基于CSO-LSSVM 模型的选择性激光烧结成型工艺参数优化*

蒋成雷 李 健 肖亚宁 郭艳玲 王扬威

（东北林业大学机电工程学院，黑龙江 哈尔滨 150040）

SLS 是一种快速成型技术[1]。由于其成型过程存在较大的温差，因此成型件不可避免地会出现收缩、翘曲变形等现象[2]。大量研究表明工艺参数对成型件烧结质量有明显影响，设置合理的工艺参数是决定成型质量的关键[3]。由于选择性激光烧结工艺参数与成型效果间存在高度的非线性关系，通过传统的试错法要花费大量时间和成本，有很大局限性。随着机器学习和人工智能等科学的不断发展，越来越多的国内外学者开始尝试建立回归预测模型，以简化工艺参数优化过程。李小飞等[4]提出了一种基于模糊径向基函数神经网络的成型精度预测模型，该模型可根据不同的工艺参数对成型件尺寸误差进行较准确的预测。刘兆平等[5]提出了一种基于BP神经网络的覆膜砂选择性激光成型精度预测模型，该模型的最大相对误差仅为2.2%。肖亚宁等[6]提出了一种基于人群搜索算法优化BP 神经网络的选择性激光烧结成型件精度预测方法，该方法相比标准BP 神经网络有着更好的预测精度和更高的稳定性。Zhang Y P 等[7]提出了一种改进饥饿游戏搜索算法——ELM 预测模型，用于预测SLS 零件的收缩，实验结果证明该模型具有较好的预测精度。

本文针对聚醚砜（polyethersulfone，PES）树脂粉末成型件收缩的问题，首先确定工艺参数，进行正交试验，获得试验数据。然后，利用混沌映射策略、非线性切换因子策略和针孔成像反向学习策略对标准SO 算法进行增强，提出了一种名为CSO 的改进算法，并将其与LSSVM 结合，建立SLS 收缩率的预测模型。与其他预测模型进行对比，结果表明该预测模型拥有更好的效果，可为提高SLS 成型件的质量做出工艺参数指导。

1 选择性激光烧结试验

1.1 试验数据获取

本次试验设备采用CX-B200 小型工业级激光烧结成型机（哈尔滨自由智造科技开发有限公司），试验材料为PES 粉末。其主要工艺参数包括激光功率、预热温度、扫描速度、扫描间距和分层厚度。试验模型为标准测试样件，其尺寸参数如图1 所示。本文设计了L25(55)正交表，见表1，并且为进一步提高研究的准确性和普遍性，额外增加了10 组工艺参数组合试验，以保证样本数据集足够充分。

表1 正交试验因素水平

图1 测试样件尺寸参数

为避免试验的偶然性，每组试验同时加工3 个标准测试样件，多次测量求取平均值并计算每个方向上的收缩率，样件在X方向上的收缩率计算公式为

式中：εx为样件在X方向上的收缩率；xCAD为设计尺寸，mm；xMEA为烧结成型后的实际测量尺寸，mm。Y向和Z向的收缩率公式以此类推，试验结果见表2。

表2 试验样本数据结果

1.2 多目标函数的统一化

由于选择性激光烧结工艺参数的优化是一个多目标优化问题，即要实现三个方向上的收缩率 εx、εy和 εz都同时取得最小值。本文利用线性加权组合法来消除各项量纲上的差异大小，赋予加权因子建立统一目标函数[8]。

假设已知各目标函数值的变化范围为

式 中：fi(x) 为第i个分目标函数；ubi和lbi分别为第i个分目标函数的最大值和最小值。

式中：∆fi为各目标函数的容限，取加权因子为

针对SLS 工艺参数的优化问题，分别将样本数据的X向收缩率 εx、Y向收缩率 εy、Z向收缩率 εz作为各项目标函数进行转化，得到SLS 成型件的统一性能计算公式如下：

式中：Q为统一性能的评价指标，表征制件尺寸精度的好坏，Q值越小则成型精度越高。

2 LSSVM 模型与改进蛇优化算法

2.1 LSSVM 预测模型

LSSVM 是Suykens J 等[9]通过引入最小二乘损失函数，将原本支持向量机中的不等式约束转化为等式约束而衍生出的。LSSVM 继承了支持向量机的结构风险最小化的特点，且优化过程中只需求解一个线性方程组，有效避免了二次规划问题，其鲁棒性、泛化能力和收敛速度得到了显著的提升，更加适合处理高纬度和非线性的小样本数据[10]。其描述如下：

