回顾旧知 合理迁移

刘媛媛

知识迁移是指学习者把理解的知识、形成的基本技能迁移到不同的情境中，促进新知识的学习或者解决不同情境中的问题。“回顾旧知，合理迁移”就是自然生成新知识的一种合理有效途径。教师若能够在课堂渗透迁移思想，教会学生学会学习，学生不仅在数学学习中能够提高学习效率，还可以推广至其他学科的自主学习，甚至伴随其终身。

知识理解、知识迁移、知识创新是发展学生学科核心素养的三级教学目标。其中知识迁移是指学习者把理解的知识、形成的基本技能迁移到不同的情境中，促进新知识的学习或者解决不同情境中的问题，可将知识迁移水平称为学科核心素养的二级水平。迁移可分为正迁移（起促进作用的迁移）、负迁移（指起阻碍作用的迁移）、零迁移（指不起任何作用的迁移）。

笔者以前对于知识迁移的理解仅仅停留在解决数学题的层面，认为题目做得多，知识自然就认识全面；题目做的难，知识自然就理解深刻。随着新课改、新高考的推进，笔者越来越强烈地感受到大量刷题效率极低，盲目重复刷题更加容易迷失方向。在以教师为主导的课堂，必须引导学生经历知识的产生，探索知识的发展。笔者认为“回顾旧知，合理迁移”就是自然生成新知识的一种合理有效途径，即人们常说的“温故而知新”。下面笔者以“解三角形中的范围”为例具体展开谈一谈。

一、教学分析

（一）教学内容

三角形是平面几何中最基本最常见的图形，解三角形问题是历年高考的必考内容，求取值范围问题是其中的一个难点，在实际问题中有着广泛的应用。解三角形中的范围问题往往体现在长度、角度、周长、面积等方面，解决此问题常和函数、不等式等其他数学分支结合，需要学科内部知识的综合应用。同时，解三角形中的范围问题有助于提升学生的直观想象能力、运算能力。教学中应作为重点。笔者意图让学生在思考并解答笔者设计的四个问题中逐渐感受到本课要解决的解三角形中的范围问题是从哪里来？到哪里去？如何解决？即解三角形中的范围问题和旧问题的关联以及可以带来的新问题有什么。

（二）教学目标

通过对问题1和问题2的思考，学生可体会到解三角形问题是从求值到求范围的变化，进而建立起新旧知识的关联。

通过对问题3的思考，学生能够利用观察图形变化规律解答解三角形中的取值范围问题，进而提升直观想象的核心素养。

通过对问题4的思考，学生能够巩固利用观察图形变化规律解答解三角形中的取值范围问题的方法，能够利用建立函数关系或者不等关系式解答解三角形中的取值范围问题，进而提升数学运算的核心素养。

（三）学情分析

学生初中学习过三角形全等、三角形相似以及直角三角形中的边角关系。高中学习过解三角形中已知边角六个量中的三个量求解其余量的定值问题，此问题与三角形全等存在关联。本节课是求解三角形问题中边角的取值范围问题，此问题与三角形相似存在关联。

二、教学过程片段

（一）最值问题的引入

问题1：解三角形问题是指已知三角形三条边、三个角共六个量中的三个量，求解其余量的问题。一般会给出怎样的三个量？

学生1：有几种可能：边边边、边角边、两角一边、边边角。

教师：具体如何解出其他的三个量？

学生2：已知边边边和边角边适合用余弦定理解三角形；已知两角一边和边边角适合用正弦定理解三角形。

问题2：如果三角形的已知条件只有两个量，这样的三角形是不确定的，我们可以研究变化过程中的取值范围问题。可能会给出怎样的两个量？

学生3：有几种可能：两个角、两条边、一个角和一条边（相邻）、一个角和一条边（相对）。

教师：哪种情况是我们研究过的？

学生4：两个角已知即为三个角已知，这是初中研究的三角形相似的一种情况。

教师：相似即三角形对应边成比例，对应周长和面积也成比例，已形成结论。“已知两个角”这种情况我们不再探究。下面先以三角形中两边已知为例，探求研究其余量是如何变化的方法。

