变、行、计：小学数学估算教学“新视界”

南京师范大学附属小学（210008） 邓 云

估算是人们在日常生活中广泛运用的一种高效的粗略计算方法。它基于数感、生活实践经验和计算经验，旨在对一些无法或无须进行精确测量和计算的数量进行粗略估计，并对数量关系做出合理推断。估算在学习和生活中都有广泛应用，无论是制订暑假作业计划，还是确定修建大桥所需建筑材料的数量，估算都扮演着重要角色。因此，学生估算能力的培养势在必行。

一、内容定位之“新”：明估算教学之“变”，踩准估算教学着力点

关于估算，《义务教育数学课程标准（2011 年版）》（以下简称《2011 课程标准》）和《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称《2022 课程标准》）都指出，小学数学教学必须结合理论学习和实践经验，重视估算在数学教学的重要作用。但估算在《2011 课程标准》和《2022 课程标准》中所属的内容板块和相关要求又有着明显的变化（见表1）。

表1 《2011课程标准》和《2022课程标准》中关于估算的内容

从表1 可以看出，对于估算的内容，《2022 课程标准》除了要求内容在学段上更加细化，新增了具体的学业要求和教学提示，最明显的一个变化是将估算从“数的运算”板块划入了“数量关系”板块。对估算做出这样的调整，体现了以下几点导向。

（一）估算应用的场域之“变”

《2022 课程标准》将估算放入了“数量关系”板块，并强调估算教学需要借助真实问题情境。这意味着估算不仅仅是一种运算方法，涉及估算的题型也从简单的比较大小扩充到解决综合的实际问题。这要求学生调动分析问题的能力，利用估算和相应的数量关系解决更复杂的真实情境中的问题。因此，《2022 课程标准》突出了估算应用的场域之“变”，即通过紧密联系真实生活情境，调动学生解决问题的综合能力。因此，将估算纳入数量关系板块似乎更具有意义。

（二）估算应用的联结之“变”

对于估算，《2011 课程标准》和《2022 课程标准》都提到“选择合适的单位进行简单估算”。这让笔者想到“数的一致性”的本质是计数单位的累加，如10×1=100×0.1=1000×=10。进一步地，笔者又想到乘法数量关系“份数×每份的数量=总量”，就像总量固定时，计数单位的累加次数取决于计数单位的大小，而乘法数量关系中份数的多少则取决于每份数量的大小。在估算中，对数量的估计也必然取决于选取的单位大小。如果单位较大，估计的数量就会较小；如果单位较小，估计的数量就会较大。这些都符合乘法数量关系。下面就以一个教学案例来说明。

【案例1】抓豆子（如图1）

图1

师：我今天准备了一些豆子，想让大家来估一估有多少粒。这是一碗蚕豆，请一位小朋友来抓一抓和数一数。

（教师指导学生抓的标准和数的方法，生1 抓一把蚕豆并得出准确数据。）

师（出示蚕豆、花生、黄豆）：请比较它们的大小。

师（请生1 抓一把花生，如图2-1 所示）：生1 抓了多少粒花生？

图2-1

（学生猜完后，让生1摊开手，如图2-2所示。）

图2-2

师：现在请估一估生1抓了多少粒花生。

生2：十几粒花生。

师：为什么比生1抓的蚕豆数量多呢？

生3：因为花生比蚕豆小。

师：如果生1 抓一把黄豆，你觉得他能抓多少粒？

生4：三十几粒。

师：为什么比生1抓的花生数量多呢？

生5：因为黄豆比花生要小，每粒黄豆占的空间比每粒花生占的小，所以黄豆数量会比花生多。

师：你们说的都非常棒！你们的感觉准不准呢？抓一把黄豆到底能抓多少粒呢？……

这是一年级数学下册“综合与实践”的“我们认识的数”的教学片段，可以看出，虽然学生还没有接触到估算，但他们在估计一把豆子的数量时已经运用了以往的生活经验，使用了“豆子数量×1 粒豆子的体积=1 只手容纳豆子的体积”的乘法数量关系，知道“每粒豆子的体积越小，能抓起的豆子数量就越多”。此外，《2022 课程标准》给出的例18（如图3）中使用了估算来解决实际问题，应用了加法模型“分量+分量=总量”。由此可见，《2022 课程标准》更加突出了估算与数量关系之间的联结。估算与数量关系是密不可分的，依托于数量关系，能更好地解释如何进行估算和计算。因此，将估算纳入数量关系板块更加合情合理。

