“大概念”引领下数学解题教学的实践与思考——以“一类导数恒成立问题的策略”为例

程建新, 田 阔

(1.杭州市余杭中学,浙江 杭州 311121;2.浙江省蔡小雄名师工作室,浙江 杭州 310000)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出,进一步精选学科内容,重视以学科大概念为核心,使课程内容结构化,以主题为引领,使课程内容情境化,促进学科核心素养的落实.可以看出,学科大概念在新课程、新高考的实施中占有十分重要的地位.围绕大概念的研究目前主要集中在基于大概念理解的单元整体教学设计,而基于大概念视角的解题及解题教学的探索还很少[1].

刘徽教授指出,大概念是将素养落实到具体教学中的锚点,是指反映专家思维方式的概念、观念或论题,具有生活价值.理解大概念有助于形成高通路迁移,形成具体与抽象的复杂认知结构.大概念的理解不仅可以让学生通过掌握少而精的内容,形成结构化的知识网络,在真实情境中建构大概念,从而提升独立且真实地解决问题的能力,还可以在迁移应用中内化大概念,对提升学生的核心素养具有重要意义.

在高三的复习备考过程中,学生需要经历各个单元的系统复习,对所学知识进行二次加工,在提升解题思维方面狠下功夫.因此,教师需要引导学生回归原点,将相关联的知识和方法进行归类、整合,以“大概念”引领高三的深度复习,帮助学生形成丰富的知识网络和解题方法体系.笔者开设了一节“一类导数恒成立问题的策略”的高三复习课,下面以这节课为例展开说明.

1 提取大概念,明确学习目标

为了获取“利用导数解决恒成立问题”的大概念,需要站在整个“函数”与“导数”单元的高度对教学内容进行剖析.从课程标准的角度定位,函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.从函数基本性质的研究,再到幂函数、指数函数、对数函数、三角函数,一类一类地研究这些基本初等函数,对每一类函数,都由图象到性质、由性质到图象地进行研究.“导数”单元是对函数性质和基本初等函数的进一步深化研究,利用“导数”这一工具,定量地研究函数的局部性质(如极值点、最值点、零点等).因此,研究重心还是“函数”,“函数的基本性质”和“回归原点”的解题理念是本节课的大概念.

恒成立问题是学生从高一就接触的一类典型问题.学生对处理恒成立问题的两种基本方法(最值分类讨论法和参变分离法)已经很熟悉,而导数中的恒成立问题是新高考考查的重点与难点之一,学生对于“导数”工具还是稍感陌生,对求导的目的不清,很多时候,学生只知道求导,但是却不知道求导是为了什么,难以回归到导数单元的大概念原点——函数.

2 导数中恒成立策略探究的问题设计

2.1 创设情境,激发兴趣

本节课以一道高考导数题为例:

(2020年全国数学高考Ⅰ卷理科试题第21题节选)

问题1这是一道函数恒成立问题,你认为有哪些方法可以解决这类问题?

生1:参变分离.

师:请用参变分离尝试解决,在解决过程中你遇到了哪些困难?

师:还有其他方法吗?

最后转化为求函数

的最大值,难点在于涉及参数范围的讨论,比较烦琐.

师:导数是研究函数局部性质的工具,我们能否通过观察函数的局部特征为参数范围探路呢?这是本节课要研究的内容.

2.2 问题引领,探究生成

2.2.1 探路手段1:端点效应,端点代入

例2已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1),当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求实数a的取值范围.

(2016年全国数学高考新课标Ⅱ卷文科试题第20题节选)

问题2请观察不等式右边的值与函数值的关系,你发现了什么特征?

生4:当x=1时,f(1)=0,即f(x)>0=f(1),刚好在端点处取到.

师:这说明函数f(x)在x=1附近的小邻域内具有什么特征?

生5:说明函数f(x)在x=1附近的小邻域内一定会呈现单调递增的趋势.

师:为什么会呈现局部递增的趋势呢?

生6:因为如果f(x)在x=1附近的小邻域(1-δ,1+δ)(其中δ>0)内递减,那么f(x)

师:函数f(x)在x=1附近的小邻域内单调递增,如何用数学语言进行刻画?

生7:f(x)在x=1处的导函数f′(x)≥0.

师:那么这个参数a的范围a≤2是否就是最终要求的范围呢?

生8:应该是的.

师:a≤2这个范围只是一个必要条件,下面我们把a≤2当作已知条件,来证明充分性.

