基于响应面-遗传算法的印制电路板参数识别

李晨现，高芳清,2，舒文浩

（1.西南交通大学力学与航空航天学院，成都 611756；2.西南交通大学应用力学与结构安全四川省重点实验室，成都 611756）

引言

机载电子设备在工况中都会受到剧烈的振动与冲击作用，如在卫星发射、汽车加速和高铁运行等过程中。由于电子设备振动引起的焊点破坏、引线断裂、元器件损坏等会对机械设备的安全运行造成严重影响，为此提高电子设备的振动可靠性与稳定性是非常重要的。

研究电子设备动态特性需要建立准确的印制电路板(Printed Circuit Board，PCB)有限元模型，关于PCB 的有限元成型技术，Pitarresi 等[1]提出了6 种方法：简单成型法、总质量等效法、总刚度等效法、总质量/刚度等效法、局部等效法和直接有限元成型法。王红芳等[2]对这6种方法进行了对比分析，发现总质量/刚度等效法具有求解速度快并保持计算精度高的优点。这6种建模方法在PCB 有限元中建模的前提是通过实验获取其局部或整体的物理参数，然而由于PCB 及元器件体积较小且结构复杂，物理参数由静力学试验获取的难度大，因此PCB 用于有限元模型的物理参数很难通过试验获取。

针对难以由试验获取物理参数的相关问题，国内外主要发展了响应面法进行模型参数识别[3-4]。Kazemian 等[5]通过响应面法对光伏热系统性能进行预测和优化，将系统材料和环境条件作为操作因素，实现了系统最高电功率和热功率优化。Sai 等[6]使用NSGA-II 遗传算法对换热器进行结构设计，验证了NSGA-II 具有良好的收敛性和避免局部最优解的能力。孙卫青等[7]采用响应面全局优化技术对蜂窝夹层板的蜂窝芯进行等效参数修正，使用径向基函数响应面模型进行自适应拉丁超立方采样，得到基于前6阶频率修正的剪切模量及密度参数。国内外关于响应面法在PCB 有限元模型参数修正与识别领域的研究较多。比如，王开山等[8]对PCBA 进行参数修正，其遗传算法采用多目标遗传算法进行迭代。吴永涛[9]将PCB 视为各向异性材料进行参数识别，前两阶频率误差降到了5%以下。张梁娟等[10]针对PCBA 参数过多的问题，将元器件等效到基板上再通过响应面法优化模型参数。

从以往对于响应面法在有限元模型参数识别的研究中，可以清晰看出此方法具有易于迭代的特点，能节约大量试验资源，但也存在对复杂模型识别效率较低和容易出现局部最优解的问题。针对PCBA 元器件和基板内部结构复杂导致构建响应面样本数较大的问题[11]，本文使用MRRV-CCD 方法进行响应面样本点构建。由于常用响应面迭代的多目标遗传算法对多个修正目标识别误差会增大，本文采用NSGA-II 进行多目标参数识别，NSGA-II 适用于模型结构复杂的情况，解决了模型复杂导致样本点过多的问题。NSGA-II 对于PCBA 使用工况中常涉及的振动模态有很好的识别精度，同时对较少涉及的频段也能保持较高精度。

1 基于响应面-非支配排序遗传算法的PCBA模型修正技术

响应面-非支配排序遗传算法适用于结构分析中响应y和其物理参数xi有复杂或不确定关系的情况，通过构造显式超曲面函数表示其相互关系，即构建多项式响应面模型：

式中，RSM为响应面函数，η为待求解的响应值，δ(xi)为建模误差，应当尽量减小，以便在数值运算中能够提高计算效率，从而使用多项式响应面模型代替真实PCBA 模型。通常PCBA 板多项式响应面模型构建与遗传算法识别过程如图1 所示，主要流程包括：

图1 响应面-遗传算法识别技术流程图

1）选择多项式响应面识别参数，初步确定PCBA 物理参数变化范围，利用参数相关性分析筛选待识别重要参数。

2）由试验设计确定多项式响应面样本点，获取样本点对应响应值，并构造响应面模型。

3）模态实验获取PCBA 振动响应特性，结合响应面模型构造多目标优化问题待优化函数。

4）利用NSGA-II 进行多目标优化，迭代得到Pareto前沿解集，获取识别后的参数。

1.1 相关性分析试验设计方法

建立多项式响应面函数样本点通过试验设计获取，多参数样本点选取常用方法有CCD、Box-Behnken设计及D-最优设计等。本文采用CCD，完整CCD样本数n=2k+2k+nc，它包含3部分：1)一个立方体的2k（k为参数个数）个顶点的析因部分；2）带有参数α的2k个轴点；3）中心点nc。样本分布如图2所示。