设计意图：学生在对比思考问题1和问题2的过程中可以发现条件的减少会带来求定值到求范围的变化，也会发现新问题的研究可以和舊知识建立起关联。甚至某些特殊情况在很早之前就已经学习过，这会大大减少陌生感，也可以充分调动起学生的积极性和探究欲，从而能够让学生巩固旧知旧法，进而合理迁移至新问题，提升相应核心素养水平。

（二）最值问题的研究过程

1.看一看

问题3：△ABC中，已知AB=4，AC=5，试分析其余边角的取值范围。

学生5：先用余弦定理表示出BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=41-40cosA，再借助于角A的范围（0，π）得到边BC的范围。

学生6：边BC的范围只要利用三角形中两边之和大于第三边且两边之差小于第三边便可知为（1，9），和甲的方法得到的结论是一致的。

教师：很好，我们还可以直观想象一下图形的变化。能否通过想一想、看一看的方式得到取值范围？

学生7：先做出边AC，然后以A为圆心、4为半径画圆，可以看作B在圆周上运动，随着B的规律运动，直接观察易得角B和角C的取值范围，B∈（0，π），C∈（0，θ0]，其中θ0是边BC和圆相切时候角C的值。

教师：学生7在感受图形变化的过程中选择研究点B的运动轨迹带来三角形中其余边角的相应变化，我们可以称点B为主动点。三角形还有周长和面积这两个基本信息，利用以上研究方法也容易得出取值范围。接下来我们自主分析三角形中已知一条边和一个角（相对），其余边角、周长以及面积的取值范围。

设计意图：解三角形问题本就和图形密切相关，其中取值范围问题是由图形的变化产生，因此解决此类问题的突破口往往可以从感受图形的变化入手，选择合适的主动点，分析其运动轨迹。已知三角形两边的情况就可以通过想一想和看一看的方式，直观观察感受其余的边角、周长以及面积的取值范围，临界情况往往是在特殊位置处取到。

2.算一算

问题4：△ABC中，已知A=60°，BC=2，试分析其余边角、周长、面积的取值范围。

笔者先给一定的时间让学生在课堂练习本上自主分析，从反馈来看，此问题的解答比较顺利，多数学生可以想到将B、C看作定点，选择点A为主动点研究其轨迹，点A的轨迹为△ABC外接圆O上的一段弧，因此容易得到线段BC为圆中的一段弦，A则是弦所对的圆周角。

学生8：先看边AB，随着主动点A自C逆时针运动至B，边AB的长度先从2（取不到）变大到外接圆直径（AB过圆心O时取到）再变小到0（取不到），即AB∈（0，[433]]；再看∠ABC，随着主动点A自C逆时针运动至B，∠ABC从0（取不到）变大到[2π3]（取不到），即∠ABC∈（0，[2π3]）；同样可知AC∈（0，[433]]，∠ACB∈（0，[2π3]），也易观察得面积的范围为（0，[3]]，最大值[3]是A在点D（OD⊥BC）时取到。周长的变化好像不太容易直接观察得出，我就取了几个特殊位置比较了一下，分别是当点A在C、D时以及AB过圆心时，感觉随着主动点A自C逆时针运动至D，周长在变大，范围为（4，6]。

教师：既然周长不太容易观察得出，那是否有算一算的方式得出周长的范围？

学生9：可以设法建立关于周长的函数关系或者不等关系式。

设计意图：这个问题的解答有承上启下的作用。学生在分析边角、面积的取值范围时，都可以借助于三角形外接圆以“看一看”的方式完成解答，但在分析周长的取值范围时，会发现单纯靠直观想象难以解决问题，自然地过渡到需要靠数学运算解答。再次起到提升巩固旧方法，进而合理迁移至新问题的核心素养水平。

（三）解三角形取值范围问题的解决策略总结

1.直观想象三角形图形的变化规律带来边角的变化，同时结合三角形的基本要求即两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、内角和为180°，简单计算便可解答。