图3

（三）估算应用的效能之“变”

《2022 课程标准》在教学提示中提到了数量关系的教学：在具体情境中，利用加法或乘法表示数量之间的关系，建立加法模型和乘法模型，知道模型中数量的意义。估算的重点是解决实际问题。相比以往将估算放入“数的运算”中，现在的调整更突出了估算应用的效能之“变”，即将估算作为数量关系和数学模型应用的一个生长点，能使数学知识结构更加具有系统性，更能通过估算教学培养学生的模型思想和应用意识。

通过以上对《2022 课程标准》中估算教学变化的分析，可以帮助教师踩准估算教学的着力点：在估算教学中，教师应重视引导学生对具体情境进行分析，选择合适的单位，并运用相应的数量关系进行估算，从而解决实际问题。此外，教师还应培养学生清晰描述估算过程的能力，而不仅仅是简单地教给他们估算的方法和技巧。

二、匡正误区之“新”：辨估算教学之“行”，弥补估算教学不足

根据《2022 课程标准》，笔者收集了估算教学的一些成功案例，也总结了一些当前存在的教学误区。希望通过对比这些案例和误区，能帮助教师在今后的估算教学中避免教学偏差，走上一条正确的通往核心素养培养的估算教学之路。

（一）“行”之范式

【案例2】设计运输方案（如图4）

图4

师：像此类设计运输方案的问题，首先应该考虑什么呢？

生1：要考虑满足2 个条件，一是要使运费最少，二是要尽可能保证每辆车都装满不浪费。

师：你考虑得很周全。确实如你所说，同时满足这2 个条件的方案才是最优方案。那么如何使运费最少呢？

生2：哪种车载每吨沙子的运费最少就尽量多用这种车，这样就最划算。

师：如何判断哪种车载每吨沙子的运费最少？

师（出示4种学生的做法，如图5所示）：比较这几种做法，你更喜欢哪种？为什么？

图5

生3：我喜欢第2种，因为第2种方法最简便。

生4：第2 种方法不适用于所有的题目。我喜欢第4 种，它只需要简单地估算就能比较出用哪种车最便宜。

生5：我也喜欢第4种，我真佩服这位同学能想出这种好方法。根本不用费脑子算，与10 比较一下就能选出运费最低的车子了。

在该教学案例中，教师对于估算教学的引导非常到位，在信息量较多的情况下首先帮助学生分析问题情境，厘清最优设计的思路，并引导学生找出解决问题的关键数量关系，然后让学生自主解决问题。在这个过程中，不同学生展现了不同的思维水平和解题方法：有学生采用了精确计算的方法，他在计算过程中更加注重精确性；有学生展现出了较强的数感，但方法存在一定的漏洞；有学生采用了估算的方法，并巧妙地选取“10”为比较对象，使得解题过程更加简洁高效。从学生的反馈来看，他们也在这样的教学中感受到了用估算解决实际问题的“鲜活”和“灵动”。因此，正确、活跃而灵活的估算教学对于学生估算意识的觉醒、思维水平的发展和提升核心素养都具有促进作用。

（二）“行”之偏差

在实际的教与学中，尽管教师非常重视估算教学，并且学生也意识到估算的价值和意义，但学生在估算学习方面的效果却不佳，经常出现各种问题。

1.无视问题情境，将“大约”视为估算

在平时的作业和练习中，一些学生只要看到问题中有“大约”这个词，就会条件反射地想到使用估算方法，而不管实际上是否需要估算。另外，他们还倾向于对最终的结果进行四舍五入处理。

如图6 所示的问题实际上并不属于估算的题目，这里的“大约”仅仅是因为草坪不是规整的平行四边形，而是近似平行四边形，所以在算铺草坪费用时才用到了“大约”，旨在突出数学问题表达的准确性。

图6

但有些学生却受到思维定式的影响，看到“大约”就要用估算，这是不可取的。教师在估算教学中要时刻引导学生学会辨析问题情境，根据题意灵活运用估算，注意区分需要和不需要用到估算时的两种“大约”的不同含义。

