分力f//和f⊥,则f⊥的作用效果是阻止物块向右滑动,或者说使物块有向左运动的趋势,又因挡板固定不动,所以物块压紧挡板,挡板给物块一个压力N1,且N1=。所以挡板对物块的滑动摩擦力大小,方向沿挡板从B端向A端。

图2

分析物块沿挡板方向的受力情况,物块受到木板对它的滑动摩擦力沿挡板方向的分量f//=f2cosθ、挡板对它的滑动摩擦力f1和沿挡板的拉力F,在这三个力的作用下,物块沿挡板方向做匀速直线运动,根据平衡条件得F=f1+f2cosθ,解得=

点评:深入理解“滑动摩擦力与物体相对运动的方向相反”的内涵,恰当选择参考系并进行正确置换,深刻领会运动的合成与分解、力的合成与分解、力和运动的关系等基本物理概念和规律,掌握好摩擦力的性质(相对性、唯一性),把握好滑动摩擦力方向的判定、大小的计算,这样无论是在一维空间内,还是在二维空间内,甚至是在三维空间内,都能正确求解滑动摩擦力相关问题,避免误入歧途。

如图3 所示,生产车间有两个相互垂直且等高的水平传送带甲和乙,传送带甲的速度为v0。质量为m的工件离开传送带甲前与甲的速度相同,并平稳地传到传送带乙上,工件与传送带乙间的动摩擦因数为μ,传送带乙的宽度足够大,重力加速度为g。

图3

(1)若传送带乙保持静止,求工件在传送带乙上滑行的距离x0。

(2)若传送带乙的速度也为v0,求:

①工件在传送带乙上的运动轨迹。

②工件在传送带乙上滑行的距离s。

③工件在传送带乙上滑行的过程中产生的热量Q。