当a≤2时,

f(x)=(x+1)lnx-a(x-1)

≥(x+1)lnx-2(x-1).

接下来证明(x+1)lnx-2(x-1)>0即可.将对数单独分离出来进行考虑,由于

只需证明

从而g(x)在区间(1,+∞)上单调递增,即

g(x)>g(1)=0,

于是当a≤2时,f(x)>0.

当a>2时,直接考察函数f(x)的单调性,因为

所以f′(x)在区间(1,+∞)上单调递增,且

根据零点存在定理,可知存在x0∈(1,+∞),使得f′(x0)=0,函数f(x)在区间(1,x0)上单调递减,在区间(x0,+∞)上单调递增,则

f(x0)

与已知f(x)>0矛盾,故充分性不成立.

设计意图通过问题链的设计,引导学生观察函数的端点值,回归函数与导数的大概念:函数,从而得到命题成立的必要条件,在此基础上再证明充分性.该方法称为“端点效应”,本质是利用导数定量地刻画函数在局部邻域内的单调性,同时也为分类讨论提供了分类的“界点”.

2.2.2 探路手段2:端点效应,局部恒成立

(2011年全国数学高考新课标卷理科试题第21题节选)

问题3你认为用参变分离的方法,可行吗?

生9:参变分离,得

求极值点非常烦琐.

问题4能否直接移项构造函数,观察端点值有何特征?

生10:移项得到

师:我们不妨将自变量范围限定在x∈(1,+∞),则问题可以转化为

恒成立,利用端点效应可以得到什么?

故

k≤0.

师:下证充分性.当k≤0时,

从而当x∈(1,+∞)时,

h(x)

当x∈(0,1)时,

h(x)>h(1)=0,

则

命题得证.

当k>0时,不等式不恒成立,请同学们自行证明,此处不再赘述.

设计意图通过该问题的设计,引导学生深刻理解导数是定量地研究函数局部性质的工具,将问题转化为导函数在局部小邻域内的恒成立问题,从而得到命题成立的必要条件,在此基础上再证明充分性.

2.2.3 探路手段3:极值点效应

例4已知函数f(x)=ex-1-x-ax2,当a≥0时,f(x)≥0,求实数a的取值范围.

(2010年全国数学高考新课标卷理科试题第21题节选)

问题5还可以类似例2和例3,通过代入端点值求解吗?

生12:我们注意到f(0)=0,即f(x)≥f(0),于是得到f′(0)≥0,但是f′(x)=ex-1-2ax,f′(0)=0,最后a消失了,得不到a的范围.

师:也就是刚才的“端点效应”失效了,那就回归原点,利用导数去研究函数的局部性质,问题转化为:在区间为(0,δ)(其中δ是很小的正数)的小邻域内,f′(x)=ex-1-2ax≥0恒成立,其中f′(0)=0.你观察到了什么?

生13:设g(x)=ex-1-2ax≥0=g(0),利用端点效应,得到

g′(0)=1-2a≥0,

即

师:尽管一开始“端点效应”失效了,但是我们可以通过导函数的端点效应(极值点效应),将a的范围探出来.下面证明充分性:

h′(x)=ex-(x+1)≥0,

则h(x)在[0,+∞)上单调递增,即

h(x)≥h(0)=0,

问题6通过上述几道例题,你能否归纳端点效应或极值点效应的基本特征呢?

生14:一类是端点函数值为0;另一类是区间端点函数值为0,且导函数的端点值也为0.

类型1若f(x)≥0(含参数a)在x∈[m,n]上恒成立,且f(m)=0或f(n)=0,则f′(m)≥0或f′(n)≤0.

类型2若f(x)≥0(含参数a)在x∈[m,n]上恒成立,且

则

f″(m)≥0或f″(n)≤0.

设计意图通过函数端点效应失效,引导学生进一步观察其导函数的端点值,从而将问题转化为导函数的“端点效应”,即极值点效应.

2.3 深入探究,揭示本质

2.3.1 探路手段4:特殊点效应

例5已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna,若f(x)≥1,求实数a的取值范围.

(2020年全国数学新高考Ⅰ卷第21题节选)

问题7你能观察出f(x)的端点函数值为1的点吗?

生15:观察不出来,而且当x趋近于端点时,函数值不会趋近于1.

师:那能否尝试一些特殊点进行代入?

生16:因为对任意x>0,不等式f(x)≥1都成立,而且注意到函数解析式中有lnx,所以可以尝试将x=1代入,得到f(1)≥0,从而a≥1.

师:a≥1只是不等式成立的必要条件,你能否尝试证明充分性?