2.三角形图形的变化规律不明显时，需要借助数学运算，即建立关于边或者角的函数关系，此时将问题转化为函数求值域问题，或者建立不等关系解不等式。

三、回顾与反思

笔者准备本节课时，在思考如何引导学生主动探究“解三角形中的范围问题”这一环节考虑许久。虽说取值范围问题的重要性学生都知道，即使直接讲授也能够引起学生的重视，但笔者一直主张学生要学会思考“知识从哪里来”、多问问“为什么要学习这个知识？”“为什么要研究这个新问题？”“这个新知识新问题和我们的旧知识旧问题有什么关联？”“回顾旧知，合理迁移”对学生掌握知识之间的关联性、学生学习知识的系统性及综合性都大有帮助，也能大大增强学生的探究意识。迁移是一种学习对另一种学习的影响，学生正迁移量越大，他们适应新的学习情境或解决新问题的能力就越强。这需要教师从“传递知识”向“建构知识”的教学方式转型。

（一）问题设计要精准

“教学过程是一种不断地提出问题和解决问题的活动”，教师作为问题的设计者，要提出符合教学内容和教学对象的问题，要提出符合知识生成的问题，要提出符合学生思维发展的问题。学生原有的认知结构是顺利迁移的关键因素，奥苏伯尔认为：“过去的经验影响着有意义的学习与保持或者说对这种学习 和保持起着积极或消极的作用，因为它可以影响认知结构的有关特征。因此认知结构在迁移中起着决定性作用。”笔者一般会从旧知识入手复习巩固，再重点强化和新问题具有密切联系的内容，接着引导学生思考旧问题可能带来的变化，新问题的生成会显得非常顺其自然，有时学生甚至能够提出预设之外更有价值的观点，教学相长体现得淋漓尽致。

本节课提出的问题中，笔者认为问题2是亮点，原因在于当三角形中三个条件减少为两个条件时，学生可以从宏观上把握四种可能，既然课堂上已经学习过其中两种情况的解决策略，之后再碰到未曾研究的情况时也不至于毫无头绪。

（二）素養提升要坚持

笔者始终坚定地认为“学生是课堂的主体，教师是课堂的主导”，因此每节课前都会问自己“这节课要达成的主要目标是什么”？而目标的主体一定是学生。一节课虽说不是培养学生单一的能力，而是以培养多种能力为目标，但一定也有主次之分。长此以往，不同的学生能够明确自己的优势和不足，从而更加高效地提升能力不足之处。

本节课前半场在设计时更加侧重直观想象能力的提升，这有助于解决选择填空题，对于解答题可以起到辅助作用，借助于图形分析能够调动学生的学习积极性，但对于学生直观想象力也有要求。后半场侧重运算表达，以沉淀平静收尾，有助于学生将知识内化于心。

（三）教材理解要深刻

不论问题的设计，还是素养的提升，都是建立在师生对教材的理解要深刻的基础上。深刻意味着对于教材整体的把握，意味着对于教材中相同研究对象、研究内容的整合，意味着对于教材中相同研究方法的归纳。特别是对于新概念的认识不可在学习新内容时一带而过，进而通过大量的练习去感受其本质，这是本末倒置的行为。应在概念形成的环节了解其来源、理解概念深刻的内涵（比如从正面与反面进行比对）、探究概念的外延（比如相关概念的比较以及概念的初步应用等）。同时，教师针对不同的学情，能够合理调整教材内容的难易，真正做到因材施教。

“数学学习的迁移过程是数学知识相互作用、逐渐整合的过程。任何数学知识的获得都不是一蹴而就的，而是在一个较长的时间内，有层次、螺旋上升、逐渐获得的。”迁移在学习中起着十分重要的作用。教师若能够在课堂渗透迁移思想，教会学生学会学习，学生不仅在数学学习中能够提高学习效率，还可以推广至其他学科的自主学习，甚至伴随其终身。