聚焦计数单位，建构运算一致性——以“小数加减法”教学为例

山东聊城大学教育科学学院（252000） 王馨悦 李玉峰

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称《课程标准》）中明确提出“感悟数的运算及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识”。这一要求旨在让教师将教材中碎片化知识整合起来，建立整数、小数和分数在加、减、乘、除运算中的联系，从而增进学生对数的运算本质的理解，并体会数的运算一致性。因此，教师在教学“数的运算”内容时，应当追本溯源，讲明算理，体现运算本质的一致性。本文以“小数加减法”一课为例，尝试分析在教学中如何聚焦计数单位，建构运算一致性。

一、数的运算一致性的内涵

史宁中教授提出：“计数单位是一种特殊的计量单位，是个数和顺序的计量单位，把它作为数学化（一致性）的抓手。”因此，数的认识都是基于“多少个计数单位”的表达，数的运算也都是基于计数单位展开的，也就是说整数、分数和小数的四则运算都是基于计数单位的运算。以加减运算为例，虽然整数、分数和小数的加减法算法看起来有所不同，但实际上它们的运算原理是相同的，如图1所示。

图1 加减运算的算法和算理

巩子坤等人通过分析构建了一个关于数的概念和运算一致性的框架，包括一个核心概念——计数单位，一些基本规律——运算律和等式的基本性质，以及一些基本运算——计数单位的运算。因此，在教学“数的运算”时，教师应着重关注“计数单位”这个核心概念，使学生能够通过总结归纳算法的过程来理解运算原理，并建立起整体运算体系的结构，从而体会到数的运算一致性。

二、基于数的运算一致性的课例分析

在具体的教学中，教师该如何利用计数单位帮助学生建立起整数运算、分数运算和小数运算三者之间的联系，从而体会数的运算一致性呢？下面以“小数加减法”教学实践为例进行分析。

（一）深挖起点，感受运算一致性

师：L 市新开了一家书店，让我们一起去参观一下。根据图中提供的价格（如图2），你能提出哪些数学问题？

图2

生1：买一本儿童绘本和一本成语故事，一共多少钱？

生2：买一本儿童绘本和一幅L市地图，一共多少钱？

生3：一本名人传记比一本儿童绘本贵多少钱？

师：同学们提出了这么多有价值的问题。请根据提出的问题列出算式。

生4：2.14+7.36。

生5：2.14+1.3。

生6：14.2-2.14。

师：在前测中，我发现算对第一个算式“2.14+7.36”的同学最多。现在请一名做对的同学把竖式（如图3）写到黑板上，并讲一讲自己的想法。

图3

生7：计算整数加减法的时候相同的数位要对齐，所以我把相同数位对齐后，按照整数加减法的方法进行计算，最后点上小数点。

师：看来相同位数的小数加减法难不倒大家。对于第二个算式，同学们出错率较高，我们来看一看他们是怎么做的。（出示图4）

图4

生8：①是把2.14的“1”和1.3的“3”对齐了。

生9：②是把“3”和“4”对齐了。

生10：③是把“3”写在了十分位和百分位之间。

师：看来很多同学都在纠结“3”到底是在十分位上还是百分位上，那“3”到底该和谁对齐呢？我们一起来探究一下。

奥苏伯尔认为，有意义的学习都是建立在原有学习基础之上的。因此，在教学前，教师应确定好教学起点，并积极探寻学生原有知识结构中能同化新知识的固着点。在教学中，教师应以相同位数的加法作为起点，引导学生回顾整数加减法的计算方法，明确算理，以便厘清新旧知识之间的联系。通过对学生进行小数加减法运算的分析，发现学生在计算过程中存在两个问题：一是有的学生在计算时数位对齐方法有误；二是有的学生只知道小数点对齐的算法，而不知道背后的算理。可见学生在一定程度上受到了整数加减法的影响。

（二）理解算理，感知运算一致性

出示学习任务（如图5）：

图5

方法一：先转化为元、角、分，再相加（如图6）。

图6

生1：我采取了给小数加“元、角、分”的方法，2.14 表示2 元1 角4 分，1.3表示1 元3 角，合起来就是3 元4 角4 分，用小数表示就是3.44元。我认为“3”应该和2.14中的“1”对齐。

师：为什么要这么列竖式？

生1：计数单位相同的数才能相加。

方法二：用计数器（如图7）。

图7

生2：我先用计数器表示2.14，再表示1.3，得到了3.44，所以“3”应该和2.14中的“1”对齐。

师：为什么要把十分位上的“3”和“1”相加？

生2：因为它们的计数单位相同，都表示几个0.1。

方法三：利用小数的意义。

生3：我用方格图来表示数字，每个完整的正方形代表数字“1”。我将正方形平均分为10 份，其中的1 份表示0.1；将正方形平均分为100 份，其中的1 份表示0.01。我涂色表示2.14 和1.3（如图8）。从图中可以看出，在2.14中，“1”表示1个0.1；在1.3中，“3”表示3 个0.1。由于它们都表示几个0.1，所以我认为“3”应该与2.14中的“1”对齐。