图2 CCD组成部分示意图

PCBA 内部结构较复杂，多参数水平下如当k=10 时，不考虑中心点情况下样本点n=210+2 ×10+6=1050，显然样本点的庞大计算量违背了响应面法识别高效率的特点。因此，对于多参数模型可以采用部分型中心复合设计（Fractional Factorial CCD），12pCCD（p为样本缩减倍数）或MRRV-CCD，p=1、2、4设计下样本数分别需要538、282、154个；在MRRV-CCD设计下样本数需要76个。

模型未知因素过多时，为提高响应面识别效率需对仿真模型参数敏感度进行筛选，缩减待识别因素个数，通过试验设计获取的样本点输入参数k和输出响应y计算Pearson 相关系数考量其相关性。相关系数计算式为：

式中，rk为Pearson 相关系数；X为输入参数的值；Y为输出响应的值；为输入参数的平均值；为输出响应的平均值。

通过rk判断参数与响应值的影响程度，其值趋近于0 代表输入参数对输出响应影响相互独立，筛选 |rk|大于等于0.1的参数为待识别参数。

1.2 二阶多项式响应面模型

对于响应面函数的选择要求主要有两点：1）数学表达式能描述输入参数与输出响应之间的真实关系；2）数学表达式未知系数应尽量少，过多的未知系数会增加样本点的数量。对于本文PCBA 参数识别问题采用二次多项式响应面，其计算公式如下：

式中，βn为待定系数；n=1,2,3,4；k为待识别参数个数；xixj为参数i与j的相互作用效应。对于一些具体问题可以在式（4）中增加xi等高阶项。

1.3 拟合优度检验

拟合优度检验公式如下：

式中，R2为判断系数，其大小表明PCBA 响应面值与模态试验样本真值相似度，y、yR分别为试验样本点测试值及对应响应面预测值，为试验样本点真值均值，当R2趋近于1时，表明响应面模型能代替原有PCBA 有限元模型计算；RMSE系数为响应面与有限元仿真相对均方根误差，表示响应面预测值与有限元计算值间差异程度；当RMSE趋近于0 时，表明响应面误差小。

1.4 非支配排序遗传算法优化求解

响应面函数与模态试验测试值误差建立多目标函数：

式中xR为待识别参数，它包含上下限（）。

多目标优化问题，使用的算法需要有高度鲁棒性，避免局部最优解出现。因此，Deb 等[12]和路良坤等[13]提出了NSGA-II，此算法是对NSGA 进行的改进，是基于快速分类的非支配遗传算法。本文采用NSGA-II 对生成的多目标函数进行迭代计算，并与PCBA 实际工况PSD 结合得到识别后的有限元模型，然后与实验结果进行对比验证。

2 案例计算与分析

图3 所示为某机载PCBA 实物。对PCB 的ABAQUS 有限元模型进行简化处理，简化模型如图4所示。

图3 PCBA实物

图4 PCBA有限元模型

模态试验平台如图5 所示，通过自动力锤激励测量PCBA 动态响应特性，采用德国Polytec 公司PSV-500非接触式激光仪及其配套动态信号采集工作站获取PCBA 前6 阶模态参数并用于后续响应面参数识别与验证。

图5 模态试验平台

2.1 参数筛选

针对响应输出值的选取，本文研究PCBA 主要工况为振动环境，因此选择易于测量且精准度高的模态频率作为响应面输出值。PCBA 中易于测量的物理参数如密度和几何尺寸不纳入修正参数筛选中。由于不同PCBA 的制造工艺、元器件分布、电路分布均不同，从而导致材料参数不确定性较大，这是造成PCBA 动力学仿真结果不准确的重要因素。因此确定基板及元器件的各3个轴向弹性模量、3个泊松比及3 个平面剪切模量共18 个参数为待识别参数。

由于影响响应值待识别参数过多会导致出现病态矩阵及庞大的有限元待计算量问题，因此首先应当对18个参数进行相关性分析，排除对响应值影响较小的参数，提高响应面构建计算速度。

计算前6 阶模态频率，多参数情况下采用完全CCD 会花费大量计算资源，因此试验设计采用MRRV-CCD，水平参数选取3 水平即可，根据相关PCB研究确定初始参数水平见表1。

表1 CCD样本水平表

样本点设计在响应面设计软件Design Expert11中进行。共建立244 个样本点，通过ABAQUS 有限元软件批量参数化建模仿真得到样本点水平与其对应响应频率。计算出18 个参数的Pearson 系数如图6所示。

图6 PCBA各材料参数与前6阶模态频率相关系数

由图6 可见，PCBA 基板X向弹性模量Ex、印制电路板Y向弹性模量Ey、印制电路板XY平面剪切模量Gxy、印制电路板XY平面泊松比μxy及元器件XY平面剪切模量Gxy的相关性均超过0.2，因此将这5个参数确定为最终待识别参数。