2.数感量感薄弱，瞎估乱估

良好的数感和量感能帮助学生选择合适的单位，从而进行准确的估算，顺利解决问题。然而，在一些数与量的教学中，如果因为组织教学难度大、教学时长不够、教具不足等原因，而未给予学生亲身感知数与量大小、数量的机会，会导致许多学生在进行估算时容易瞎估乱估，无法顺利解决问题。例如，教学“1平方米”时，如果只是让学生了解1平方米的大小是以1 米为边长的正方形面积的大小，却未组织学生亲自去围一围、铺一铺，大部分学生对于1 平方米的大小的感知仍然是比较匮乏的。因此，当遇到类似“100 个学生做广播操大约需要多少面积的场地？”这样的问题时，学生就无法准确清晰地感知和估算。长此以往，学生的数感和量感无法建立起来，他们就无法准确选择合适的单位，只能盲目地进行估算，导致估算教学变得困难重重。

还有一些学生在举例时可能比较随意，举一些不恰当的、不符合实际情况的例子（见案例3），如果教师听之任之，同样不利于学生数感、量感的培养和建立。

【案例3】

师（出示图7）：你认为应该选哪个？为什么？

图7

生1：选D。因为虽然五（1）班的平均体重比五（2）班的重，但也有可能五（1）班刘晓的体重是1 kg，五（2）班李军的体重是100 kg；或者他们俩的体重都是50 kg；或者刘晓的体重是100 kg，李军的体重是1 kg。因此，选项A、B、C都不对，只能选D。

师：你们赞同生1 的说法吗？（大部分学生表示赞同，少部分学生发出质疑的声音）看来有同学对生1的回答存在质疑。

生2：我赞同，但是生1举的例子不太恰当。因为不可能有同学的体重是1 kg，体重是100 kg 的可能性也极小。如果拿体重举例子的话，25 kg~50 kg是比较合适的。

可以看出，生2 的数感、量感和生活经验非常出色，因此他的回答更加准确和严谨。而生1 的数感不一定不好，他可能是为了突出问题而选择了极端的数据。然而，数学作为一门科学性和严谨性很强的学科，对于那些需要突出学生数感和量感的问题，教师应该尽可能引导学生贴近实际生活举例，而不是凭空捏造数据或无根据地进行瞎估乱估，这样才能在日常的课堂教学中使学生潜移默化地建立准确的数感和量感。

3.仅关注结果，以算代估、先算再估

学生在解决问题时常常出现“假估”的现象，例如以算代估或者先计算出精确值再进行估算。这种解题思路并没有充分展现出估算的思想、方法和过程。出现这种现象可能有以下几个原因。首先，在小学数学学习中，学生主要接触精确计算，思维定式的影响使得学生更倾向于相信精确计算的结果，而对估算持有不确定、不敢用、不信任的态度，因此更倾向于追求精确计算而非估算。其次，学生缺乏对估算意义的理解，不清楚估算的优势在哪里，缺乏对估算这种思想方法的深刻认识。最后，估算对学生的数感要求较高，导致学生面对估算时会退缩，甚至不再关注。

因此，在进行估算教学时，教师应该关注学生是否真正进行了估算，确认学生是“先估后算”，关注学生估算过程和思考的路径，这样学生的估算能力和应用意识才能得到培养。

三、教学策略之“新”：探估算教学之“计”，寻求估算教学多条途径

（一）丰富活动经验，培养数感与量感

数感和量感是估算教学的基础。在估算教学中，教师应该在课堂上组织丰富的观察比较、动手实践和操作活动，让学生亲身感受数和量的大小和多少。例如，教学长度单位时，让学生选取合适的单位后先估算再测量课桌的高度、学校到家的距离等；教学质量单位时，让学生先估算1 千克鸡蛋、苹果等大约有多少个再实际称量；教学面积单位时，让学生先制作1 平方米大小的图形，再估算教室、操场等的面积。通过将实际测量的结果与之前的估算结果进行比对，能够重塑学生对数量大小的感受，进一步形成数感。在这个教学过程中，教师需要引导学生在对单位大小的感受上进行明确估算，而不是无根据地瞎估或乱估。

数感和量感的培养是一个渐进的过程，贯穿整个小学阶段，这是一个需要持之以恒的过程。只有通过多样化的教学方法和实践活动，才能帮助学生建立起对数和量的敏感性和准确感，从而提升他们的估算能力和应用意识。