按表1皮肤反应分级标准记录反应结果，32例受试者中出现1级皮肤不良反应的人数多于5例，或2级皮肤不良反应的人数多于2例，或出现任何1例3级或3级以上皮肤不良反应时，判定受试物对人体有皮肤不良反应。

图8

师：在计算小数加减法时，先把小数点对齐，为的是相同数位对齐，再按照整数加减法的法则进行计算，最后给得数加上小数点。

《课程标准》提出：要通过丰富的教学方式，让学生在实践、探究、体验、反思、合作、交流过程中感悟基本思想，积累基本活动经验。教师应该将课堂交给学生，让他们亲身体验和探究算理，并引导他们使用多种方法来理解算理。上述三种探究方法基于计数单位的视角帮助学生有条理地体现出小数加减法运算的算理。这种一致性的教学有助于学生理解运算的本质特征，即相同的计数单位相加减，使算理和算法得到有效内化，同时培养了学生的数学语言表达能力和合作探究能力。

（三）梳理回顾，感悟运算一致性

师：请用竖式计算“34.9+19.59”。

生1（出示图9）：先把34.9 和19.59 的小数点对齐，然后按照整数的加法法则进行计算，最后加上小数点，得到54.49。

图9

师：如果去掉小数点，变成整数了，又该怎么对齐呢？

生2（出示图10）：末位对齐。

图10

师：末位对齐和小数点对齐看似不同，实际上都是——

生3：相同数位对齐。

师：相同数位对齐，也就是为了——

生4：相同计数单位相加减。

图11

师：为什么可以直接相加呀？

生6：因为它们计数单位是相同的。

师：请观察整数加减法、分数加减法和小数加减法，它们的算理有什么相同之处？

生7：都是相同计数单位相加减。

《课程标准》在第二学段的“教学提示”中指出，通过小数加减法运算、同分母分数加减运算，与整数运算进行比较，引导学生初步了解运算的一致性，培养运算能力。教师可以通过比较整数加减法、分数加减法和小数加减法的算法和算理，帮助学生迁移所学知识，并构建数的运算体系的认知结构。通过核心概念“计数单位”，学生可以深刻体验数的运算一致性，这为以后学习异分母分数的加减法打下了坚实的基础，有助于发展学生的运算能力和推理意识。

三、基于数的运算一致性的教学策略

（一）梳理教材，挖掘运算一致性

目前的小学数学教材将加减运算分为整数加减法、分数加减法和小数加减法三个部分，这种螺旋上升的结构由浅入深，层层递进，在一定程度上符合学生的认知特点。然而，这种结构容易使学生误以为整数加减法、分数加减法和小数加减法有各自独立的算理和算法，导致数的运算一致性被割裂。因此，根据《课程标准》的要求，有必要对教材进行纵向梳理，聚焦计数单位，深度挖掘教材知识之间的内在联系。

教师应了解小数加减法在教材中的位置，将与之相关的知识整合在一起，例如整数加减法和分数加减法，并探索三者在算法和算理上的关联，形成结构性的知识体系。

（二）迁移构建，通过整数类比小数

赵莉、吴正宪和史宁中提出了一个很好的观点，即可以用“整数的认识与运算”统领整个“数与运算”主题。学生对整数运算熟悉，在教学相同位数的加减法时，可以引入整数加减法运算，通过在前测中加入整数加减法和一位小数加减法的题目，唤起学生对整数加减法的已有知识经验——将末位对齐即将相同数位对齐，从而引发学生的认知冲突：小数加减法应该如何对齐？通过探究算理，学生得出小数加减法的算法——先让小数点对齐，再按照整数加减法的运算法则进行计算。这样可以建立新旧知识之间的联系，实现有效的知识迁移，有助于提高学生的学习效果和理解能力。

（三）基于计数单位表达数的运算一致性

《课程标准》首次引入了“计数单位”的概念，它是关于个数和顺序的计量单位，也是数与运算领域的核心概念。不论是整数加减法中的“末位对齐”、小数加减法中的“小数点对齐”，还是分数加减法中的“先通分再加减”，本质上都是“相同计数单位相加减”。同样，乘除运算也可以归纳为“计数单位”的概念。只有将“计数单位”作为抓手，才能揭示运算的本质。因此，在教学中，教师应该聚焦于“计数单位”这一核心概念，并以此为基础引导学生体会数的运算一致性。

（四）重视过程，推进算理理解

在计算教学中，理解算理和掌握算法是两个重要的任务。算法是指探究“怎么算”，而算理是指探究“为什么要这样算”，这两者同等重要。在实际教学中，教师应注重推进学生对算理的理解，基于计数单位的视角，突破位数不同的小数加减法运算的难点。只有理解了算理，学生才能真正感受到数学的逻辑，感受到数的运算一致性。

《课程标准》提出要注重整数、分数和小数运算的一致性，促进学生运算能力和推理意识的发展。为了落实这一要求，教师应该对教材内容和学情进行整体分析，并在教学中以“计数单位”这个核心概念为抓手，把握数的运算的本质，建立知识间的内在联系，让学生充分感悟数的运算一致性，并从点状认知发展成结构认知，从而落实核心素养的培养。