妙用图形的对称性求函数的解析式

对称性是函数的性质之一，主要包括中心对称和轴对称.一般地，对于曲线方程[Fx，y=0]，①如果用[-y]替换[y]，方程不变，则曲线关于[x]轴对称；②如果用[-x]代替[x]，方程不变，则曲线关于[y]轴对称；③如果用[-y]替换[y]、用[-x]代替[x]，方程依旧保持不变，则曲线关于原点对称.可见图形的对称性与函数的解析式联系紧密.那么如何根据图形的对称性求函数的解析式呢？可以从以下两个方面入手.

一、利用中心对称图形的性质求函数的解析式

例1.若函数[y=fx]是奇函数，当[xgt;0]时， [fx=x2-2x+3]，则当[xlt;0]时，函数[fx]解析式为（" " "）.

[A. fx=-x2+2x-3] [B. fx=-x2-2x-3]

[C. fx=x2-2x+3] [D. fx=-x2-2x+3]

解：因为函数[y=fx]是奇函数，

则函数的图象关于原点对称，

所以[fx=-f-x]，

设[xlt;0]，则[-xgt;0]，

则[f-x=-x2-2-x+3=x2+2x+3]，

则[-f-x=-x2-2x-3]，

即当[xlt;0]时，函数[fx]的解析式为[fx=-x2-2x-3].

故正确答案为B选项.

由于[Mx，y]关于原点对称的点的坐标为[M′-x，-y]，所以对于关于原点对称的函数，只需要用[-y]替换[y]、用[-x]代替[x]，即可求得函数的解析式.本题中的函数为奇函数，其图象为中心对称图形，所以[f-x=-fx]，用-x替换当[xgt;0]时函数解析式中的x，即可求得当[xlt;0]时函数的解析式.

例2.已知函数[fx]是定义在[R]上的奇函数，当[x≤0]时， [fx=-x2-2ax+a+1]，求函数[fx]的解析式.

解：∵[fx]是定义在[R]上的奇函数，

∴[f0=a+1=0]，解得[a=-1]，

∴当[x≤0]时， [fx=-x2+2x]，

∵[fx]是定义在[R]上的奇函数，

∴[f-x=-fx]，即[fx=-f-x=x2+2x]，

解答本题，需根据函数奇函数的对称性，即关于原点对称，来建立关系式[f-x=-fx]， [f0=0]，从而求出参数[a]的值和在定义域[R]上的函数解析式.

例3.已知函数[fx=x2+x]与函数[gx]的图象关于点[-2，3]对称，求函数[gx]的解析式.

解：设[Mx，y]是[y=gx]上的任意一点，且点[Mx，y]关于点[-2，3]对称的点[Mx，y]，

整理得[y=-x2-7x-6]，

∴函数[gx]的解析式为[y=-x2-7x-6].

首先设出[fx=x2+x]、[y=gx]上的点[Mx，y]、[Mx，y]；然后根据M、[M]关于点[-2，3]对称，利用中点坐标公式列出方程式组；再用x、y表示出[x]、[y]，即可消去[x]、[y]，从而求得函数[gx]的解析式.

二、根据轴对称图形的性质求函数的解析式

例4.已知函数的解析式[y=lgx2+1xgt;0]，若函数[fx]是该函数的反函数，求函数[fx]的解析式.

解：由题意可得，反函数的图象和原函数的图象关于[y=x]对称，

我们知道M（x、y）关于[y=x]对称的点坐标为[My，x]，且互为反函数的图形关于[y=x]对称，所以只需用[y]取代原解析式中的[x]，用[x]取代原解析式中的[y]，即可求得函数的解析式.

由于函数[fx]与[f-1x]的图象关于[y=x]对称，所以用[y]取代函数解析式中的[x]，用[x]取代函数解析式中的[y]，就能求出反函数的解析式.

M（x，y）关于y轴对称的点为[M-x，y]，因此[f-x=fx]或[y=-y].在求关于y轴对称的函数解析式时，只需用-x替换x，即可求得函数的解析式.

例7.已知函数[fx]是定义在[R]上的偶函数，当[x≤0]时， [fx=x2+2x]，则当[x≥0]时， [fx=]_____.

解：当[x≥0]时，[-x≤0]，

则[f-x=x2-2x=fx]，

即当[x≥0]时， [fx=x2-2x].

对于偶函数，其图象关于y轴对称，关于y轴对称的两点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，所以直接令[x=-x]，通过代换即可求得函数的解析式.

总之，根据图形的对称性求函数的解析式，要熟悉中心对称、轴对称图形的性质，明确图形中对称点之间的关系，以及对称点与对称中心、对称轴之间的关系，据此建立关系式，通过代换求得问题的答案.