（二）总结估算方法，提升估算技能

针对学生容易先算后估或以算代估而导致的“假估”的问题，教师要让学生熟练掌握各种估算方法或技巧，这样才能在解决问题时让估算“真发生”。估算方法的学习分布广、跨度大，每当教学一种新的估算方法时，教师都要指导学生结合以往的方法做出比较、归纳总结，从而让学生系统螺旋上升式总结估算方法，灵活掌握估算技能。目前常用的估算方法有以下几种。

1.近似取整

在计算时进行估算，一定是先估后算，其中常见的一种方式是将数据估算为整十或整百数，然后进行计算。例如，对于“28×7”，一般会将28 估算为30 后进行计算，得到的乘积近似等于210。类似地，对于“827+199”，简便计算的操作是“827+200-1”，这个方法中也蕴含着近似取整估算的思想。

2.以小见大

当要估算一个较大的数量时，可以将其先分解成小部分进行估算。例如，要估算一个学校有多少名学生，就可以通过一个班的学生人数来进行估算等。

3.概括规律

整数、小数和分数中有很多规律（见表2），可以帮助学生快速地估算和判断结果是否正确。

表2 整数、小数和分数的估算规律

4.估、算结合

笔算、估算都是计算方法，若学生在数学学习中能有机结合使用，无疑会提高解题的效率及准确率。教师在设计计算练习时，一方面，可以让学生在精算前运用估算对结果进行预测，例如教材中有很多题目设置的是“不计算，比较下面几组算式得数的大小”；另一方面，计算后还可以要求学生运用估算对结果进行检验，例如在学习三位数除以两位数时，可以通过估计商的位数及大小进一步检验得数是否正确。

5.联系实际

在解决问题时，如果需要使用估算，通常需要考虑实际情况，并从实际出发得出估算结果。例如租船、租车等问题，当需要租船或租车来容纳一定数量的人时，即使剩下的人无法坐满一条船或一辆车，仍然需要租一条船或一辆车。类似地，在买衣服或买票等情况下，也需要考虑到多留出一些钱来应对可能的额外费用或价格波动，以确保足够的购买力。

（三）感受估算“魅力”，培养估算兴趣

在平时的估算教学实践中，估算意识强、估算方法妙、思维水平高的学生还是有不少的，如案例4。

【案例4】

师（出示图8）：你选哪个选项？你是怎样判断的？

图8

生1：选A。 因为209×18=3762，299×98=29302，算式乘积一定在3762~29302 之间，所以排除选项C。又因为个位上的8×9=72，乘积的个位数一定是2，所以排除选项B。

生2：因为乘积的个位数一定是2，先把选项B排除，再像生1那样求出乘积最大值29302，最后的得数一定小于或等于最大值，因此只能选A。

生3：我也是先根据乘积的个位数排除选项B，然后根据“2□9＜300，□8＜100”知道乘积一定小于30000，排除了选项C。只能选A。

师：3 位同学分别展示了3 种不同的思路与方法。比较这3种方法，你更喜欢哪一种？为什么？

生4：我喜欢生3的方法，因为这个方法不仅好理解，而且算起来比较方便，直接口算就可以了，更简单一些。我认为做这类选择题不需要精确计算，先进行估算会更方便一些。

正如上述案例所描述的那样，教师要善于利用那些估算意识强的学生的精彩发言，抓住这种生成性的教学资源，突出估算的价值与优越性，带领学生分析其中运用到的估算方法，让学生真正感受到估算的魅力，使他们变“不愿估算”为“喜欢估算”，从而培养学生的估算意识，提高学生的估算能力。

（四）挖掘估算素材，提高估算意识

学习估算的目的是使其服务于现实生活。在估算教学中，教师可以要求学生在日常生活中有意识地进行一些估算活动，挖掘估算的素材。例如，在逛超市时，可以先估算所购商品的总价格。在估算的过程中，学生可能会发现一些简便的估算方法。估算完成后，让学生将估算结果与小票上的实际总价格进行对比。生活中处处都有估算的机会，类似这种将估算活动融入日常生活的做法，有助于培养学生的估算意识，并促使他们在实际情境中运用估算。

学生估算意识的形成和估算能力的提升不是一蹴而就的，需要教师每堂课坚持不懈、持之以恒地努力。只有这样，学生才能将估算内化为一种自觉意识，才会主动运用各种灵活的估算方法解决学习和生活中的各种问题。