2.2 响应面构建

相关性筛选后，构建响应面的5 个参数的因子水平较少，因此采用完全CCD，每个因素设计3个水平，所取水平值覆盖整个区间，轴向点水平值α=2.236 07，以此试验设计样本点构建响应面函数，参数水平设置见表2。

表2 完全中心复合设计参数水平

至此有限元模型前6 阶模态频率与5 个修正参数间的二次多项式响应面模型构建完毕。图7所示为PCBA 基板X、Y向杨氏模量Ex和Ey相对第5 阶模态频率响应面。

图7 响应面示例

由式（4）可知，参数设计空间中任意一点的响应均可表示为：

式中，A为响应面函数系数矩阵，各阶系数β见表3。

表3 响应面函数系数矩阵

通过样本拟合度检验，计算得到R2判断系数以及RMSE相对均方根误差值，见表4。表4 中可见，当R2趋于1 时，RMSE趋于0，表明响应面函数拟合精度高。

表4 前6阶响应面判断系数

2.3 目标函数构建及NSGA-II算法求解

模型参数识别问题转化为多目标优化问题，优化目标为前6 阶响应值与前6 阶模态试验值之间的误差最小。

采用NSGA-II 对前6 阶响应值与试验模态频率的差值进行参数识别，并利用该算法得到5 个待修正材料参数的预测值。

通过NSGA-II 求解，初始样本数为400，每一代变异概率为0.05，交叉概率为0.90，进化代数为2000代，得到Pareto Front 优化解（非劣解）的分布。为了同时提高PCBA 有限元模型的可靠性和完整性，匹配随机振动疲劳寿命分析，前6 阶模态频率在随机振动PSD谱高功率频段误差较小，如图8所示。

图8 机载PCBA航向加速度振动试验

将PCBA 有限元模型前6 阶模态频率各权重系数设置为λ1=0.40、λ2=0.40、λ3=0.05、λ4=0.05、λ5=0.05、λ6=0.05（本文PCBA 机载工况下随机振动试验谱峰值主要集中在1阶模态频率周边范围内），因此评价函数如式（9）所示，前沿组P值最小模型参数见表5。

表5 NSGA-II识别参数

3 识别参数试验验证

3.1 模态频率对比

基于2.3 节由NSGA-II 识别出的最优参数组合重新建立分析模型，代入有限元模型计算获得参数识别后模型，仿真与试验模态频率值对比见表6。由表6可见，NSGA-II识别的参数在1阶模态处误差为0.32%，识别结果误差取绝对值后的平均值为2.70%，与试验对比结果表明参数识别方法具备合理性与有效性。

表6 试验与识别后模态频率对比

3.2 随机振动响应对比

为了验证识别后模型用于实际机载振动环境下的准确性，采用随机振动试验进行验证。试验平台为ES-40-370-VT0505 三轴向振动台，如图9所示。

图9 随机振动试验图

对PCBA施加图8所示航向加速度振动试验谱，激光测量采样频率为3200 Hz，测量共65 536 个数据点，数据处理后得到元器件及基板共6 个测点速度均方根，与有限元模型仿真结果对比见表7。在加速度振动试验谱的加载下，有限元计算结果和随机振动试验结果非常接近，取绝对值后的平均误差为5.83%，表明识别的参数值比较准确，后续能够用于实际工况下疲劳寿命分析计算。

表7 试验与识别后随机振动响应对比

4 结论

本文通过多因素试验设计和二次多项式响应面构建，基于模态频率的多目标函数和NSGA-II 遗传算法对机载振动工况下的PCBA 模型进行参数识别，得到以下结论：

1）通过最小分辨率V的中心复合设计完成多因素模型的响应面样本点试验设计，样本点个数缩减至244 个，通过相关性分析得到基板Ex、Ey、Gxy、μxy和元器件Gxy对PCBA 前6 阶模态频率Pearson 系数均大于0.2。

2）建立了PCBA 模型二次多项式响应面函数模型，通过NSGA-II 迭代前6 阶模态频率响应值与试验值多目标函数，得到适用于机载振动工况下的有限元模型参数，仿真结果与模态试验对比取绝对值后的平均误差为2.70%，与随机振动响应值对比取绝对值后的平均误差为5.83%，参数识别后的有限元模型能够满足工程实际需求。

3）本文响应面结合遗传算法进行有限元模型参数识别的方法识别速度较快，试验设计方法同样适用于复杂结构的参数识别，易于工程应用。

4）本文将PCBA 基板简化为同种材料，但对于基板工艺更加复杂的情况，将其进行分区等效处理识别精度可能有所提高。