假设训练数据集为 S={(xi,yi)|xi∈Rn,yi∈R}，xi∈Rn为n维系统的第i个输入向量，yi∈R为对应输出值。定义非线性映射函数 φ(·):Rn→H以构造高维特征空间，将输入空间映射变换至希尔伯特空间，此时特征空间中的LSSVM 数学模型可表示为

式中：w为原始空间的权向量；b为偏置量；xi和yi分别为系统的输入向量和输出值。

为解决SVM 中的二次规划问题，基于结构风险最小化原则，采用最小二乘法建立了LSSVM 的目标函数[11]，其表达式为

式中：∥w∥2为控制模型的复杂度；C为正则化参数（C>0），决定着对超出误差范围样本的惩罚程度；ei为第i个松弛变量。

为更好地解决优化问题，将拉格朗日乘子引入式（7），可得：

式中：αi为第i个拉格朗日乘子，αi>0；根据库恩-塔克条件，分别对拉格朗日函数中的相关参数进行偏导数运算，令结果等于零可得：

消去w和ei，可得线性方程组如下：

式 中：α=[α1,α2,···,αn]T；Z=[1,1,···,1]T；y=[y1,y2,···,yn]T；E为n×n的单位矩阵，K=κ(xi,xj)。鉴于径向基核函数的良好稳定性，故采用其作为LSSVM 模型的核函数，即：

式中：σ为核函数参数，σ>0。

得到LSSVM 预测模型的表达式为

2.2 改进蛇优化器

式 中：Xi为第i个个体的位置；rand为 [0,1]的随机数；UB、LB分别为待解决优化问题的上下界。在种群初始化之后，首先通过以下公式计算温度和食物量。

式中：Temp为温度；t为当前迭代次数；T为最大迭代次数；Q为食物量；c1为等于0.5 的常数。

在探索阶段中，若Q<0.25，蛇通过选择随机位置来寻找食物，并以此更新自己的位置。此时雄雌个体的位置更新公式分别如下：

式中：Xi,m(t+1) 为第i个雄性个体在下一次迭代时的位置；Xrand,m(t)为随机雄性个体的当前位置；Xi,f(t+1) 为第i个雌性个体在下一次迭代时的位置；Xrand,f(t) 为随机雌性个体的当前位置；Am与Af分别为雄雌性寻找食物的能力，可以表示为

式中：frand,m为Xrand,m的适应度值；fi,m为雄性群体中第i个个体的适应度值；c2为等于0.05 的常数；frand,f为Xrand,f的适应度值；fi,f为雌性群体中第i个 个体的适应度值。

在探索阶段中，若Q>0.25且Temp>0.6，此时蛇会靠近食物，位置更新公式为

式中：Xi,j(t+1) 为种群中第i个体下一次迭代时的位置（雄性或雌性）；Xfood为当前全局最优位置，即食物的位置；c3为等于2 的常数。若Temp<0.6，蛇将处于战斗模式或交配模式，战斗模式时雄雌个体的位置更新公式分别为

综上，我国农业绿色发展在2005—2016年样本期间存在显著的空间相关性，若在研究农业绿色发展的影响因素时，忽视这种空间溢出效应，则可能出现模型估计上的偏差，甚至得出错误的结论及建议。因此，在农业绿色发展的影响因素分析中，引入空间权重矩阵，通过空间计量经济学模型考察邻近地区地理因素及其他因素对农业绿色发展的影响程度。

式中：Xbest,f为当前雌性群体中的最优个体位置；FM代表雄性的战斗力值；Xbest,m为当前雄性群体中最优个体位置；FF代表雌性的战斗力值。FM与FF可由以下方程式计算：

式中：fbest,f为雌性群体中最优个体的适应度值；fbest,m为雄性群体中最优个体的适应度值；fi为第i个搜索个体的适应度值。交配模式时雄雌个体的位置更新公式分别为

式中：Mm为雄性的交配能力；Mf为雌性的交配能力，计算公式为

若蛇蛋孵化，选择其中最差的雄性和雌性进行替换，此时位置更新公式如下：

式中：Xworst,m为雄性群体中最差个体位置；Xworst,f为雌性群体中最差个体位置。

2.3 改进策略

2.3.1 混沌映射策略

混沌映射能以更高的速度彻底研究搜索空间，可以使算法具有更快的收敛速度[13]。本文选用Sine映射来对算法进行种群初始化。其公式如下：

在本文中，引入混沌映射的主要作用是初始化种群位置，在种群初始化阶段引入混沌映射，此时种群初始化位置更新公式如下：

2.3.2 非线性切换因子

在本文中，引入了一种非线性切换因子，以替代原本算法中的参数Temp以及Q，更好地平衡算法的探索和开发能力。其是由Wang L Y 等[14]提出的，定义如下：

2.3.3 针孔成像反向学习策略

针孔成像反向学习（pinhole-imaging-based learning，PIL）是Long W 等[15]于2021 年提出的一种新的学习策略。在本文中PIL 用于更新种群位置以避免算法陷入局部最优进而增加其全局探索能力。PIL 的数学模型表述如下：