生17:当a≥1时,

f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx.

利用切线不等式ex≥x+1和lnx≤x-1,可得

f(x)≥ex-1-lnx≥x-(x-1)=1

成立,故实数a的取值范围为a≥1.

生18:当a≥1时,可以将a当作主元,令g(x)=ex-1·a+lna-lnx,可以发现g(a)在[1,+∞)上单调递增,则

g(a)=ex-1·a+lna-lnx≥ex-1-lnx.

师:取特殊值x=1,解得a的范围,从而缩小了a的范围,可问题是为什么取x=1,且当x=1时所解得的a的范围就是最终要求的范围呢?

问题8通过不等式f(x)≥1可知,如果f(x)取到最小值,那这个最小值一定是极小值,这个极小值在哪里取到呢?

生19:设f(x)在x=x0处取得最小值,于是

消元得

即

由单调性解得x0=1.

师:通过上述分析,我们知道必要性探路所取的值并不是随意的,而是有“预谋”的,是经过极值点的取值,得到相应的特殊值代入,只是在实际过程中省略了思维过程.因此,问题的本质还是回归函数的原点,转化为函数的极值与最值.

生20:该题还可以利用同构进行转化.

aex-1-lnx+lna≥1

⟺

ex+ln a-1+x+lna-1≥x+lnx=lnx+eln x.

令g(x)=x+ex,则

g(x+lna-1)≥g(lnx),

因为g(x)在R上单调递增,所以

x+lna-1≥lnx,

从而

lna≥0,

即

a≥1.

设计意图通过系列问题的设计,为学生创设探究的思路与空间,揭示特殊值选取背后的“原点”思维,让学生理解特殊值的选取不是随意的.

2.4 释疑解惑,彰显“核威力”

(2020年全国数学高考Ⅰ卷理科试题第21题节选)

设计意图呼应本节课一开始遇到的疑难问题,让学生尝试利用特值探路再证充分性.从创设问题情境,到几种探路手段的原点探究,最后到情境问题的着手解决,让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的探究历程,积累在大概念引领下进行数学解题的基本活动经验.

2.5 高考中的恒成立问题

(2023年全国数学高考甲卷理科试题第21题节选)

(2023年全国数学高考乙卷文科试题第20题节选)

设计意图这两道高考题都可以通过端点效应和必要性探路解决,让学生体会利用大概念进行数学解题的“威力”.

3 数学解题教学的若干教学反思

通过以上教学案例的分析,我们发现函数与导数问题解决的核心在于研究和利用函数的性质.研究的函数对象不一定是直接给定的形式,而是依据解题的基本活动经验,通过模式识别合理选择或改变研究对象的形式.在“导数是定量地研究函数局部性质的工具”这一大概念的指引下,解题中要引导学生特别关注端点值、特殊点、极值点.除此之外,笔者对高三的解题教学提出了以下3点建议.

3.1 思想方法引领,知识能力并行

高三的复习课怎么上?如何开展高三的数学解题教学?是重新复习,还是就题论题?笔者认为,高三的复习教学既要重视基础功底,也要强方法、讲思想.如果学生的学习还是像高一、高二阶段那样停留在浅层学习,就很难触动学习内容的核心和本质.恒成立问题是一个极其庞大的专题,题型多样,解题方法丰富,但没有一种方法可以解决所有问题.教师提炼大概念,以大概念为引领,帮助学生学会识别、学会转化,建立知识与方法之间的联系,促进学生的深度理解,实现深度学习[2].

3.2 以问题链为抓手,引领深度学习

传统的高三解题教学,教师一般呈现例题后就直接讲解,提问也缺乏系统性,学生很难抓住核心“大概念”.教师要以学生的数学思维为基本依据,精准把握学生的思维水平和思维生长点,将问题情境进行深度加工,设计难度合适的起点问题,逐层深入、紧密关联的过渡性问题,具有挑战性的最终问题,以及体现批判性思维的发展性问题,以问题链驱动的探究活动将学生的思维引向深度理解[3].

3.3 顺应学生思维,注重知识生成

课堂教学离不开预设,但课堂的生成往往与预设有偏差.本节课的学生分享环节让笔者有了很多意外的收获.课堂教学是教师与学生共同完成的,是预设与生成的有机结合.深度学习的关键在于“学”.每名学生都有独特的思维,对问题分析的角度不同,对问题也会有新的看法,特别是高三的复习课,要让学生感到这样的思想方法是自己想出来、悟出来的.