式中：Xbest表示算法当前最优解；表示对应的反向解；LB和UB分别是搜索空间的上下限；k是比例系数；在本文中，k值与迭代次数相关，其计算方式如下：

2.3.4 改进算法流程

尽管标准SO 在早期研究中表现出不错的数值优化能力，然而随着优化问题的复杂度不断增加，SO 也不可避免地会出现收敛精度低、收敛速度慢、易于陷入局部最优等缺陷。本文提出了一种多策略改进型蛇优化器。首先，在算法的初始化阶段引入了Sine 映射以丰富种群多样性，进而提高算法全局探索能力，使算法具有更好的探索能力，从而具有更高的收敛精度。其次，通过针孔成像反向学习，在每次迭代后对种群位置进行更新，避免陷入局部最优，通过针孔成像学习可以有效地增强算法的开发阶段。最后，采用非线性切换因子来代替SO 原有的参数Temp以及Q，更好地平衡算法的探索和开发能力。此时算法中的温度以及食物量的计算公式如下：

最终，本文所提出的改进型CSO 算法的具体步骤如下。

步骤1：初始化种群数量N，问题维度D，上下界限LB、UB，最大迭代次数T以及雄性和雌性数量Nm、Nf，并随机初始化种群位置。

步骤2：通过式（29）对算法种群初始化位置进行更新。

步骤3：评估所有个体，找到最优雄性Xbest,m，最优雌性Xbest,f和食物的位置Xfood，通过公式（33）和式（34）计算Temp和Q。

步骤4：根据不同的Temp和Q算法进行不同阶段位置更新，并得到最终位置。

步骤5：通过式（31）得到最终解的反向解，并进行比较选择更优解。

步骤6：判断算法是否达到终止条件，若是，则结束循环并输出全局最优解，否则返回步骤3。

2.4 算法性能验证

为验证CSO 的有效性和可行性，本文选取了部分经典基准函数开展数值优化测试，并且将CSO 与标准SO 优化器、鲸鱼优化算法[16]（whale optimization algorithm，WOA）、哈里斯鹰算法[17]（harris hawks optimizer，HHO）、正弦余弦算法[18]（sine cosine algorithm，SCA）、鼠群优化算法[19]（rat swarm optimizer，RSO）以及被囊群优化算法[20]（tunicate swarm algorithm，TSA）进行性能对比，每种算法的最大迭代次数和种群规模分别被设置为500 和30，所有算法参数设置均和原文献保持一致，所有算法均在Matlab R2020(a)版本中完成编写，计算机配置为Intel (R) Core (TM) i5-7300H@2.50GHz中央处理器，8 GB 运行内存。将上述7 种算法在每个函数上均独立求解30 次，记录测试结果的平均适应度值（Avg）和标准差（Std）作为评价指标于表3 中。由表3 得出，本文所提出的CSO 在几乎所有测试函数上都展现出更为出色的优化性能。对于单峰测试函数，其获得了更好的仿真结果；对于多峰和固定维多峰测试函数，CSO 依旧保持了相较于其他算法更高的收敛精度。试验结果证明该算法具有更加优秀的性能，可以稳定地解决全局优化问题。图2展示了SO、WOA、HHO、SCA、RSO、TSA和CSO 在9 个代表性基准函数上的收敛曲线。由收敛曲线图可以看出，CSO 具有更好的收敛精度并且其收敛曲线表现出最快的衰减率，相比于原SO，其收敛速度与精度都有明显提高。综上结果进一步验证了本文提出改进算法的有效性以及可行性。

表3 不同对比算法在部分基准测试函数上的优化结果

图2 不同对比算法的收敛曲线

3 CSO-LSSVM 预测模型的构建

采用LSSVM 建立选择性激光烧结工艺参数组合和统一性能间的非映射关系，在本模型中假设有n组训练样本数据 (xi,yi)，其中xi为五维实数输入向量，分别为激光功率P、预热温度T、扫描速度V、扫描间距L、分层厚度D，以统一性能指标Q作为烧结成型件尺寸精度评价指标，即模型输出yi。

针对需要优化的正则化参数C和核函数参数 σ，采用预测样本的均方根误差作为CSO 算法最小化寻优过程中的适应度函数：

式中：yi为统一性能的真实值；为预测输出值；n为总样本数量。

CSO 优化LSSVM 模型的主要步骤如下。

步骤1：将总样本数量的80%作为训练集，其余为测试集[21]。采用Min-Max 标准化方法将样本数据归一化至 [0,1]区间的小数，公式为

式中：xi和分别表示归一化前后的数据值；xmax和xmin分别对应同一维度下的数据最大值和最小值。

步骤2：初始化CSO 参数和种群位置。

步骤3：确 定LSSVM 参数C和σ的范围，C∈[0.01,5]，σ ∈[0.01,5]。

步骤4：利用CSO 对LSSVM 的参数进行寻优，将训练样本输入LSSVM 模型进行学习，得到输出预测值并计算适应度Fit。

步骤5：根据适应度函数值不断更新参数C和σ的全局最优解，判断是否满足t≥T的迭代终止条件。t和T分别为当前迭代次数和最大迭代次数，若满足则输出，否则循环执行步骤5。

将上述计算获得的最优正则化参数值和核函数值代入LSSVM 模型进行预测，预测完成后，对结果进行反归一化，通过对比预测值和实测值得出结论。反归一化公式为

4 仿真结果与分析

初始化参数如下：种群规模N=30，最大迭代次数T=100，正则化参数C∈[0.01,5]，核函数参数σ ∈[0.01,5]。训练集的索引序号为[7,4,30,29,8,24,21,15,26,10,22,34,3,1,13,5,31,23,27,25,12,2,20,17,6,32,33,19]，将剩余20%作为测试集进行预测，测试集的索引序号为[11,14,18,28,9,35,16]。图3 所示为CSO-LSSVM 预测模型在参数迭代寻优过程中的适应度曲线，经反复验证得到一组最优系数为：C=5.0，σ=0.092 6，相应的适应度函数值等于0.329 0。

图3 CSO-LSSVM 预测模型收敛曲线

为验证CSO-LSSVM 预测模型的有效性，首先采用标准LSSVM 模型和CSO 优化后的LSSVM 模型分别对训练集和测试集数据进行统一性能的预测和绝对误差对比，结果如图4 和图5 所示。就训练集的预测结果而言，两种模型的期望输出结果都符合真实值的变化趋势，但两者间总存在一定误差，本文所提出的CSO-LSSVM 模型预测结果更接近统一性能变化曲线。这些结果表明：CSO 能够有效地增强LSSVM 模型的泛化能力和预测精度。为突出所提预测模型的优越性，将引入BP 神经网络和极限学习机与CSO-LSSVM 模型展开进一步的对比实验。不同模型在测试集上对统一性能的预测结果如图6 所示，可以看出，相较于BP 神经网络和ELM模型，本文所提的CSO-LSSVM 模型依旧保持更出色的效果表现，预测精度和绝对误差在总体上都有明显优势。

图4 LSSVM 与CSO-LSSVM 模型在训练集上的预测结果

图5 LSSVM 与CSO-LSSVM 模型在测试集上的预测结果

图6 不同模型对比结果

为更直观地评估本文构建的预测模型的准确性，将选择均方根误差（root mean square error，RMSE）、平均绝对百分比误差（mean absolute percentage error，MAPE）以及平均绝对误差（mean absolute error，MAE）作为评价标准。结果见表4 和表5，可以看出：CSO-LSSVM 模型在测试集上得到的预测值与真实值之间的均方根误差、平均绝对百分比误差、平均绝对误差相比于优化前的LSSVM 模型分别减少了0.276 7、9.999 3%、0.368 0，相比于BP 神经网络分别减少了0.520 3、15.726 3%、0.575 0，相比于ELM 模型分别减少了0.759 9、20.214 3%、0.820 7，分析得出CSO-LSSVM 算法可以有效预估SLS 制件精度，相比于其他三种算法有着更高的准确性。

表4 不同模型在测试集的预测值与真实值对比结果

表5 不同模型的性能评估对比结果

5 结语

为了提高SLS 成型件的质量，本文在正交试验的基础上，CSO 算法被应用于优化LSSVM 模型的初始正则化参数和核函数参数，以提高其泛化能力和预测精度，建立了基于CSO-LSSVM 的SLS 成型件精度预测模型；对比标准LSSVM 模型，BP 神经网络和ELM 模型的预测结果，CSO-LSSVM 模型具有更高的预测精度，其在测试集上得到的预测值与真实值之间的均方根误差、平均绝对百分比误差、平均绝对误差分别为0.546 2、9.487 7%、0.401 7。因此，该模型可以为SLS 成型加工提供最优工艺参数，指导加工。